2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十章 算法、统计与概率 10.4含解析.pdf

《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十章 算法、统计与概率 10.4含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十章 算法、统计与概率 10.4含解析.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、10.4 随机事件的概率 随机事件的概率 考情考向分析 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，试题为简单题，题型 为填空题 1概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)为事件 A 出现的频率 nA n (2)对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某 个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并 把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作 P(A) 2事件的关系与运

2、算 定义符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称 事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA(或 AB) 相等关系若 BA 且 ABAB 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发 生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和 事件) AB(或 AB) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发 生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或 积事件) AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件(AB)，则称事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为

3、必然事件，那 么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB，P(A) P(B)1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0P(A)1. (2)必然事件的概率 P(E)1. (3)不可能事件的概率 P(F)0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)1P(B) 概念方法微思考 1随机事件 A 发生的频率与概率有何区别与联系？ 提示 随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试 验中事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近 2随

4、机事件 A，B 互斥与对立有何区别与联系？ 提示 当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立，当随机事件 A，B 对立时，一定互斥 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生( ) (4)两互斥事件的概率和为 1.( ) 题组二 教材改编 2P94 练习 T1下列事件是随机事件的有_(填序号) 若 a，b，c 都是实数，则 a (bc)(a b)c； 没有空气和水，人也可以生存下去； 掷一枚硬币，出现反面； 在标准大气压下，水的温度达到 9

5、0 时沸腾 答案 解析 为必然事件，为随机事件，为不可能事件 3P97 练习 T1某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为 80%，则下列解释正确的是 _(填序号) 明天本地有 80%的区域降雨，20%的区域不降雨； 明天本地有 80%的时间降雨，20%的时间不降雨； 明天本地降雨的可能性是 80%； 以上说法均不正确 答案 解析 选项显然不正确，因为 80%的概率是指降雨的概率，而不是指 80%的区域降雨， 更不是指有 80%的时间降雨，是指降雨的可能性是 80%. 4P101 例 3同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记 A 为“所得点数之和小 于 5” ，则事件 A 包含的基

6、本事件有_个 答案 6 解析 由题意知，事件 A 包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 个 题组三 易错自纠 5从 16 个同类产品(其中有 14 个正品，2 个次品)中任意抽取 3 个，则下列事件中概率为 1 的是_(填序号) 三个都是正品； 三个都是次品； 三个中至少有一个是正品； 三个中至少有一个是次品 答案 解析 16 个同类产品中，只有 2 个次品，从中抽取三件产品，则是随机事件，是不可能 事件，是必然事件，是随机事件又必然事件的概率为 1，所以答案为. 6 从1,2,3,4,5中随机选取一个数a， 从1,2,3中随机选取一个

7、数b， 则ba的概率是_ 答案 1 5 解析 基本事件的个数为 5315，其中满足 ba 的有 3 种，所以 ba 的概率为 . 3 15 1 5 7 从一箱产品中随机地抽取一件， 设事件 A抽到一等品， 事件 B抽到二等品， 事件 C 抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品” 的概率为_ 答案 0.35 解析 事件 A抽到一等品，且 P(A)0.65， 事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P1P(A)10.650.35. 题型一 事件关系的判断 1从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件： 至少有 1 个

8、白球与至少有 1 个黄球； 至少有 1 个黄球与都是黄球； 恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球； 恰有 1 个白球与都是黄球 其中互斥而不对立的事件共有_组 答案 1 解析 中“至少有 1 个白球” 与“至少有 1 个黄球” 可以同时发生，如恰好 1 个白球和 1 个黄球，故两个事件不是互斥事件；中“至少有 1 个黄球”说明可以是 1 个白球和 1 个黄 球或 2 个黄球，故两个事件不互斥；中“恰有 1 个白球”与“恰有 1 个黄球”都是指有 1 个白球和 1 个黄球，故两个事件是同一事件；中两事件不能同时发生，也可能都不发生， 因此两事件是互斥事件，但不是对立事件 2在 5 张电话卡中，有

9、3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡” 的概率是，那么概率是的事件是_ 3 10 7 10 答案 至多有一张移动卡 解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡” ，“两张全是联通卡”两个事件， 它是“2 张全是移动卡”的对立事件 3口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出两个球，事件 A“取出 的两个球同色” ，B“取出的两个球中至少有一个黄球” ，C“取出的两个球中至少有一个 白球” ，D“取出的两个球不同色” ，E“取出的两个球中至多有一个白球” 下列判断中 正确的序号为_ A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事

10、件；C 与 E 是对立事件；P(CE)1；P(B) P(C) 答案 解析 当取出的两个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一 个白球时，事件 C 与 E 都发生，不正确；显然 A 与 D 是对立事件，正确；CE 为必然 事件，P(CE)1，正确；P(B) ，P(C) ，不正确 4 5 3 5 思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发 生 (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件

11、为互斥事件；两个事 件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 题型二 随机事件的频率与概率 例 1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求 量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气 温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六 月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10,15)15,20)20

12、,25)25,30)30,35)35,40 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶 时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最 高气温低于 25 的频率为0.6， 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的 21636 90 估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 45

13、0 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 Y64504450900； 若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100， 所以 Y 的所有可能值为 900,300，100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为 0.8. 362574 90 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 思维升华 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用 概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率

