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1、章末综合检测(三) (时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1给出下列四个命题： “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； “当 x 为某一实数时，可使 x20”是不可能事件； “明天天津市要下雨”是必然事件； “从 100 个灯泡(含有 10 个次品)中取出 5 个，5 个全是次品”是随机事件 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析：选 C.正确 2(2019黑龙江省大庆中学月考)袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2
2、 个，则互斥而不对立的两个事件是( ) A至少有一个白球；都是白球 B至少有一个白球；至少有一个红球 C至少有一个白球；红、黑球各一个 D恰有一个白球；一个白球一个黑球 解析：选 C.袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2 个，逐一分析所给 的选项： 在 A 中， 至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生， 不是互斥事件， 故 A 不成立 ； 在 B 中， 至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生， 不是互斥事件， 故 B 不成立； 在 C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故 C 成立； 在 D
3、 中， 恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生， 不是互斥事件， 故 D 不成立；故选 C. 3 利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 m， 则事件 “3m20” 发生的概率为( ) A. B. 1 3 2 3 C. D. 1 2 2 5 解析：选 A.因为事件 3m20 发生的概率为 P ，故选 A. 12 3 10 1 3 4某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行 人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A. B. 7 10 5 8 C. D. 3 8 3 10 解析：选 B.记“至少需要等待 15 秒才出现
4、绿灯”为事件 A，则 P(A) . 25 40 5 8 5为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下 的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A. B. 1 3 1 2 C. D. 2 3 5 6 解析：选 C.从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，共有 6 种选法红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根据 古典概型的概率计算公式，所求的概率为 .故选 C. 4 6 2 3 6有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组 的可
5、能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A. B. 1 3 1 2 C. D. 2 3 3 4 解析：选 A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有 9 个，其中这两位同学参加同 一兴趣小组的结果有 3 个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为 . 3 9 1 3 7任取一个三位正整数 N，则对数 log2N 是一个正整数的概率是( ) A. B. 1 225 3 899 C. D. 1 300 1 450 解析 ： 选 C.三位正整数有 100999， 共 900 个， 而满足 log2N 为正整数的 N 有 27， 28， 29， 共 3 个，故所求事件的概率为. 3
6、900 1 300 8在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为( ) A. B. 1 6 1 3 C. D. 2 3 4 5 解析：选 C.设 ACx cm，0x12，则 CB(12x) cm，要使矩形面积大于 20 cm2， 只要 x(12x)20，则 x212x200，2x10，所以所求概率为 P ，故选 C. 102 12 2 3 9小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽 略)，若弹珠到圆心的距离大于 ，则周末去逛公园 ； 若弹珠到圆心的距离小于 ，则去踢
7、足球 ； 1 2 1 4 否则，在家看书则小明周末不在家看书的概率为( ) A. B. 1 2 1 6 C. D. 13 16 5 12 解析：选 C.由题意画出示意图，如图所示表示小明在家看书的区 域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为，因 （1 2） 2（1 4） 2 3 16 此他不在家看书的概率为 1， 故选 C. 3 16 13 16 10 小莉与小明一起用 A， B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字 1， 2， 3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的 A 立方体朝上的数字为 x，小明掷的 B 立方体朝上的数字 为 y，来确定点 P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的
8、点 P(x，y)落在已知抛物线 yx24x 上的概率为 ( ) A. B. 1 6 1 9 C. D. 1 12 1 18 解析 ： 选 C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有 6 种可能性，则(x，y)的情况有 36 种，即 P 点有 36 种可能，而 yx24x(x2)24，即(x2)2y4，易得在抛物线 上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共 3 个，因此满足条件的概率为. 3 36 1 12 11如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件 A)的 概率为 ， 取到方片牌(事件 B)的概率是 ， 则取到红色牌(事件 C)的概率和取到黑色牌(事件 D)
9、1 4 1 3 的概率分别是( ) A.， B.， 7 12 5 12 5 12 7 12 C. ， D. ， 1 2 1 2 3 4 2 3 解析 ： 选 A.因为 CAB， 且 A， B 不会同时发生， 即 A， B 是互斥事件， 所以 P(C)P(A) P(B) . 1 4 1 3 7 12 又 C，D 是互斥事件，且 CD 是必然事件， 所以 C，D 互为对立事件，则 P(D)1P(C)1. 7 12 5 12 12从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率是( ) A. B. 1 10 3 10 C. D. 3 5 9 10 解
10、析：选 D.记 3 个红球分别为 a1，a2，a3，2 个白球分别为 b1，b2.从 3 个红球、2 个白 球中任取3个， 则所包含的基本事件有(a1， a2， a3)， (a1， a2， b1)， (a1， a2， b2)， (a1， a3， b1)， (a1， a3， b2)， (a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共 10 个由于每个 基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的 用 A 表示“所取的 3 个球中至少有 1 个白球” ，则其对立事件表示“所取的 3 个球中A 没有白球” ，则事件包含的基本
11、事件有 1 个：(a1，a2，a3)A 所以 P().A 1 10 故 P(A)1P()1.A 1 10 9 10 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m_ 5 6 解析：显然 m2，由几何概型知 ，得 m3. 5 6 m（2） 6 答案：3 14(2019广西玉林市期末考试)在区间(0，1)中随机取出两个数，则两数之和小于 的 4 5 概率是_ 解析：设取出的两个数为 x，y，则，若这两数之和小于 ，则有， 0 1”的概率 解：(1)因为着弹点若与 A，B，C 的距离都超过 1 cm， 则着弹点就不能落在分
12、别以 A，B，C 为中心，半径为 1 cm 的三个扇形区域内， 只能落在图中阴影部分内 因为 SABC 33sin 60， 1 2 9 3 4 图中阴影部分的面积为 SSABC3 12， 1 2 3 9 3 4 2 故所求概率为 P1. S S ABC 2 3 27 (2)前三次射击成绩依次记为 x1，x2，x3，后三次成绩依次记为 y1，y2，y3，从这 6 次射 击成绩中随机抽取两个， 基本事件是 ： (x1， x2)， (x1， x3)， (x2， x3)， (y1， y2)， (y1， y3)， (y2， y3)， (x1， y1)， (x1，y2)，(x1，y3)，(x2，y1)，(
13、x2，y2)，(x2，y3)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，共 15 个，其 中可使|ab|1 发生的是后 9 个基本事件， 故 P(|ab|1) . 9 15 3 5 19(本小题满分 12 分)(2018高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分 类整理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概 率； (2)随机选取
14、1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生 变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1， 哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到 最大？(只需写出结论) 解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.2550. 故所求概率为0.025. 50 2 000 (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 1400.4500.23000.152000.
