2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第7章 7.4 二项式定理含解析.pdf

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1、7.4二项式定理二项式定理 第一课时 二项式定理及应用第一课时 二项式定理及应用 读教材读教材填要点填要点 1 杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是 杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是 1， 其余的数都是它 “肩上” 的两个数的和， 其余的数都是它 “肩上” 的两个数的和 2二项式定理二项式定理 对于正整数对于正整数 n，(ab)nC anC an 1b C an rbr C bn. 0 n1 nr nn n 3二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 我们称我们称C an rbr是二项展开式的第 是二项展开式的第r1项，其中项，其中C称作第称作第r1项的二项式系数把项的二项式系数把Tr 1

2、 r n r n C an rbr(其中 其中 0rn，rN，nN )叫做二项展开式的通项公式 叫做二项展开式的通项公式 r n 小问题小问题大思维大思维 1二项展开式中的字母二项展开式中的字母 a，b 能交换位置吗？能交换位置吗？ 提示 ： 二项展开式中的字母提示 ： 二项展开式中的字母 a， b 是不能交换的， 即虽然是不能交换的， 即虽然(ab)n与与(ba)n结果相同， 但结果相同， 但(a b)n与与(ba)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混 淆，如 的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混 淆，如(ab)3的展开式中第

3、的展开式中第 2 项是项是 3a2b，而，而(ba)3的展开式中第的展开式中第 2 项是项是 3ab2，两者是不同 的 ，两者是不同 的 2二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？ 提示：二项式系数提示：二项式系数 C 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的 r n 指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关 二项式定理的应用二项式定理的应用 例例 1 (1)求求 4的

4、展开式； 的展开式； ( (3 x 1 x) ) (2)化简：化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1) 解解 (1)法一：法一： 4 ( (3 x 1 x) ) C (3)4C (3)3C (3)2 2 C (3) 3 C 40 4 x 1 4 x 1 x 2 4 x ( ( 1 x) ) 3 4 x ( ( 1 x) ) 4 4 ( ( 1 x) ) 81x2108x54. 12 x 1 x2 法二：法二： 4 ( (3 x 1 x) ) 3x 1 4 x2 1 x2 C 0 4 3x 4 C1 4 3x 3C2 4 3x 2 C3 4 3x 1C4 4 3x 0

5、(81x4108x354x212x1) 1 x2 81x2108x54. 12 x 1 x2 (2)原式原式C (x1)5C (x1)4C (x1)3C (x1)2C (x1)C (x1)01 0 51 52 53 54 55 5 (x1)151x51. (1)记准、记熟二项式记准、记熟二项式(ab)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于 较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷 的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于 较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷 (2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、 各项幂指数的规律及各项的系数

6、逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、 各项幂指数的规律及各项的系数 1(1)求求 5的展开式； 的展开式； ( (2x 1 x2) ) (2)化简：化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1. 解：解：(1)法一：法一： 5 ( (2x 1 x2) ) C (2x)5C (2x)4C (2x)3 2 C (2x)2 3 C (2x) 4 C 50 51 5 1 x2 2 5 ( ( 1 x2) ) 3 5 ( ( 1 x2) ) 4 5 ( ( 1 x2) ) 5 5 ( ( 1 x2) ) 32x580x2. 80 x

7、 40 x4 10 x7 1 x10 法二：法二： 5 5 (12x3)5 ( (2x 1 x2) ) 1 x2 2x 3 1 1 x10 1C (2x3)C (2x3)2C (2x3)3C (2x3)4C (2x3)5 1 x10 1 52 53 54 55 5 1 x10 10 x7 40 x4 80 x 80x232x5. (2)原式原式C (2x1)5C (2x1)4C (2x1)3C (2x1)2C (2x1)C (2x1)0 0 51 52 53 54 55 5 (2x11)5(2x)532x5. 二项式系数与项的系数问题二项式系数与项的系数问题 例例 2 (1)求二项式求二项式

8、6的展开式中第 的展开式中第 6 项的二项式系数和第项的二项式系数和第 6 项的系数；项的系数； ( (2 x1 x) ) (2)求求 9的展开式中 的展开式中 x3的系数的系数 ( (x 1 x) ) 解解 (1)由已知得二项展开式的通项为由已知得二项展开式的通项为 Tr 1 C (2)6 rrr 6 x ( ( 1 x) ) 26 rC ( 1)rx， ， r 6 33r 2 T612x. 9 2 第第 6 项的二项式系数为项的二项式系数为 C 6， 5 6 第第 6 项的系数为项的系数为 C (1)5212. 5 6 (2)设展开式中的第设展开式中的第 r1 项为含项为含 x3的项，则的

