《2019年数学新同步湘教版选修1-2讲义+精练：第7章 7．3 复数的四则运算含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版选修1-2讲义+精练：第7章 7．3 复数的四则运算含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、73复数的四则运算复数的四则运算 读教材读教材填要点填要点 复数的四则运算复数的四则运算 一般地，设一般地，设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，有，有 (1)加法：加法：z1z2ac(bd)i. (2)减法：减法：z1z2ac(bd)i. (3)乘法：乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. (4)除法： 除法： i(cdi0) z1 z2 a bi c di ac bd c2d2 bc ad c2d2 小问题小问题大思维大思维 1若复数若复数 z1，z2满足满足 z1z20，能否认为，能否认为 z1z2? 提示：不能如提示：不能如 2ii0，但，但 2i 与
2、与 i 不能比较大小不能比较大小 2复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？ 提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式 3如何辨析复数除法与实数除法的关系？如何辨析复数除法与实数除法的关系？ 提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果； 而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化 提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果； 而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后
3、分母实数化 复数的加减运算复数的加减运算 已知已知 z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，若，若 z1z2 132i，求，求 z1，z2. 自主解答自主解答 z1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i (3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i (5x3y)(x4y)i. 又又z1z2132i，(5x3y)(x4y)i132i. Error!Error!解得解得Error!Error! z1(321)(142)i59i. z24(1)22523(1)i87i. 对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部 分别相
4、加减 对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部 分别相加减 1(1)计算：计算：(2i). ( ( 1 3 1 2i) ) ( ( 4 3 3 2i) ) (2)已知复数已知复数 z 满足满足 z13i52i，求，求 z. 解：解：(1)(2i) ( ( 1 3 1 2i) ) ( ( 4 3 3 2i) ) i1i. ( ( 1 3 24 3) ) ( ( 1 2 13 2) ) (2)法一：设法一：设 zxyi(x，yR)， 因为因为 z13i52i， 所以所以 xyi(13i)52i， 即即 x15 且且 y32， 解得解得 x4，y1， 所以所以 z4
5、i. 法二：因为法二：因为 z13i52i， 所以所以 z(52i)(13i)4i. 复数的乘除运算复数的乘除运算 计算：计算： (1)(1i)(1i)(1i)； (2)(1i)； ( ( 1 2 3 2 i) )( ( 3 2 1 2i) ) (3)(23i)(12i)； (4)(529i)(73i)55 自主解答自主解答 (1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i. (2)(1i) ( ( 1 2 3 2 i) )( ( 3 2 1 2i) ) (1i) ( ( 3 4 3 4) ) ( (3 4 1 4) )i (1i) ( ( 3 2 1 2i) ) i ( ( 3 2 1
6、 2) ) ( ( 1 2 3 2) ) i. 13 2 13 2 (3)原式 原式 i. 23i 1 2i 23i 1 2i 1 2i 1 2i 26 34 i 1222 4 5 7 5 (4)原式原式 5 29 5i 7 3 5i 5 295i 73 5i 7 35i 73 5i 35 29 15 15529 75 i 72 35 2 52i. 470188 5i 94 5 (1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算 和实数的运算顺序一样 三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算 和实数的运算顺序一样 (2)复数的除法法则
7、难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可 2(1)已知复数已知复数 z148i，z269i，求复数，求复数(z1z2)i 的实部与虚部；的实部与虚部； (2)已知已知 z 是纯虚数，是实数，求是纯虚数，是实数，求 z. z 2 1 i 解：解：(1)由题意得由题意得 z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i， 则则(z1z2)i(2i)i2ii212i. 于是复数于是复数(z1z2)i 的实部是的实部是 1，虚部是，虚部是2. (2)设纯虚数设纯虚数 zbi(bR)， 则则. z 2 1 i bi 2 1 i bi 2 1
8、i 1 i 1 i b 2 b2 i 2 由于是实数，所以由于是实数，所以 b20，即，即 b2， z 2 1 i 所以所以 z2i. 复数范围内的方程问题复数范围内的方程问题 若关于若关于 x 的方程的方程 x2(12i)x(3m1)i0 有实根，求纯虚数有实根，求纯虚数 m 的值的值 自主解答自主解答 设 设 mbi(b0)，x0为一实根，代入原方程得为一实根，代入原方程得 x (12i)x0(3bi1)i0. 2 0 (x x03b)(2x01)i0. 2 0 Error!Error!解得解得Error!Error!mi. 1 12 若将“求纯虚数若将“求纯虚数 m”改为“求实数”改为“
