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1、第三章测评第三章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.方程 x2+(x2+y2-1)2=0 所确定的曲线是( ) A.y 轴或圆B.两点(0,1)与(0,-1) C.y 轴或直线 y=1D.以上都不正确 答案:B 2.如图,已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A(-6,0),M 为圆 O 上任一点,AM 的垂直平分线交 OM 于 点 P,则点 P 的轨迹是( ) A.圆B.抛物线 C.椭圆D.两条直线 解析:P 为 AM 垂直平分线上的点, |PM|
2、=|PA|. 又|OP|+|PM|=10, |PA|+|PO|=106=|AO|. 故 P 点的轨迹是以 A,O 为焦点,长轴长为 10 的椭圆. 答案:C 3.双曲线=1(mn0)的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为 ( ) A.B.C.D. 解析:抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0), 双曲线=1 的焦点在 x 轴上. m0,n0,a=,b=, c=1,e=2, mn=. 答案:A 4.若抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 10,则 P 点坐标为( ) A.(9,6)B.(9,6) C.(6,9)D.(6,9) 解析:抛物线的焦点
3、坐标为(1,0),准线为 x=-1. P 到 F 的距离为 10,设 P 为(x,y), x+1=10,x=9.又 P 在抛物线上, y2=36,y=6,P 点坐标为(9,6). 答案:B 5.以双曲线=-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.=1B.=1 C.=1D.=1 解析:椭圆的顶点和焦点分别是=-1 的焦点和顶点,椭圆的长半轴长为 4,半焦距为 2, 且焦点在 y 轴上,故所求方程为=1. 答案:D 6.若点 P 是以 F1,F2为焦点的椭圆=1(ab0)上一点,且=0,tanPF1F2= ,则此椭 圆的离心率 e=( ) A.B.C.D. 解析:由=0 得. 则 ta
4、nPF1F2=. 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m. 所以 e=. 答案:A 7.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e=k,则双曲线方程为 ( ) A.=1B.=1 C.=1D.=1 解析:由题意,知 k= .又 e=k= ,所以,即 c=b.易知 a2=5b2-b2=4b2. 答案:C 8.抛物线 y=x2上到直线 2x-y-4=0 的距离最近的点的坐标是( ) A.B.(1,1) C.D.(2,4) 解析:设 P(x,y)为抛物线 y=x2上任意一点,则 P 到直线 2x-y-4=0 的距离 d= ,当 x=1 时 d 最小,此时
5、y=1,故选 B. 答案:B 9.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 相切于点 B,过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交 于点 P,则点 P 的轨迹方程为( ) A.x2-=1(x1)B.x2-=1(x0)D.x2-=1(x1) 解析:设圆与直线 PM,PN 分别相切于 E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|. |PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,点 P 的轨迹是以 M(-3,0),N(3,0) 为焦点的双曲线的右支,且 a=1,c=3,b2=8.故双曲线的方程是
6、 x2-=1(x1). 答案:A 10.若点 P 为共焦点的椭圆 C1和双曲线 C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆 的离心率为 e1,双曲线的离心率为 e2,若=0,则=( ) A.1B.2C.3D.4 解析:设椭圆的方程为=1(a1b10),双曲线的方程为=1(a20,b20),它们的半焦距 为 c,不妨设 P 为它们在第一象限的交点,因为=0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2. 由椭圆和双曲线的定义知, 解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入式,得(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即=2c2, 所以=2. 答案:B 11
7、.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则 OAB 的面积为( ) A.B.C.D. 解析:由已知得 F,故直线 AB 的方程为 y=tan 30,即 y=x-. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 将代入并整理得x2-x+=0, x1+x2=, 线段|AB|=x1+x2+p=12. 又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 d=, SOAB=|AB|d=12. 答案:D 12.导学号 90074088在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定 义为|P1P2|=|x1
8、-x2|+|y1-y2|,则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2的 “L-距离”之和等于定值(大 于|F1F2|)的点的轨迹可以是( ) 解析:不妨设 F1(-a,0),F2(a,0),其中 a0,点 P(x,y)是其轨迹上的点,P 到 F1,F2的“L-距离”之和等于 定值 b(大于|F1F2|), 所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b, 即|x-a|+|x+a|+2|y|=b. 当 xa,y0 时,上式可化为 x+y=; 当 xa,y1 或 kb0),则 e=. 因为 c=1,所以 a=.所以 b=1.故所求椭圆的方程为+y2=1. 答案:+y2=1 15.在抛物线 y2
