《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.1 1.1.1 平均变化率含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.1 1.1.1 平均变化率含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、_1.1导数的概念 11.1 平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系A 是出发点，H 是山 顶爬山路线用函数 yf(x)表示 自变量 x 表示某旅游者的水平位置， 函数值 yf(x)表示此时旅游者所在的高度 设点 A 的坐标为(x0，y0)，点 B 的坐标为(x1，y1) 问题1： 若旅游者从A点爬到B点， 则自变量x和函数值y的改变量x， y分别是多少？ 提示：xx1x0，yy1y0. 问题 2：如何用 x 和 y 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡 AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度 y x 问题 3：试想的几何意义是什么？ y x y1y0 x1x0 提
2、示：表示直线 AB 的斜率 y x y1y0 x1x0 问题 4： 从 A 到 B， 从 A 到 C， 两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？ y x y x 提示：不相同.的值越大，山路越陡峭 y x 1一般地，函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为. f(x2)f(x1) x2x1 2 平均变化率是曲线陡峭程度的 “数量化” ， 或者说， 曲线陡峭程度是平均变化率的 “视 觉化” 在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在x1，x2上有意义； (2)在式子中，x2x10，而 f(x2)f(x1)的值可正、可负、可为 0. f(x2)f(x1) x2x1 (3)
3、在平均变化率中， 当 x1取定值后， x2取不同的数值时， 函数的平均变化率不一定相同 ； 同样的，当 x2取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同 对应学生用书P3 求函数在某区间的平均变化率 例 1 (1)求函数 f(x)3x22 在区间2,2.1上的平均变化率； (2)求函数 g(x)3x2 在区间2，1上的平均变化率 思路点拨 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量， 从而求出平均变化率 精解详析 (1)函数 f(x)3x22 在区间2,2.1上的平均变化率为： 12.3. f(2.1)f(2) 2.12 (3 2.122)(3 222) 0.1 (2)函 数
4、g(x) 3x 2 在 区 间 2， 1上 的 平 均 变 化 率 为 g(1)g(2) (1)(2) 3 (1)23 (2)2 (1)(2) 3. (5)(8) 12 一点通 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量 x2x1； 第二步：求函数值的改变量 f(x2)f(x1)； 第三步：求平均变化率. f(x2)f(x1) x2x1 1函数 g(x)3x 在2,4上的平均变化率是_ 解析 ： 函数 g(x)3x 在2,4上的平均变化率为 g(4)g(2) 42 3 4(3) 2 42 3. 126 2 答案：3 2.如图是函数 yf(x)的图象，则： (1)函数 f(x)在区间1
5、,1上的平均变化率为_； (2)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为_ 解析：(1)函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为 . f(1)f(1) 1(1) 21 2 1 2 (2)由函数 f(x)的图象知，f(x)Error!Error! 所以，函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为 . f(2)f(0) 20 33 2 2 3 4 答案：(1) (2) 1 2 3 4 3本例条件不变，分别计算 f(x)与 g(x)在区间1,2上的平均变化率，并比较变化率的大 小 解：(1)9. f(2)f(1) 21 3 222(3 122) 21 (2)3. g(2)g(1) 21 3 22
6、(3 12) 21 f(x)比 g(x)在1,2上的平均变化率大 实际问题中的平均变化率 例 2 物体的运动方程为 S(位移单位 ： m； 时间单位 ： s)， 求物体在 t1 s 到 tt1 (1t)s 这段时间内的平均速度 思路点拨 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的 比值 精解详析 物体在1,1t内的平均速度为 S(1t)S(1) (1t)1 (1t)111 t 2t2 t (r(2t)r(2)(r(2t)r(2) t(r(2t)r(2) (m/s) 1 2t2 即物体在 t1 s 到 t(1t)s 这段时间内的平均速度为 m/s. 1 2t2 一点通 平均
7、变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加 速度、膨胀率、经济效益等分清自变量和因变量是解决此类问题的关键 4圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均变化率为_ 解析：Sr2，圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时， 圆的面积 S 的平均变化率为 0.4. S(0.3)S(0.1) 0.30.1 0.32 0.12 0.2 答案：0.4 5在 F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间 t(单位：s)存在函数关系 S10t5t2， 则赛车在20,20.1上的平均速度是多少？ 解：赛车在20,20.1上的平均速度为 S(20.1)S(20) 2