9、项，则 Tr 1 C x9 rr (1)rC x9 2r， ， r 9 ( ( 1 x) ) r 9 令令 92r3，得，得 r3， 即展开式中第四项含即展开式中第四项含 x3，其系数为，其系数为(1)3C 84. 3 9 本例问题本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数” 条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数” 解：由通项解：由通项 Tr 1 (1)rC 26 rx ， r 6 33 2r 知第四项的二项式系数为知第四项的二项式系数为 C 20， 3 6 第四项的系数为第四项的系数为 C (1)323160. 3 6 求某项的二项式系数或展开式中

10、含求某项的二项式系数或展开式中含 xr的项的系数， 主要是利用通项公式求出相应的项， 特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别 的项的系数， 主要是利用通项公式求出相应的项， 特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别 2已知已知 n的展开式中，第 的展开式中，第 6 项为常数项项为常数项 ( ( 3 x 1 2 3 x) ) (1)求求 n 的值；的值； (2)求展开式中求展开式中 x2的系数的系数 解：解：(1) n的展开式的通项为 的展开式的通项为 Tr 1 C ()n rr rC x ( ( 3 x 1 2 3 x) ) r n 3 x ( ( 1 2 3 x) ) ( ( 1 2) )

11、 r n . n2r 3 又第又第 6 项为常数项，项为常数项， 所以当所以当 r5 时，时，0，即，即 n2r10. n 2r 3 (2)由由(1)，得，得 Tr 1 rC x ， ( ( 1 2) ) r 10 102r 3 令令2，得，得 r2， 10 2r 3 所以展开式中所以展开式中 x2的系数为的系数为 2C . ( ( 1 2) ) 2 10 45 4 与展开式中的特定项有关的问题与展开式中的特定项有关的问题 例例 3 (1) 6的展开式中，常数项是 的展开式中，常数项是( ) ( (x 2 1 2x) ) A B. 5 4 5 4 C D. 15 16 15 16 (2)若若(

12、x2a) 10的展开式中 的展开式中 x6的系数为的系数为 30，则，则 a 等于等于( ) ( (x 1 x) ) A. B. 1 3 1 2 C1 D2 解析解析 (1) 6展开式的通项 展开式的通项 ( (x 2 1 2x) ) Tr 1 C (x2)6 rr rC x123r， ， r 6 ( ( 1 2x) ) ( ( 1 2) ) r 6 令令 123r0，解得，解得 r4. 所以常数项为所以常数项为 4C . ( ( 1 2) ) 4 6 15 16 (2)依题意，注意到依题意，注意到 10的展开式的通项公式是 的展开式的通项公式是 Tr 1 C x10 rr C x10 2r，

13、 ， ( (x 1 x) ) r 10 ( ( 1 x) ) r 10 10的展开式中含 的展开式中含 x4(当当 r3 时时)、x6(当当 r2 时时)项的系数分别为项的系数分别为 C 、C ，因此由题意，因此由题意 ( (x 1 x) ) 3 102 10 得得 C aC 12045a30，由此解得，由此解得 a2. 3 102 10 答案答案 (1)D (2)D 求展开式中特定项的方法求展开式中特定项的方法 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，求解时先准确写出通项， 再把系数和字 母分离， 再把系数和字 母分离， 根据题目中

14、所指定的字母的指数所具有的特征，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求 解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数 列出方程或不等式即可求 解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数 3已知在已知在 n的展开式中，第 的展开式中，第 6 项为常数项项为常数项 ( ( 3 x 3 3 x) ) (1)求求 n 的值；的值； (2)求含求含 x2的项的系数；的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项 解：解：(1)通项为通项为 Tr 1 C x (3)rx C (3)rx. r n nr 3 r 3 r n n2r 3 因为第因为第 6 项