15、258000.25100.1 5610455016051 372. 故所求概率估计为 10.814. 372 2 000 (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率 20(本小题满分 12 分)(2019河北省枣强中学期末考试)质量监督局检测某种产品的三 个质量指标 x，y，z，用综合指标 Qxyz 核定该产品的等级若 Q5，则核定该产品 为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号A1A2A3A4A5 质量指标(x， y，z) (1，1，2)(2，1，2)(2，2，2)(1，3，1)(1，2，3) 产品编号A6A7A8A9A10 质量指标
16、(x， y，z) (1，2，2)(2，3，1)(3，2，1)(1，1，1)(2，1，1) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品，设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每 件产品的综合指标均满足 Q4” ，求事件 B 的概率 解：(1)计算 10 件产品的综合指标 Q，如下表： 产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 Q4565656634 其中 Q5 的有 A1，A2，A4，A6，A9，A10共 6 件， 故该样本的一等品率为0.6， 6 10 从而估计该批产品的一等品率为 0.6. (2)在该样本的一等品中， 随机
17、抽取 2 件产品的所有可能结果为(A1， A2)， (A1， A4)， (A1， A6)， (A1， A9)， (A1， A10)， (A2， A4)， (A2， A6)， (A2， A9)， (A2， A10)， (A4， A6)， (A4， A9)， (A4， A10)， (A6， A9)， (A6， A10)，(A9，A10)共 15 种 在该样本的一等品中，综合指标均满足 Q4 的产品编号分别为 A1，A9，A10， 则事件 B 发生的所有可能结果为(A1，A9)，(A1，A10)，(A9，A10)共 3 种， 所以 P(B) . 3 15 1 5 21(本小题满分 12 分)(201
18、9辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高 考改革方案的关注程度，随机选取了 200 名年龄在20，45内的市民进行了调查，并将结果 绘制成如图所示的频率分布直方图(第一五组区间分别为20， 25)， 25， 30)， 30， 35)， 35， 40)，40，45) (1)求选取的市民年龄在40，45内的人数； (2)若从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，再从中选取 2 人在座谈会 中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在35，40)内的概率 解：(1)由题意可知，年龄在40，45内的频率为 P0.0250.1， 故年龄在40，45内的市民人数为 2
19、000.120. (2)易知，第 3 组的人数，第 4 组人数都多于 20，且频率之比为 32， 所以用分层抽样的方法在第 3，4 两组市民抽取 5 名参加座谈，应从第 3，4 组中分别抽 取 3 人，2 人 记第 3 组的 3 名市民分别为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 名市民分别为 B1，B2， 则从 5 名中选取 2 名做重点发言的所有情况为(A1， A2)， (A1， A3)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A2， A3)， (A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共有 10 种 其中第 4 组的 2 名 B1， B2至少有一名
20、被选中的有 ： (A1， B1)， (A1， B2)， (A2， B1)， (A2， B2)， (A3， B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共有 7 种， 所以至少有一人的年龄在35，40)内的概率为. 7 10 22(本小题满分 12 分)(2019安徽省黄山市期末考试)如图，森林的边界是直线 l，图中 阴影部分是与l垂直的一道铁丝网， 兔子和狼分别位于草原上点A和点B处， 其中ABBC1 km， 现兔子随机的沿直线 AD， 以速度 2v 准备越过森林边界 l 逃入森林， 同时， 狼沿线段 BM 以速度 v 进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点 M 处，狼就会吃掉兔子，某同学为了探 究
21、兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系 xCy(如图)，并假设点 M 的坐标为(x，y) (1)求兔子的所有不幸点 M(即可能被狼吃掉的地方)组成的区域的面积 S； (2)若兔子随机沿与 AC 成锐角 (CAD)的路线越过 l 向森林逃跑，求兔子能够逃脱 的概率 解：(1)如图所示，狼要想吃掉兔子，就必须先到达 M 点或与兔子同时到达 M 点， 即有：t狼t兔. |BM| v |AM| 2v 化简得 2|BM|AM|， 即 2，x2（y1）2x2（y2）2 两边平方并整理得 3x23y24y0. 即 x2 . (y 2 3) 2 4 9 所以，兔子的所有不幸点构成的区域为半圆及其内部 所以 S . 1 2( 2 3) 2 2 9 (2)如图，过点 A 作半圆 P：x2 的切线，切点为 F， (y 2 3) 2 4 9 在 RtAPF 中，sinPAF ，所以PAF. |PF| |AP| 2 3 22 3 1 2 6 兔子要想不被狼吃掉，则不能沿CAF 以内的方向跑则 . ( 6 ， 2) 又 ， (0， 2) 故兔子能逃脱的概率是 P . ( 2 6) 2 2 3