《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.1含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.1含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、考试内容等级要求 三角函数的概念B 同角三角函数的基本关系式B 三角函数的诱导公式B 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质B 函数 yAsin(x)的图象与性质A 两角和(差)的正弦、余弦及正切C 二倍角的正弦、余弦及正切B 正弦定理、余弦定理及其应用B 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考情考向分析 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面 积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化 简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以填空题为主，低档难度 1任意角 (1)角的概念
2、的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角 (2)终边相同的角 终边与角 相同的角可写成 k360(kZ) (3)弧度制 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 规定 ： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，| ，l 是以角 l r 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 弧度与角度的换算：3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad度 180 180 弧长公式：l|r. 2任意角的三角函数 在平面直角坐标系中， 设的终边上任意一点P的坐标是(x， y)， 它与原点的距离是r(r x2y2 0) 则 si
3、n ，cos ，tan (x0) y r x r y x 三个三角函数的性质如下表： 三角函数定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 sin R cos R tan |k ， kZ 2 3.三角函数线 如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆 的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函 数线 有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线； 有向线段 AT 为正切线 概念方法微思考 1总结一下三角函数值在各象限的符号规律 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦 2三角函数坐标法定义中，若
4、取点 P(x，y)是角 终边上异于顶点的任一点，怎样定义角 的三角函数？ 提示 设点 P 到原点 O 的距离为 r，则 sin ，cos ，tan (x0) y r x r y x 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关( ) (3)不相等的角终边一定不相同( ) (4)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( ) 题组二 教材改编 2P10T6角225_弧度，这个角在第_象限 答案 二 5 4 3P14 例 1若角 的终边经过点 Q，则 sin _，co
5、s _. ( 2 2 ， 2 2) 答案 2 2 2 2 4P10T8一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角为_弧度 答案 3 题组三 易错自纠 5在 0 到 2 范围内，与角终边相同的角是_ 4 3 答案 2 3 解析 与角终边相同的角是 2k(kZ)，令 k1，可得与角终边相同的角是 4 3 ( 4 3) 4 3 . 2 3 6已知点 P在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为_ ( 3 2 ，1 2) 答案 11 6 解析 因为点 P在第四象限， ( 3 2 ，1 2) 所以根据三角函数的定义可知 tan ， 1 2 3 2 3 3 又 ，所以 . ( 3 2 ，2) 11 6 7函数
6、y的定义域为_2cos x1 答案 (kZ) 2k 3，2k 3 解析 2cos x10， cos x . 1 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， x(kZ) 2k 3，2k 3 题型一 角及其表示 1.已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 用集合可表示为 _ 答案 (kZ) (2k 4，2k 5 6) 解析 在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为， ( 4， 5 6) 所求角的集合为(kZ) (2k 4，2k 5 6) 2设集合 MError!，NError!，那么集合 M，N 的关系是_ 答案 MN 解析 由于 M 中，x 1804
7、5k9045(2k1)45，2k1 是奇数； k 2 而 N 中，x 18045k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN. k 4 3终边在直线 yx 上，且在2，2)内的角 的集合为_3 答案 5 3， 2 3， 3， 4 3 解析 如图， 在坐标系中画出直线 yx，可以发现它与 x 轴的夹角是 ，在0,2)内，终边在直线 yx3 3 3 上的角有两个： ， ； 3 4 3 在2，0)内满足条件的角有两个： ， ，故满足条件的角 构成的集合为 2 3 5 3 . 5 3， 2 3， 3， 4 3 4若角 是第二象限角，则 是第_象限角 2 答案 一或三 解析 是第二象限角， 2k
8、0.则实数 a 的取值范 围是_ 答案 (2,3 解析 cos 0，sin 0， 角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上 Error! 2cos x 成立的 x 的取值范围是_ 答案 ( 4， 5 4) 解析 当 x时，sin x0，cos x0，显然 sin xcos x 成立；当 x时，如图， 2，) (0， 4 OA 为 x 的终边，此时 sin xMA，cos xOM，sin xcos x；当 x时，如图，OB 为 x ( 4， 2) 的终边，此时 sin xNB，cos xON，sin xcos x同理当 x时，sin xcos x；当 x ， 5 4) 时，sin xcos x
