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1、12.2 几何概型 几何概型 最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计 概率.2.初步体会几何概型的意义.3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程 1几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率 模型为几何概率模型，简称为几何概型 2在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 P(A). 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能
2、性 4随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法 (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或 计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机 数的个数 M 和总的随机数个数 N；计算频率 fn(A)作为所求概率的近似值 M N 概念方法微思考 1古典概型与几何概型有什么区别？ 提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件 有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个 2几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响
3、概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每 一点被取到的机会相等( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( ) (6)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P .( ) 1 9 题组二 教材改编 2在线段0,3上任
4、投一点，则此点坐标小于 1 的概率为( ) A. B. C. D1 1 2 1 3 1 4 答案 B 解析 坐标小于 1 的区间为0,1)，长度为 1，0,3的区间长度为 3，故所求概率为 . 1 3 3有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可 中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 答案 A 解析 P(A) ，P(B) ，P(C) ，P(D) ， 3 8 2 8 2 6 1 3 P(A)P(C)P(D)P(B) 4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是( ) A.
5、 B. 4 2 2 C. D. 6 4 4 答案 D 解析 如题干图所示，区域 D 的面积为 4，而阴影部分(不包括)表示的是区域 D 内到坐 AC 标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4.因此满足条件的概率是， 4 4 故选 D. 题组三 易错自纠 5在区间2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m_. 5 6 答案 3 解析 由|x|m，得mxm. 当 00，解得 0n. x2 m2 y2 n2 如图，由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，n)，点 Q 落在阴影部分(不包括 mn 这条 直线)的概率即为所求的概率，易知直线 mn 恰好将矩
6、形平分， 所求的概率为 . 1 2 11已知向量 a(2,1)，b(x，y) (1)若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷 两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率； (2)若 x，y 在连续区间1,6上取值，求满足 ab0 的概率 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6636， 由 ab1，得2xy1， 所以满足 ab1 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共 3 个 故满足 ab1 的概率为. 3 36 1 12 (2)若 x，y 在连续区间1,6上取值，则全部基本
7、事件的结果为 (x，y)|1x6,1y6 满足 ab0 的基本事件的结果为 A(x，y)|1x6,1y6 且2xy0 画出图象如图所示，矩形的面积为 S矩形25， 阴影部分的面积为 S阴影25 2421， 1 2 故满足 ab0 的概率为. 21 25 12甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率 解 设甲、 乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y， 记事件 A 为 “两船都不需要等待码头空出” ， 则 0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空
8、出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上 或乙比甲早到达 2 h 以上，即 yx1 或 xy2.故所求事件构成集合 A(x，y)|yx1 或 xy2，x0,24，y0,24 A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合 为边长是 24 的正方形及其内部 所求概率为 P(A)A的面积 的面积 2412 1 2242 2 1 2 242 . 506.5 576 1 013 1 152 13在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 的概率为_ 1 2 答案 3 4 解析 设任取两点所表示的数分别为 x，y，则 0x1，且 0y1，如图所示，则总事件 所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于 为事
9、件 A，则 AError!Error!，如图中阴影部分所示， 1 2 空白部分所占的面积为 2 ，所以所求两点之间的距离小于 的概率 P(A) . 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 11 4 1 3 4 14 向圆 C： (x2)2(y)24 内随机投掷一点， 则该点落在 x 轴下方的概率为_3 答案 1 6 3 4 解析 如图所示， 连接 CA，CB，依题意，圆心 C 到 x 轴的距离为，所以弦 AB 的长为 2.又圆的半径为 2，3 所以ACB60， 所以 S圆 C224， 所以 S弓形 ADB 2 60 22 360 1 2 3 2 3 ，所以向圆 C 内随机投掷一点，则该点落在
10、x 轴下方的概率 P .3 2 3 3 4 1 6 3 4 15在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy ”的概率，p2为事件“|xy| ” 1 3 1 3 的概率，p3为事件“xy ”的概率，则( ) 1 3 Ap1p2p3 Bp2p3p1 Cp3p1p2 Dp3p2p1 答案 B 解析 因为 x，y0,1，所以事件“xy ”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S1， 1 3 事件“|xy| ”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S2，事件“xy ”表示的平面区 1 3 1 3 域如图(3)阴影部分(含边界)S3，由图知，阴影部分的面积满足S2S3S1，正方形的面积为111， 根据几何概型概率计算公式可得 p2p3p1. 16.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率 解 设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，OA 的中点为 D，如图，连接 OC，DC. 不妨令 OAOB2， 则 ODDADC1. 在以 OA 为直径的半圆中，空白部分面积 S1 111， 4 1 2 ( 4 1 2 1 1) 所以整个图形中空白部分面积 S22. 又因为 S扇形 OAB 22， 1 4 所以 P . 2