9、=16x 内,通过点 M(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是 . 解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A,B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得=16x1,=16x2, 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即, 又M(2,4)是 A,B 的中点,y1+y2=24=8, kAB=2. 所求直线方程为 y=2x. 答案:y=2x 16.导学号 90074089已知双曲线 C1:=1(a0,b0)与双曲线 C2:=1 有 相同的渐近线,且 C1的右焦点为 F(,0),则 a= ,b= . 解析:与双曲线=1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为
10、=(0). C1的右焦点为(,0),0. a2=4,b2=16,c2=20=5. =,即 a2=1,b2=4,a=1,b=2. 答案:1 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(满分 10 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为 y=x,且过点 (4,-). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求. 解(1)双曲线的一条渐近线方程为 y=x,a=b, 设双曲线方程为 x2-y2=(0). 把(4,-)代入双曲线方程得 42-(-)2=, =6,所求双曲线方程为 x2-y2
11、=6, 即=1. (2)由(1)知双曲线方程为 x2-y2=6, 双曲线的焦点为 F1(-2,0),F2(2,0). 点 M 在双曲线上,32-m2=6,m2=3, =(-2-3,-m)(2-3,-m) =(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0. 18.(满分 12 分) 如图,已知抛物线 C1:x2+by=b2经过椭圆 C2:=1(ab0)的两个焦点. (1)求椭圆 C2的离心率; (2)设点 Q(3,b),又 M,N 为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点,若QMN 的重心在抛物线 C1上,求 C1 和 C2的方程. 解(1)因为抛物线 C1经过椭圆 C2的两个焦点 F1(-c,0),
12、F2(c,0), 所以 c2+b0=b2,即 c2=b2. 由 a2=b2+c2=2c2,得椭圆 C2的离心率 e=. (2)由(1)可知 a2=2b2,则椭圆 C2的方程为 =1. 联立抛物线 C1的方程 x2+by=b2得 2y2-by-b2=0, 解得 y=-或 y=b(舍去),所以 x=b, 即 M,N. 所以QMN 的重心坐标为(1,0). 因为重心在抛物线 C1上,所以 12+b0=b2, 得 b=1.所以 a2=2. 所以抛物线 C1的方程为 x2+y=1, 椭圆 C2的方程为+y2=1. 19.(满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x2-y2=1.
13、(1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点,若|MF|=2,求点 M 的坐标; (2)设斜率为 k(|k|0)交于 A,B 两点,O 为坐标原点,=(-4,- 12). (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (2)抛物线上一动点 P 从点 A 到点 B 运动时,求ABP 面积的最大值. 解(1)由得 x2+2pkx-4p=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk, y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. 因为=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12), 所以解得 所以直线 l 的方程为 y=2x-2,抛
14、物线 C 的方程为 x2=-2y. (2)设点 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与直线 l 平行时,ABP 的面积最大. 设切线方程是 y=2x+t, 由得 x2+4x+2t=0, =42-42t=0,t=2. 此时,点 P 到直线 l 的距离为两平行线间的距离, d=. 由得 x2+4x-4=0, |AB|=|x1-x2| = =4, ABP 面积的最大值为4=8. 22.导学号 90074090(满分 12 分) 如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:=1(a10,b10)和椭圆 C2:=1(a2b20)均过点 P ,且以 C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积
15、为 2 的正方形. (1)求 C1,C2的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1交于 A,B 两点,与 C2只有一个公共点,且|=|?证明你 的结论. 解(1)设 C2的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2. 从而 a1=1,c2=1. 因为点 P在双曲线 x2-=1 上, 所以=1.故=3. 由椭圆的定义知 2a2=2. 于是 a2=2. 故 C1,C2的方程分别为 x2-=1,=1. (2)不存在符合题设条件的直线. 若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x=或 x=- . 当 x=时,易知 A(),B(,-), 所以
16、|=2,|=2. 此时,|. 当 x=-时,同理可知,|. 若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m. 由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. 当 l 与 C1相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2是上述方程的两个实根,从而 x1+x2= ,x1x2=. 于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=. 由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. 因为直线 l 与 C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式 =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化简,得 2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=0, 于是+2-2, 即|,故|. 综合可知,不存在符合题设条件的直线.