《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第3章 3.2 第二课时 复数的乘方与除法运算含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第3章 3.2 第二课时 复数的乘方与除法运算含解析.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二课时 复数的乘方与除法运算 问题 1： 在实数中， 若 abc(a0)， 则 b .反之， 若 b ， 则 abc.那么在复数集中， c a c a 若 z1z2z3，有 z1 (z20)成立吗？ z3 z2 提示：成立 问题 2：若复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，则 如何运算？ z1 z2 提示 ： 通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数 c abi cdi di，化简后可得结果，即 abi cdi (abi)(cdi) (cdi)(cdi) (acbd)(bcad)i c2d2 i(cdi0) acbd c2d2 bcad
2、c2d2 对任意复数 z，z1，z2和 m，nN*，有 (z)m(z)n(z)mn； (zm)nzmn； (z1z2)nz z . n 1n 2 2虚数单位 in(nN*)的周期性 i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i. 3复数的除法运算及法则 把满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi(x， yR)叫做复数abi除以复数c di 的商且 xyii. abi cdi (abi)(cdi) (cdi)(cdi) acbd c2d2 bcad c2d2 由i，可以看出复数除 abi cdi (abi)(cdi) (cdi)(cdi) (acbd)(bcad)i c2d2 ac
3、bd c2d2 bcad c2d2 法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化 对应学生用书P41 虚数单位 i 的幂的周期性 例 1 求 1ii2i2 014的值 思路点拨 利用 in的性质计算，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，还可以利用 等比数列求和来解 精解详析 法一：1ii2i2 014 i. 1i2 015 1i 1i2 014i 1i 1i 1i 法二：inin1in2in30(nN*)， 1ii2i2 014 1(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 009i2 010i2 011i2 012)i2 013i2 014 1i1i. 一点通 等差、 等比数列
4、的求和公式在复数集C中仍适用， i的周期性要记熟， 即inin 1in2in30(nN*) 1若 z，则 z2 014z102_. 1i 2 解析：z2 2i， ( 1i 2) z2 014z102(i)1 007(i)51 (i)1 004(i)3(i)48(i)3 ii2i. 答案：2i 2 设 z1i4i5i6i12， z2i4i5i6 i12， 则 z1与 z2的关系为 z1_z2(用 “” 或“”填) 解析：z11， i4(1i9) 1i i4(1i) 1i z2i45612ii72(i4)181， (412) 9 2 z1z2. 答案： 复数的除法 例 2 计算：(1)(5i2)
5、2； i23 12 3i ( 1i 2) (2). (r(2)r(2)i)3(45i) (54i)(1i) 思路点拨 解答较为复杂的复数相乘、 除时， 一个方面要利用复数乘、 除的运算法则、 运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算 精解详析 (1)原式(5i2) 2i51ii4i4. (12r(3)i)i 12 3i ( 1i 2) (2)原式2 2(1i)3(54i)i (54i)(1i) 22(1i)4i (1i)(1i) 22(1i)22i 2 (2i)2i4i.22 一点通 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟 悉以下结论
6、对简化运算很有帮助 bai(abi)(i)，bai(abi)i. 3设复数 z，则复数 z2的实部与虚部的和为_ 2i 1i 解析：z 2i 1i 2i(1i) (1i)(1i) 2i(1i) 2 i1， z2(1i)212i12i. 实部为 0，虚部为2. 因此，实部与虚部的和为2. 答案：2 4若复数 z 满足 z(2i)117i(i 为虚数单位)，则 z_. 解析：z(2i)117i， z35i. 117i 2i (117i)(2i) (2i)(2i) 1525i 5 答案：35i 5化简：_. (1 3i )3 (1i)6 2i 12i 解析：原式 3 ii2i. ( 1 3i 2i
7、) (2i)(12i) 5 答案：2i 1复数除法的运算技巧 在实际进行的复数除法运算中， 每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦 我们可以 用简便方法操作 ： 先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，使分母“实数化” ，最后再化简 2注意复数计算中常用的整体 (1)i 的性质：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)； (2)(1i)22i，i，i； 1i 1i 1i 1i (3)设 i，则 31，210，2 ， 31. 1 2 3 2 对应学生用书P42 一、填空题 1(新课标全国卷改编)设复数 z 满足(1i)z2i，则 z_. 解析：z1i.
8、 2i 1i 2i(1i) (1i)(1i) 2i(1i) 2 答案：1i 2设 i 是虚数单位，复数的虚部为_ 10 3i 解析：3i. 10 3i 10(3i) (3i)(3i) 答案：1 3如果 z123i，z2，则 _. 32i (2i)2 z1 z2 解析：z123i，z2， 3i (2i)2 z1 z2 (23i)(2i)2 32i i(32i)(2i)2 32i i(2i)2(34i)i43i. 答案：43i 4(浙江高考)已知 i 是虚数单位，计算 _. 1i (1i)2 解析： i. 1i (1i)2 1i 2i (1i)i 2 1i 2 1 2 1 2 答案： i 1 2
9、1 2 5i 是虚数单位，i2i23i38i8_. 解析：设 Si2i23i38i8 则 iSi22i37i88i9 得 (1i)Sii2i3i88i9 8i i(1i8) 1i 8i. S 8i 1i 8i(1i) (1i)(1i) 8i(1i) 2 44i. 答案：44i 二、解答题 6计算 220. (12i)i 100(1i 1i) 5 ( 1i 2) 解： 220 (12i)i 100(1i 1i) 5 ( 1i 2) 2i10 (12i)1(i)5 (1i)2i10 12i. 7复数 z，若 z2 0，求纯虚数 a. (1i)23(1i) 2i a z 解：z1i. (1i)23(
10、1i) 2i 2i33i 2i 3i 2i a 为纯虚数，设 ami(m0)，则 z2 (1i)22i a z mi 1i mim 2 i0， m 2 ( m 22) Error!Error! m4.a4i. 8已知 1i 是实系数方程 x2axb0 的一个根 (1)求 a、b 的值； (2)试判断 1i 是否是方程的根 解：(1)1i 是方程 x2axb0 的根， (1i)2a(1i)b0， 即(ab)(a2)i0， Error!Error! Error!Error! a、b 的值为 a2，b2. (2)方程为 x22x20， 把 1i 代入方程， 左边(1i)22(1i)22i22i20 显然方程成立 1i 也是方程的一个根.