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1、5.3 直线与平面的夹角 课后训练案巩固提升巩固提升 1.下列有关角的说法正确的是( ) A.异面直线所成的角的范围是 B.两平面的夹角可以是钝角 C.斜线和平面所成角的范围是 D.直线与平面的夹角的取值范围是 解析:异面直线所成的角的范围是,A 错;两平面的夹角的范围是,B 错;斜线与平面所成角就是斜线与 平面的夹角,规定斜线和平面所成角的范围是,C 错;而直线与平面的夹角的取值范围是,D 对. 答案:D 2.已知在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于( ) A.B.C.D. 解析:以 D 为坐标原点, 建立空间直角坐标系,如图
2、.设 AA1=2AB=2,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0),=(1,1,0), =(0,1,2).设平面 BDC1的法向量为 n=(x,y,z),则 n,n,所以有令 y=-2,得平面 BDC1的一个 法向量为 n=(2,-2,1).设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ,则 sin =|cos|=. 答案:A 3.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 夹 角的大小是( ) A.B.C.D. 解析:如图,取 BC 的中点 E,连接 DE,
3、AE,AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得 AE平面 BB1C1C,故ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 的夹角.设各棱长为 1,则 AE=,DE= ,所以 tanADE=,所以ADE= ,故选 C. 答案:C 4. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD底面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 PD=AB=1,G 为ABC 的重心,则 PG 与 底面 ABCD 所成的角 满足( ) A.= B.cos = C.tan = D.sin = 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G.又平 面ABCD的一个法向量
4、为n=(0,0,1),则cos=-,所以PG与平面ABCD所成角的余 弦值为. 答案:B 5.若平面 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 夹角的余弦值为 . 解析:cos=, l 与 夹角的余弦值为. 答案: 6.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE=3AF,BE与平面ABCD的夹角为 ,则平面FBE 与平面 DBE 夹角的余弦值是 . 解析:因为 DA,DC,DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D-xyz,如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 的夹角为,即DBE=, 所以.由 AD=3 可知
5、DE=3,AF=, 则 A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0). 所以=(0,-3,),=(3,0,-2). 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z), 则 令 z=,则 n=(4,2,).由题意知 AC平面 BDE, 所以为平面 BDE 的法向量,=(3,-3,0). 所以 cos=. 故由题意知平面 FBE 与平面 DBE 夹角的余弦值为. 答案: 7. 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC底面 ABCD.已知ABC=45,AB=2,BC=2 ,SA=SB=. (1)求证:SABC; (2)求直线
6、 SD 与平面 SAB 夹角的正弦值. (提示:用向量法求解) (1)证明如图,作 SOBC,垂足为 O,连接 AO. 由侧面 SBC底面 ABCD,得 SO平面 ABCD. 因为 SA=SB, 所以 AO=BO. 又ABC=45, 故AOB 为等腰直角三角形,且 AOOB. 如图,以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴正向,OB 为 y 轴正向,OS 为 z 轴正向,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A( ,0,0),B(0,0),C(0,-,0),S(0,0,1), 所以=(,0,-1),=(0,2,0). 所以=0.所以 SABC. (2)解如上图,取 AB 的中点 E. 连接 SE,取
7、 SE 的中点 G,连接 OG, 则. 所以=0,=0, 即 OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE,AB 垂直, 所以 OG平面 SAB. 将的夹角记为 ,SD 与平面 SAB 的夹角记为 ,则 与 互余. 因为 D(,-2,0),所以=(-,2,1), 所以 cos =,所以 sin =. 所以直线 SD 与平面 SAB 夹角的正弦值为. 8. 导学号 90074044如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2, BAD=60. (1)求证:BD平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与平面 PAC 所成角的余弦值; (3)若 PA=
8、4,求平面 PBC 与平面 PDC 所成角的余弦值. 解(1)因为底面 ABCD 是菱形,所以 BDAC. 又 PA平面 ABCD,所以 BDPA. 又 PAAC=A,所以 BD平面 PAC. (2)设 BDAC=O,连接 PO,由(1)可知BPO 即为 PB 与平面 PAC 所成的角. 因为 PA=AB=2,所以 PB=2.又BAD=60, 所以 OB=BD=1,所以 cosBPO=,所以 PB 与平面 PAC 所成角的余弦值为. (3) 以 BD 与 AC 的交点 O 为坐标原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,过点 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得,AO=OC=,OD=OB=1,所以 P(0,-,4),B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),=(0, 2 ,-4),=(-1,0),=(-1,-,0). 设平面 PBC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 PDC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 由可得令 x1=,可得 n1=.同理,由 可得n2=,所以cos=-,所以平面PBC与平面PDC所 成角的余弦值为.