8、0.120 210.5(m/s) (10 20.15 20.12)(10 205 202) 20.120 21.05 0.1 函数平均变化率的应用 例 3 甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如图所示， 试比较两人的速度哪个大？ 思路点拨 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对 时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论 精解详析 在 t0处 s1(t0)s2(t0)， 但.v3v2v1 答案：v3v2v1 7 A、 B 两机关开展节能活动， 活动开始后， 两机关每天的用电情况如图所示， 其中 W1(t)、 W2(t)分别表示 A、B 两机关的用电量与
9、时间第 t 天的关系，则下列说法一定正确的是 _(填序号) 两机关节能效果一样好； A 机关比 B 机关节能效果好； A 机关在0，t0上的用电平均变化率比 B 机关在0，t0上的用电平均变化率大； A 机关与 B 机关自节能以来用电量总是一样大 解析：由图可知，在 t0 时，W1(0)W2(0)， 当 tt0时，W1(t0)W2(t0)， 所以. | W1(t0)W1(0) t0 | | W2(t0)W2(0) t0 | 故只有正确 答案： 1求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题 (1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的 自变量的差 (2)平均变化
10、率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点 2一次函数的平均变化率 一 次 函 数 y kx b(k 0)在 区 间 m， n上 的 平 均 变 化 率 为 f(n)f(m) nm k.由上述计算可知， 一次函数 ykxb， 在区间m， n上的变化率与 m， n (knb)(kmb) nm 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数 3平均变化率的几何意义 (1)平均变化率表示点(x1， f(x1)， (x2， f(x2)连线的斜率， 是曲线陡峭程度的 “数 f(x2)f(x1) x2x1 量化” (2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度
11、 对应课时跟踪训练(一) 一、填空题 1函数 f(x)x21 在区间1,1.1上的平均变化率为_ 解析：2.1. f(1.1)f(1) 1.11 (1.121)(121) 1.11 0.21 0.1 答案：2.1 2函数 f(x)2x4 在区间a，b上的平均变化率为_ 解析：2. f(b)f(a) ba (2b4)(2a4) ba 2(ba) ba 答案：2 3某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度 c(单位：mg/mL)来表示， 它是时间 t(单位：min)的函数，表示为 cc(t)，下表给出了 c(t)的一些函数值： t/min0102030405060708090 c(t)/
12、 (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63 服药后 3070 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为_ 解析：0.002. c(70)c(30) 7030 0.900.98 40 答案：0.002 4.如图所示物体甲、乙在时间 0 到 t1范围内路程的变化情况，则在 0 到 t0范围内甲的平均速度_乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平 均速度_乙的平均速度(填 “等于” 、 “大于”或“小于”) 解析：由图可知，在0，t0上，甲的平均速度与乙的平均速度相同； 在t0，t1上，甲的平均速度大于乙的平均速度 答案：等于 大于 5函数 y
13、x32 在区间1，a上的平均变化率为 21，则 a_. 解析：a2a121. (a32)(132) a1 a31 a1 解之得 a4 或 a5. 又a1，a4. 答案：4 二、解答题 6已知函数 f(x)2x21.求函数 f(x)在区间2,2.01上的平均变化率 解：函数 f(x)在区间2,2.01上的平均变化率为8.02. 2 2.01212 221 2.012 7求函数 ysin x 在 0 到 之间和 到 之间的平均变化率，并比较它们的大小 6 3 2 解：在 0 到 之间的平均变化率为 ； 6 sin 6sin 0 60 3 在 到 之间的平均变化率为. 3 2 sin 2sin 3
14、2 3 3(2r(3) 2，3 3 3(2r(3) 函数 ysin x 在 0 到 之间的平均变化率为 ， 在 到 之间的平均变化率为， 6 3 3 2 3(2r(3) 故在 0 到 之间的平均变化率较大 6 8已知气球的表面积 S(单位：cm2)与半径 r(单位：cm)之间的函数关系是 S(r)4r2.求： (1)气球表面积 S 由 10 cm2膨胀到 20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量 与表面积增量的比值； (2)气球表面积 S 由 30 cm2膨胀到 40 cm2时的平均膨胀率 解：根据函数的增量来证明 由 S(r)4r2，r0，把 r 表示成表面积 S 的函数： r(S). 1 2 S (1)当 S 由 10 cm2膨胀到 20 cm2时，气球表面积的增量 S201010(cm2)，气球半 径的增量 rr(20)r(10)()0.37(cm) 1 2 2010 所以气球的平均膨胀率为0.037. r S 0.37 10 (2)当 S 由 30 cm2膨胀到 40 cm2时，气球表面积的增量 S() 1 2 4030 0.239(cm2)所以气球的平均膨胀率为0.023 9. r S 0.239 10