9、求实数 m” ，如何求解？” ，如何求解？ 解：解：x2(12i)x(3m1)i0， 即即(x2x)(2x3m1)i0， Error!Error!Error!Error!或或Error!Error!即即 m 或 或 . 1 3 1 3 复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决 3已知关于已知关于 x 的方程的方程 x2kxi0 有一根是有一根是 i，求，求 k 的值的值 解：因为解：因为 i 为方程为方程 x2kxi0 的一个根，的一个根， 所以代入原方程，得所以代入原方程，得 i2kii0. 所以所以 k1i. 1 i
10、i 1 i i i2 计算：计算：1ii2i3i2 018. 解解 法一： 法一：ii2i3i40， inin 1 in 2 in 3 0. 1ii2i3i2 018 1ii2(i3i4i5i6)(i7i8i9i10)(i2 015i2 016i2 017i2 018) 1ii2i. 法二：法二：1ii2i2 018 1 i2 019 1 i 1 i504 43 1 i 1 i3 1 i 1 i 1 i i. 1(62i)(3i1)等于等于( ) A33i B55i C7i D55i 解析：解析：(62i)(3i1)(61)(23)i55i. 答案：答案：B 2(全国卷全国卷)( ) 3 i
11、1 i A12i B12i C2i D2i 解析：解析：2i. 3 i 1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 4 2i 2 答案：答案：D 3已知复数已知复数 z1i，则，则( ) z22z z 1 A2i B2i C2 D2 解析：法一：因为解析：法一：因为 z1i， 所以所以2i. z22z z 1 1 i 2 2 1 i 1i 1 2 i 法二：由已知得法二：由已知得 z1i，而 ，而 2i. z22z z 1 z 1 2 1 z 1 i 2 1 i 2 i 答案：答案：B 4若若 z时，求时，求 z2 018z102_. 1 i 2 解析：解析：z2 2 i. ( ( 1 i 2)
12、) z2 018z102(i)1 009(i)51 (i)1 008(i)(i)48(i)3ii0. 答案：答案：0 5已知复数已知复数 z1a23i，z22aa2i，若，若 z1z2是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数 a_. 解析：由条件知解析：由条件知 z1z2a22a3(a21)i，又，又 z1z2是纯虚数，是纯虚数， 所以所以Error!Error!解得解得 a3. 答案：答案：3 6已知复数已知复数 z. 1 i 2 3 1 i 2 i (1)求复数求复数 z； (2)若若 z2azb1i，求实数，求实数 a，b 的值的值 解：解：(1)z1i. 2i33i 2 i 3 i 2 i 3
13、 i 2 i 5 (2)把把 z1i 代入得代入得(1i)2a(1i)b1i， 即即 ab(2a)i1i， 所以所以Error!Error!解得解得Error!Error! 一、选择题一、选择题 1设设 i 为虚数单位，则为虚数单位，则( ) 5 i 1 i A23i B23i C23i D23i 解析：解析：23i. 5 i 1 i 5 i 1 i 1 i 1 i 4 6i 2 答案：答案：C 2(山东高考山东高考)已知已知 i 是虚数单位，若复数是虚数单位，若复数 z 满足满足 zi1i，则，则 z2( ) A2i B2i C2 D2 解析：解析：zi1i，z 11i. 1 i i 1 i
14、 z2(1i)21i22i2i. 答案：答案：A 3若若 a 为实数，且为实数，且(2ai)(a2i)4i，则，则 a( ) A1 B0 C1 D2 解析：解析：(2ai)(a2i)4i， 4a(a24)i4i. Error!Error!解得解得 a0. 答案：答案：B 4已知已知 z123i，z2，则 ，则 ( ) 3 2i 2 i 2 z1 z2 A43i B34i C34i D43i 解析：解析：z123i，z2， 3 2i 2 i 2 43i. z1 z2 23i 2 i 2 3 2i 23i 3 4i 3 2i 6 17i 3 2i 5239i 13 答案：答案：D 二、填空题二、填
15、空题 5复数的虚部是复数的虚部是_ 1 2i 1 1 2i 解析：解析： (2i) (12i) i，虚部是，虚部是 . 1 2i 1 1 2i 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 答案：答案：1 5 6若复数若复数 z 满足满足 zi(2z)(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则 z_. 解析：解析：zi(2z)，z2iiz，(1i)z2i，z1i. 2i 1 i 答案：答案：1i 7(天津高考天津高考)已知已知 aR，i 为虚数单位，若为实数，则为虚数单位，若为实数，则 a 的值为的值为_ a i 2 i 解析：由解析：由i 是实数，得是实数，得0，所以，所以 a2. a i 2 i a
16、i 2 i 2 i 2 i 2a 1 5 2 a 5 2 a 5 答案：答案：2 8 若 若 zi1 是方程是方程 z2azb0 的一个根， 则实数的一个根， 则实数 a， b 的值分别为的值分别为_， _. 解析：把解析：把 zi1 代入方程代入方程 z2azb0， 得得(ab)(a2)i0，即，即Error!Error! 解得解得 a2，b2. 答案：答案：2 2 三、解答题三、解答题 9复数复数 z，若，若 z2 0，求纯虚数，求纯虚数 a. 1 i 2 3 1 i 2 i a z 解：解：z1i. 1 i 2 3 1 i 2 i 2i3 3i 2 i 3 i 2 i a 为纯虚数，设为纯虚数，设 ami(m0)， 则则 z2 (1i)22i i0. a z mi 1 i mi m 2 m 2 ( ( m 2 2) ) Error!Error!m4，a4i. 10已知已知 x，yR，且，求，且，求 x，y 的值的值 x 1 i y 1 2i 5 1 3i 解：，解：， x 1 i y 1 2i 5 1 3i . x 1 i 2 y 1 2i 5 5 1 3i 10 即即 5x(1i)2y(12i)515i. (5x2y)(5x4y)i515i. Error!Error!解得解得Error!Error!