15、为常数项，所以项为常数项，所以 r5 时，有时，有0，即，即 n10. n 2r 3 (2)令令2，得，得 r (n6)2. n 2r 3 1 2 所以所求的系数为所以所求的系数为 C (3)2405. 2 10 (3)根据通项，由题意得根据通项，由题意得 Error!Error! 所以所以 r 可取可取 2,5,8. 所以第所以第 3 项，第项，第 6 项与第项与第 9 项为有理项，项为有理项， 它们分别为它们分别为 C (3)2x2，C (3)5，C (3)8x 2， ， 2 105 108 10 即即 405x2，61 236,295 245x 2. 解题高手解题高手妙解题妙解题 若若(

16、2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，求，求 a0a12a23a3的值的值 尝试尝试 巧思巧思 因为展开式为 因为展开式为 x2 的多项式， 因此可考虑将的多项式， 因此可考虑将 2x3 变形为变形为 2x32(x2) 1，然后利用二项式定理展开即可，然后利用二项式定理展开即可 妙解妙解 由 由(2x3)32(x2)13 C 2(x2)3(1)0C 2(x2)2(1)1C 2(x2)1(1)2C 2(x2)0(1)3 0 31 32 33 3 8(x2)312(x2)26(x2)1 a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3. 则则 a01，a16，a212，a38. 则则

17、 a0a12a23a35. 1(x1)5的展开式中第的展开式中第 3 项的系数为项的系数为( )2 A20 B202 C20 D202 解析：选解析：选 D Tr 1 C (x)5 r( 1)r， r 5 2 T2 1 C (x)3(1)2()3C x320x3， 2 5 22 2 5 2 第第 3 项的系数为项的系数为 20 . 2 212C 4C 8C (2)nC ( ) 1 n2 n3 nn n A1 B1 C(1)n D3n 解析 ： 选解析 ： 选 C 逆用公式， 将 逆用公式， 将 1 看作公式中的看作公式中的 a， ， 2 看作公式中的看作公式中的 b， 可得原式， 可得原式(1

18、2)n (1)n. 3. 9展开式中的第四项是 展开式中的第四项是( ) ( (x 1 x) ) A56x3 B84x3 C56x4 D84x4 解析：选解析：选 B 由通项公式有 由通项公式有 T4C x6 3 84x3. 3 9 ( ( 1 x) ) 4. 9的展开式中，常数项为 的展开式中，常数项为_ ( (2x 1 x) ) 解析：解析：Tr 1 C (2x)9 rr (1)r29 rC x ， r 9 ( ( 1 x) ) r 9 93 2r 令令 9 r0，得，得 r6. 3 2 T7C 23672. 6 9 答案：答案：672 5若若(xa)10的展开式中，的展开式中，x7的系数

19、为的系数为 15，则，则 a_.(用数字填写答案用数字填写答案) 解析 ： 二项展开式的通项公式为解析 ： 二项展开式的通项公式为 Tr 1 C x10 rar，当 ，当 10r7 时，时，r3，T4C a3x7， r 103 10 则则 C a315，故，故 a . 3 10 1 2 答案：答案：1 2 6已知已知 n(n N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 101，求，求 ( ( x 2 x2) ) 展开式中含展开式中含 x 的项的项 3 2 解：由题意知第五项的系数为解：由题意知第五项的系数为 C (2)4，第三项的系数为，第三项

20、的系数为 C (2)2，则，则， 4 n2 n C4 n 2 4 C2 n 2 2 10 1 解得解得 n8(n3 舍去舍去) 所以通项为所以通项为 Tr 1 C ()8 rr C (2)rx. r 8 x ( ( 2 x2) ) r 8 85r 2 令 ，得令 ，得 r1. 8 5r 2 3 2 展开式中含展开式中含 x的项为的项为 T216x. 3 2 3 2 一、选择题一、选择题 1(x)10展开式中展开式中 x6的系数是的系数是( )2 A8C B8C 4 104 10 C4C D4C 4 104 10 解析：选解析：选 D Tr 1 C x10 r( )r， r 10 2 令令 10

21、r6， r4，T5()4C x64C x6，系数为，系数为 4C .2 4 104 104 10 2 若 若(12x)5的展开式中， 第的展开式中， 第 2 项小于第项小于第 1 项， 且不小于第项， 且不小于第 3 项， 则项， 则 x 的取值范围是的取值范围是( ) A. B. ( ( ， ， 1 10) ) ( ( 1 10， ，0 C. D. 1 4， ， 1 10) ) 1 4， ，0 解析：选解析：选 B T1C 1，T2C (2x)10x， 0 51 5 T3C (2x)240x2. 2 5 根据题意可知根据题意可知Error!Error!即即Error!Error! 解得解得x

