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1、3 双曲线双曲线 3.1 双曲线及其标准方程 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,则 P 点的轨迹是( ) A.双曲线B.双曲线的一支 C.直线D.一条射线 解析:由于两点间的距离为10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.在应用双曲线的定义时 一定要注意其定义中的绝对值以及 2c2a. 答案:D 2.在双曲线中,且双曲线与椭圆 4x2+9y2=36 有公共焦点,则双曲线的方程是( ) A.-x2=1B.-y2=1 C.x2-=1D.y2-=1 解析:椭圆的标准方程为=1,故焦
2、点坐标为(,0), c=.由,得 a=2,又双曲线中 c2=a2+b2,则 b2=1. 答案:B 3.已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于( ) A.2B.4C.6D.8 解析:在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即(2)2=22+|PF1|PF2|, 解得|PF1|PF2|=4. 答案:B 4.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上
3、述条件的双 曲线的标准方程为( ) A.=1B.=1 C.=1D.=1 解析:由题意,知圆 C 仅与 x 轴有交点, 由 得 x2-6x+8=0. x=2 或 x=4,即 c=4,a=2. 双曲线方程为=1. 答案:A 5.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15), 则 E 的方程为( ) A.=1B.=1 C.=1D.=1 解析:kAB=1,直线 AB 的方程为 y=x-3. 由于双曲线的焦点为 F(3,0),c=3,c2=9. 设双曲线的标准方程为=1(a0,b0), 则=1. 整理
4、,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2(-12),5a2=4b2. 又 a2+b2=9,a2=4,b2=5.双曲线 E 的方程为=1. 答案:B 6.已知双曲线=1 的两个焦点分别为 F1,F2,若双曲线上的点 P 到点 F1的距离为 12,则点 P 到点 F2的距离 为 . 解析:设 F1为左焦点,F2为右焦点,当点 P 在双曲线左支上时,|PF2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点 P 在双曲线右支上 时,|PF1|-|PF2|=10,|PF2|=2. 答案:22 或 2 7.已知 F 是双曲线=1 的左
5、焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 . 解析:设双曲线的右焦点为 F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当 |PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点 A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为 9. 答案:9 8.双曲线=1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1PF2,则点 P 到 x 轴的距离为 . 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n. 当 mn 时,由=1,知 a=3,b=4, c=5.
6、由双曲线的定义,知 m-n=2a=6. PF1PF2,PF1F2为直角三角形, 即 m2+n2=(2c)2=100. 由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36, 2mn=m2+n2-36=64.mn=32. 设点 P 到 x 轴的距离为 d,则 d|F1F2|=|PF1|PF2|, 即d2c=mn. d=, 即点 P 到 x 轴的距离为. 当 m0,4+k0,-40)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则的 取值范围为( ) A.3-2,+)B.3+2,+) C.D. 解析:如图所示, 由 c=2 得 a2+1=4,a2=3, 双曲线方程为-y2=1. 设 P 点坐标为(x,
7、y)(x), 则=(x,y)(x+2,y) =x2+2x+y2=x2+2x+-1 =x2+2x-1(x). 令 g(x)=x2+2x-1(x),则 g(x)在,+)上是增加的,g(x)min=g()=3+2, 的取值范围为3+2,+). 答案:B 4.如图,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1,F2都外切,求动圆圆心 M 的轨迹 方程. 解由题意得, F1:(x+5)2+y2=1,F2:(x-5)2+y2=16. 设动圆 M 的半径为 r, 则|MF1|=r+1,|MF2|=r+4, |MF2|-|MF1|=310=|F1
8、F2|, 可知点 M(x,y)的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线的左支,而 a=,c=5, b2=c2-a2=, 动圆圆心 M 的轨迹方程是=1. 5.导学号 90074076某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路 AP,BP 运到 P 处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,APB=60,试说明怎样运土才能最省工. 解如图,以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系.设 M 是分界线上的点, 则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的 双曲线的右支. 在APB 中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|PB|cos 60=17 500. 从而 a=25,c2=4 375, 所以 b2=c2-a2=3 750. 所以所求分界线的方程为=1(x25). 于是运土时,将此双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工.