14、作为随机事件概率的估计值 (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于 某一个常数，这个常数就是概率 跟踪训练 1 某鲜花店将一个月(30 天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销 售量落入各组区间的频率视为概率 日销售量(枝)0,50)50,100)100， 150)150， 200)200， 250 销售天数3 天5 天13 天6 天3 天 (1)求这 30 天中日销售量低于 100 枝的概率； (2)若此花店在日销售量低于 100 枝的时候选择 2 天做促销活动，求这 2 天恰好是在销售量低 于 50 枝时的概率

15、解 (1)设日销售量为 x 枝， 则 P(0x1” ， 即|ab|2 包含 2 个基本事件， P(B) ，P(A)1 . 2 9 2 9 7 9 10经统计，在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下表： 排队人数012345 概率0.10.160.30.30.10.04 则该营业窗口上午 9 点钟时，至少有 2 人排队的概率是_ 答案 0.74 解析 由表格可得至少有 2 人排队的概率 P0.30.30.10.040.74. 11A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部 分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)： A

16、班6 6.5 7 7.5 8 B 班6 7 8 9 10 11 12 C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 试估计 C 班的学生人数； 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为 乙假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 解 由题意及分层抽样可知，C 班学生人数约为 10010040. 8 578 8 20 设事件 Ai为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人” ，i1,2，5， 事件 Cj为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人” ，j1,2，8. 由题意可知 P(Ai) ，i1,2，

17、5；P(Cj) ，j1,2，8. 1 5 1 8 P(AiCj)P(Ai)P(Cj) ，i1,2，5，j1，2，8. 1 5 1 8 1 40 设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” ， 由题意知， EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2 A5C3A5C4. 因此 P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3) P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15 . 1 40 3 8 12

18、某商场有奖销售中， 购满 100 元商品得 1 张奖券， 多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位， 设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件 分别为 A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解 (1)P(A)，P(B)， 1 1 000 10 1 000 1 100 P(C). 50 1 000 1 20 故事件 A，B，C 的概率分别为，. 1 1 000 1 100 1 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖 设“1 张奖券

19、中奖”这个事件为 M，则 MABC. A，B，C 两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C) . 11050 1 000 61 1 000 故 1 张奖券的中奖概率为. 61 1 000 (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中 一等奖”为对立事件， P(N)1P(AB)1. ( 1 1 000 1 100) 989 1 000 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 989 1 000 13某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39,32,33 个成员， 一些成员参加了不止一个小组，具体

20、情况如图所示 现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是_，他属于不超过 2 个小组的概 率是_ 答案 3 5 13 15 解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况，故他属于至少 2 个小组 的概率为 P . 111078 6788101011 3 5 “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组” ，其对立事件是“3 个小组” 故他属于不超过 2 个小组的概率是 P1. 8 6788101011 13 15 14 有编号为 1,2,3 的三个白球， 编号为 4,5,6 的三个黑球， 这六个球除编号和颜色外完全相同， 现从中任意取出两个球 (1)求

21、取出的两个球颜色相同的概率； (2)求取出的两个球颜色不相同的概率 解 从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6)， (3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 个 (1)记事件 A 为“取出的两个球是白球” ，则这个事件包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)， 共 3 个， 故 P(A) ； 3 15 1 5 记事件 B 为“取出的两个球是黑球” ， 同理可得 P(B) . 1 5 记事件 C 为“取出的两个球的颜色相同” ，A，B

22、 互斥，根据互斥事件的概率加法公式， 得 P(C)P(AB)P(A)P(B) . 2 5 (2)记事件 D 为“取出的两个球的颜色不相同” ，则事件 C，D 对立，根据对立事件概率之间 的关系， 得 P(D)1P(C)1 . 2 5 3 5 15小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母 A，a，B，b 中的一个，另 一位是数字 4,5,6 中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是_ 答案 1 12 解析 小明输入密码后两位的所有情况为(4， A)， (4， a)， (4， B)， (4， b)， (5， A)， (5， a)， (5， B)， (5， b)， (6，A)，(

23、6，a)，(6，B)，(6，b)，共 12 种， 而能成功登陆的密码只有一种， 故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是. 1 12 16某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及 三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获 量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如表所示： X1234 Y51484542 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米 (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量； Y51484542 频数4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至多为 48 k

24、g 的概率 解 (1)所种作物的总株数为 1234515，其中“相近”作物株数为 1 的作物有 2 株， “相近”作物株数为 2 的作物有 4 株，“相近”作物株数为 3 的作物有 6 株，“相近”作物 株数为 4 的作物有 3 株，列表如下： Y51484542 频数2463 所种作物的平均年收获量为 46. 51 248 445 642 3 15 690 15 (2)方法一 由(1)知 P(Y42)，P(Y45)， 3 15 6 15 P(Y48). 4 15 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至多为 48 kg 的概率为 P(Y48)P(Y42)P(Y45)P(Y48). 3 15 6 15 4 15 13 15 方法二 由(1)知 P(Y51)， 2 15 故在所种作物中随机选取一样，它的年收获量至多为 48 kg 的概率为 P(Y48)1P(Y51) . 13 15