22、0. 1 10 3. n的展开式中，常数项为 的展开式中，常数项为 15，则，则 n 的值为的值为( ) ( (x 2 1 x) ) A3 B4 C5 D6 解析：选解析：选 D 由通项公式 由通项公式 Tr 1 C (x2)n r( 1)rx rr n (1)rC x2n 3r.r n 令令 2n3r0，得，得(1)rC 15，由，由 r n，rN ，排除选项 ，排除选项 B、C，再将选项，再将选项 B、D r n 2 3 代入验证代入验证 n6. 4在在 6的二项展开式中， 的二项展开式中，x2的系数为的系数为( ) ( ( x 2 2 x) ) A B. 15 4 15 4 C D. 3

23、 8 3 8 解析：选解析：选 C 在 在 6的展开式中，第 的展开式中，第 r1 项为项为 ( ( x 2 2 x) ) Tr 1 C 6rr C 6rx3r( 2)r， r 6( ( x 2) ) ( ( 2 x) ) r 6( (1 2) ) 当当 r1 时，为含时，为含 x2的项，的项， 其系数是其系数是 C 5( 2) . 1 6( (1 2) ) 3 8 二、填空题二、填空题 5. 10的展开式中含 的展开式中含 x 的正整数指数幂的一共有的正整数指数幂的一共有_项项 ( ( x 1 3x) ) 解析：因为解析：因为 Tr 1 C ()10 rrr 10 x ( ( 1 3x) )

24、 C rx ， r 10( ( 1 3) ) 53 2r 由由 5 rN 知 知 r0 或或 r2，所以展开式中含，所以展开式中含 x 的正整数指数幂的一共有的正整数指数幂的一共有 2 项项 3 2 答案：答案：2 6若若(1)4ab，则，则 ab_.22 解析 ： 解析 ： (1)4C ()0C ()1C ()2C ()3C ()414122 0 4 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 22 841712，由已知，得，由已知，得 1712ab，2222 a17，b12，故，故 ab17125. 答案：答案：5 7. 5的展开式中 的展开式中 x8的系数是的系数是_(用数字作答用数

25、字作答) ( (x 3 1 2x) ) 解 析 ： 解 析 ： Tr 1 C (x3)5 rr C x15 3rrx rC x (r r 5 ( ( 1 2x) ) r 5 ( ( 1 2) ) r 2 ( ( 1 2) ) r 5 307r 2 0,1,2,3,4,5)， 由由8，得，得 r2， 30 7r 2 2C . ( ( 1 2) ) 2 5 5 2 答案：答案：5 2 8(1xx2) 6的展开式中的常数项为 的展开式中的常数项为_ ( (x 1 x) ) 解析 ：解析 ： 6的展开式中， 的展开式中，Tr 1 C x6 rr (1)rC x6 2r， 令，令62r0，得，得r3，T

26、4C ( (x 1 x) ) r 6 ( ( 1 x) ) r 6 (1)3C ，令，令62r1，得，得r (舍去舍去)，令，令62r2，得，得r4，T5C (1)4x 2， 所以，所以(1x 3 63 6 7 2 4 6 x2) 6的展开式中的常数项为 的展开式中的常数项为 1(C )C 20155. ( (x 1 x) ) 3 64 6 答案：答案：5 三、解答题三、解答题 9已知在已知在 n的展开式中，第 的展开式中，第 5 项的系数与第项的系数与第 3 项的系数之比为项的系数之比为 563，求展，求展 ( ( x 2 x2) ) 开式中的常数项开式中的常数项 解：解：T5C ()n 4

27、24x8 16C x， 4 n x 4 n n20 2 T3C ()n 222x4 4C x 2 n x 2 n n10 2 由题意知，由题意知， 16C4 n 4C2 n 56 3 解得解得 n10. Tr 1 C ()10 r2rx2r 2rC x， r 10 x r 10 105r 2 令令 50，解得，解得 r2， 5r 2 展开式中常数项为展开式中常数项为 C 22180. 2 10 10已知已知()n(其中其中 n15)的展开式中第的展开式中第 9 项，第项，第 10 项，第项，第 11 项的二项式系数项的二项式系数x 3 x 成等差数列成等差数列 (1)求求 n 的值；的值； (