9、. 5 4 ，2) 1角870的终边所在的象限是第_象限 答案 三 解析 由8701 080210，知870角和 210角的终边相同，在第三象限 2若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_ 答案 2 解析 设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，正方形边长为r，圆心角的弧2 度数是. 2r r 2 3已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是_ 答案 1 或 4 解析 设扇形的半径为 r，弧长为 l， 则Error!解得Error!或Error! 从而 4 或 1. l r 4 1 l r 2 2 4(2018无锡期末)已知角 的终边经过点 P(x，
10、6)，且 tan ，则 x 的值为_ 3 5 答案 10 解析 根据三角函数的定义，得 tan ， 6 x 3 5 所以 x10. 5已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos ，则 m 的值为_ 4 5 答案 1 2 解析 由题意得点 P(8m，3)，r，64m29 所以 cos ，解得 m ， 8m 64m29 4 5 1 2 又 cos 0， 4 5 所以 m . 1 2 6 若角 的终边与直线 y3x 重合， 且 sin 0，sin cos 0，sin 0，cos 0 或 sin 0，cos 0 时， 为 第一象限角，当 sin 0，cos 0 时， 为第三象限角sin
11、 cos 0， 为第三象限角 9若 是第三象限角，则 y_. |sin 2| sin 2 |cos 2| cos 2 答案 0 解析 由于 是第三象限角，所以 是第二或第四象限角 2 当 是第二象限角时，y110； 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 当 是第四象限角时，y110. 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 综上可知，y0. 10已知角 的终边上一点 P 的坐标为，则角 的最小正值为_ (sin 2 3 ，cos 2 3) 答案 11 6 解析 由题意知，点 P，r1，所以点 P 在第四象限， ( 3 2 ，1 2) 根据三角函数的定义得 cos si
12、n ， 2 3 3 2 故 2k (kZ)，所以 的最小正值为. 6 11 6 11给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若 sin sin ，则 与 的终边相同； 若 cos 0，则 是第二或第三象限的角 其中正确的命题是_(填序号) 答案 解析 举反例：第一象限角 370不小于第二象限角 100，故错；当三角形的内角为 90时， 其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于 sin sin ，但 与 6 5 6 6 5 6 的终边不相同，故错 ； 当 cos 1， 时
13、，其既不是第二象限角，也不是第三象限角， 故错 综上可知，只有正确 12函数 y 的定义域为_sin x 3 2 答案 ，kZ 2k 3，2k 2 3 解析 利用三角函数线(如图)， 由 sin x，可知 3 2 2k x2k ，kZ. 3 2 3 13.如图，单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点，单位圆与 y 轴的正半轴交于点 A，与 钝角 的终边 OB 交于点 B(xB，yB)，设BAO，若 sin ，则点 B 的坐标为_ 4 5 答案 (24 25， 7 25) 解析 由 sin ，r1，得 yBsin sincos 22sin212 21 . yB r ( 3 2 2) (
14、 4 5) 7 25 由 为钝角，知 xBcos .1sin2 24 25 所以 B. ( 24 25， 7 25) 14若角 的终边落在直线 yx 上，角 的终边与单位圆交于点，且 sin cos 0，3 ( 1 2，m) 则 cos sin _. 答案 3 4 解析 由角 的终边与单位圆交于点，得 cos ，又由 sin cos 0，知 sin 0，因 ( 1 2，m) 1 2 为角 的终边落在直线 yx 上，所以角 只能是第三象限角记 P 为角 的终边与单位3 圆的交点， 设 P(x， y)(x0， y0)， 则|OP|1(O 为坐标原点)， 即 x2y21， 又由 yx 得 x3 ，
15、y， 所以 cos x ， 因为点在单位圆上， 所以 2m21， 解得 m ， 1 2 3 2 1 2 ( 1 2，m) ( 1 2) 3 2 所以 sin ，所以 cos sin . 3 2 3 4 15 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时 所用的经验公式，即弧田面积 (弦矢矢 2)弧田(如图 1)由圆弧和其所对弦围成，公 1 2 式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为， 2 3 半径为 3 米的弧田，如图 2 所示按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是_平方 米(结果保留整数，1.73)3 答案 5 解析 如题图
16、 2， 由题意可得AOB， OA3， 所以在 RtAOD 中， AOD ， DAO 2 3 3 ，OD AO 3 ，可得 CD3 ， 6 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 由 ADAOsin 3，可得 AB2AD3. 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 所以弧田面积 S (弦矢矢 2) 5(平方米) 1 2 1 2 (3 3 3 2 9 4) 9 4 3 9 8 16.如图，A，B 是单位圆上的两个质点，点 B 的坐标为(1,0)，BOA60.质点 A 以 1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点 B 以 2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆 上运动 (1)求经过 1 s 后，BOA 的弧度； (2)求质点 A，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间 解 (1)经过 1 s 后，质点 A 运动 1 rad，质点 B 运动 2 rad， 此时BOA 的弧度为 3. 3 (2)设经过 t s 后质点 A，B 在单位圆上第一次相遇，则 t(12) 2，解得 t， 3 5 9 即经过 s 后质点 A，B 在单位圆上第一次相遇 5 9