28、2)写出它展开式中的所有有理项写出它展开式中的所有有理项 解：解：(1)()n(其中其中 n15)的展开式中第的展开式中第 9 项，第项，第 10 项，第项，第 11 项的二项式系数分项的二项式系数分x 3 x 别是别是 C ，C ，C .依题意得依题意得2， 8 n9 n10 n n！ 8！ n8 ！ n！ 10！ n10 ！ n！ 9！ n9 ！ 化简得化简得 90(n9)(n8)20(n8)， 即即 n237n3220， 解得解得 n14 或或 n23， 因为因为 n15，所以，所以 n14. (2)展开式的通项展开式的通项 Tr 1 C xxC x， r 14 14r 2 r 3 r

29、14 42r 6 展开式中的有理项当且仅当展开式中的有理项当且仅当 r 是是 6 的倍数，的倍数， 0r14， 所以展开式中的有理项共所以展开式中的有理项共 3 项是：项是： r0，T1C x7x7； 0 14 r6，T7C x63 003x6； 6 14 r12，T13C x591x5. 1214 第二课时 二项式系数的性质及应用第二课时 二项式系数的性质及应用 读教材读教材填要点填要点 二项式系数的有关性质二项式系数的有关性质 (1)二项展开式一共有二项展开式一共有 n1 项项 (2)第一个字母第一个字母 a 按降幂排列，第二个字母按降幂排列，第二个字母 b 按升幂排列按升幂排列 (3)a

30、 的幂加的幂加 b 的幂等于的幂等于 n. (4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 C C. m n nm n (5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当 n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取 得最大值；当 是偶数时，中间的一项的二项式系数取 得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项的二项式系数是奇数时，中间的两项的二项式系数 C ，C 相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值 n nn n (6)C C C C 2n，这可以在二项式定理中取，这可以在二项式定理中

31、取 a1，b1 得到得到 0 n1 n2 nn n (7)C C C (1)nC 0，这可以在二项式定理中取，这可以在二项式定理中取 a1，b1 得到得到 0 n1 n2 nn n 小问题小问题大思维大思维 1若若(ab)n的展开式中只有第的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则 n 为何值？为何值？ 提示 ： 由二项式系数的性质可知，第提示 ： 由二项式系数的性质可知，第 5 项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有 9 项，故项，故 n8. 2(ab)n的展开式的各个二项式系数的和与的展开式的各个二项式系数的和与 a，b 的

32、取值有关系吗？的取值有关系吗？ 提示：提示：(ab)n的展开式的各个二项式系数的和与的展开式的各个二项式系数的和与 a，b 的值无关，其和为的值无关，其和为 C C C 0 n1 n2 n C 2n. n n 求展开式的系数和求展开式的系数和 例例 1 若 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求，求 (1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 解解 (1)令令 x0，则，则 a01， 令令 x1，则，则 a7a6a1a027128. a1a2a7129. (2)令令 x1， 则则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，

33、由得：由得：a1a3a5a7 128(4)78 256. 2 1 2 (3)由得：由得： 2 a0a2a4a6 128(4)78 128. 1 2 (4)法一 ： 法一 ： (3x1)7展开式中展开式中 a0， a2， a4， a6均小于零，均小于零， a1， a3， a5， a7均大于零， 均大于零， |a0|a1| |a2|a7|a1a3a5a7(a0a2a4a6) 8 256(8 128)16 384. 法二：法二：|a0|a1|a2|a7|即为即为(13x)7展开式中各项的系数和，展开式中各项的系数和， |a0|a1|a2|a7|(13)74716 384. 二项展开式中系数和的求法二

34、项展开式中系数和的求法 (1)对形如对形如(axb)n, (ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系 数之和，常用赋值法，只需令 的式子求其展开式的各项系 数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式 各项系数之和，只需令 的式子求其展开式 各项系数之和，只需令 xy1 即可即可 (2)一般地，若一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则，则 f(x)展开式中各项系数之和为展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为奇数项系数之和为 a0a2a4， f 1 f 1 2 偶数项系数之和为偶数项系数

35、之和为 a1a3a5. f 1 f 1 2 1设设 f(x)(x2x1)9(2x1)6，试求，试求 f(x)的展开式中：的展开式中： (1)所有项的系数和；所有项的系数和； (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 解：解：(1)所有项的系数和为所有项的系数和为 f(1)36729. (2)所有偶次项的系数和为所有偶次项的系数和为 364， f 1 f 1 2 36 1 2 所有奇次项的系数和为所有奇次项的系数和为 365. f 1 f 1 2 361 2 求展开式中系数或二项式系数最大的项求展开式中系数或二项式系数最大的项 例例 2 在 在 8的展开

36、式中， 的展开式中， ( ( x 2 x2) ) (1)系数绝对值最大的项是第几项？系数绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项；求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项；求系数最大的项； (4)求系数最小的项求系数最小的项 解解 Tr 1 C ()8 rrr 8 x ( ( 2 x2) ) (1)rC 2rx. r 8 45r 2 (1)设第设第 r1 项系数的绝对值最大项系数的绝对值最大 则则Error!Error! Error!Error!5r6， 又又rN ， ， r5 或或 r6. 故系数绝对值最大的项是第故系数绝对值最大的项是第 6 项和第项和第 7 项项 (2)二

37、项式系数最大的项为中间项，即为第二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项项 T5C 24x1 120x 6.4 8 420 2 (3)由由(1)知， 展开式中的第知， 展开式中的第 6 项和第项和第 7 项系数的绝对值最大， 而第项系数的绝对值最大， 而第 6 项的系数为负， 而项的系数为负， 而 7 项的系数为正项的系数为正 则系数最大的项为则系数最大的项为 T7C 26x 11 1 792x 11.6 8 (4)系数最小的项为系数最小的项为 T6C 25x1 792x. 5 8 17 2 17 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变 化情况，一般采

38、用列不等式 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变 化情况，一般采用列不等式(组组)，解不等式，解不等式(组组)的方法求解一般地，如果第的方法求解一般地，如果第 r1 项的系数 最大，则与之相邻两项 项的系数 最大，则与之相邻两项(第第 r 项，第项，第 r2 项项)的系数均不大于第的系数均不大于第 r1 项的系数，由此列不等 式组可确定 项的系数，由此列不等 式组可确定 r 的范围，再依据的范围，再依据 rN*来确定来确定 r 的值，即可求出最大项的值，即可求出最大项 2已知已知 n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 的展开式中，各项系数和与它

39、的二项式系数和的比为 32.( (x3x2) ) (1)求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项求展开式中系数最大的项 解：令解：令 x1， 则展开式中各项系数和为则展开式中各项系数和为(13)n22n. 又展开式中二项式系数和为又展开式中二项式系数和为 2n， 2n32，n5. 22n 2n (1)n5，展开式共，展开式共 6 项，项， 二项式系数最大的项为第三、四两项，二项式系数最大的项为第三、四两项， T3C (x)3(3x2)290x6， 2 5 2 3 T4C (x)2(3x2)3270x. 3 5 2 3 22 3 (2)设展开式中

40、第设展开式中第 k1 项的系数最大，项的系数最大， 则由则由 Tk 1 C (x)5 k(3x2)k 3kC x， k 5 2 3 k 5 104k 3 得得Error!Error! k ， ，k4， 7 2 9 2 即展开式中系数最大的项为即展开式中系数最大的项为 T5C (x)(3x2)4405x. 4 5 2 3 26 3 解题高手解题高手妙解题妙解题 如果如果 C C C C ，求，求(1x)2n的展开式中系数最大的项的展开式中系数最大的项 0 n 1 2 1 n 1 3 2 n 1 n 1 n n 31 n 1 尝试尝试 巧思巧思 由于 由于 2n 是偶数，且是偶数，且(1x)2n展

41、开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最 大的项应为第 展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最 大的项应为第 n1 项， 因此只需确定项， 因此只需确定 n 的值即可 等式可变形为的值即可 等式可变形为(n1)C (n1)C (n 0 n 1 2 1 n 1 3 1)C (n1)CC 31， 而， 而(n1)C C， (n1)C C， (n1)C C 2 n 1 n n 1nn n 0 n1n1 1 2 1 n2n1 1 3 2 n ，.故利用二项式系数的性质即可解决故利用二项式系数的性质即可解决 3n1 妙解妙解 由 由 C C C C ，得，得 0 n 1 2 1 n 1 3 2 n 1 n 1 n n 31 n 1 (n1)C (n1)C (n1)C (n