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1、6 距离的计算距离的计算 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.已知向量 n=(1,0,-1)与直线 l 垂直,且 l 经过点 A(2,3,1),则点 P(4,3,2)到 l 的距离为( ) A.B.C.D. 解析:n=(1,0,-1)与直线 l 垂直, n 的单位向量 n0=. 又l 经过点 A(2,3,1), =(2,0,1), 在 n 上的投影n0=(2,0,1).点 P 到 l 的距离为. 答案:B 2.已知平面 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0)在平面 内,则点 P(-2,1,4)到 的距离为( ) A.10B.3C.D. 解析: 的一个法向量为 n=(-
2、2,-2,1), n0=. 又点 A(-1,3,0)在 内,=(-1,-2,4), 点 P 到平面 的距离为|n0|=. 答案:D 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,则点 A1到对角线 BC1所在的直线的距离为( ) A.aB.aC.aD. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a). =(0,a,-a),=(-a,0,a). |=a,|=a. 点 A1到 BC1的距离 d=a. 答案:A 4. 导学号 90074046如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是线段 BB1,B1C1
3、的中点,则直线 MN 与平面 ACD1间的距离是( ) A.B.C.D. 解析:如图, 建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0). 所以=(-1,0,1),. 所以.又直线 AD1与 MN 不重合, 所以 MNAD1.又 MN平面 ACD1, 所以 MN平面 ACD1. 因为=(-1,0,1),=(0,1,-1), 设平面 ACD1的法向量 n=(x,y,z), 则所以 所以 x=y=z.令 x=1,则 n=(1,1,1). 又因为-(1,0,0)=,所以点 M 到平面 ACD1的距离 d=. 故直线 MN 与平面 ACD1间的距离为. 答案:D
4、5. 如图,在长方体 ABCD-ABCD中,AB=2,BC=3,AA=4,则点 B 到直线 AC 的距离为 . 解析:AB=2,BC=3,AA=4,则 B(2,0,0),C(2,3,0),A(0,0,4), =(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4), =(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0), 上的投影为 =. 点 B 到直线 AC 的距离 d= =. 答案: 6. 如图,已知ABC是以B为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点, 则点 A 到平面 SND 的距离为 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 N
5、(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面 SND 的 法向量为 n=(x,y,1). n=0,n=0, n=(2,1,1).=(0,0,2), 点 A 到平面 SND 的距离为. 答案: 7. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA底面 ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点.在侧 面 PAB 内找一点 N,使 NE平面 PAC,并分别求出点 N 到 AB 和 AP 的距离. 解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有 A(0,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,
6、2),E. 所以=(,1,0),=(0,0,2). 因为点 N 在侧面 PAB 内,故可设点 N 的坐标为(x,0,z),则. 由 NE平面 PAC,可得 即 化简,得所以 即点 N 的坐标为,从而点 N 到 AB 和 AP 的距离分别为 1,. 8.已知三棱柱 ABC-A1B1C1是各条棱长均为 a 的正三棱柱,D 是侧棱 CC1的中点.求点 C 到平面 AB1D 的距离. 解 (方法一)如图,连接 A1B,交 AB1于点 M,连接 DM,则 DM平面 AA1B1B,所以 A1BDM.又=()( )=|2-|2=0, A1BAB1. A1B平面 AB1D. 即是平面 AB1D 的一个法向量.
7、 故点 C 到平面 AB1D 的距离 d= =a. (方法二)如图,以 B 为原点,过点 B 与 BC 垂直的直线为 x 轴,BC 所在的直线为 y 轴,BB1所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),A,A1,B1(0,0,a),D,C(0,a,0). 可知. 取 AB1的中点 M,则 M. , a+0(-a)=0. DMA1B.又a2+-a2=0, A1BAB1. A1B平面 AB1D. 即是平面 AB1D 的一个法向量, 故点 C 到平面 AB1D 的距离 d= =a. B 组 1.已知 ABCD-EFGH 是棱长为 1 的正方体,若点 P 在正方体内部且满足,则
8、点 P 到 AB 的距离为( ) A.B.C.D. 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,则(1,0,0)+ (0,1,0)+ (0,0,1)=.又=(1,0,0),上的 投影为,点 P 到 AB 的距离为. 答案:A 2. 如图,在直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AEB 是等腰直角三角形,其中AEB=90,则 点 D 到平面 ACE 的距离为( ) A.B. C.D.2 解析: 取 AB 的中点 O,以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而 =(0,0,2),=
9、(1,1,0),=(0,2,2).设平面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z),则令 y=1,则 x=-1,z=-1,n=(-1,1,-1)为平面 ACE 的一个法向量.故点 D 到平面 ACE 的距离 d=. 答案:B 3. 如图,BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD平面 BCD,AB平面 BCD,AB=2,则点 A 到平面 MBC 的距离为 . 解析:取 CD 的中点 O,连接 OB,OM,则 OBCD,OMCD. 又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD. 以 O 为原点,建立空间直角坐标系如图, 由题意得 OB=OM=,AB=2, 所以 C(1,0,0)
10、,M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2). 设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, 则=(1,0),=(0,), 由取 n=(,-1,1). 又=(0,0,2),则点 A 到平面 MBC 的距离 d=. 答案: 4. 如图,正方体的棱长为 1,E,F,M,N 分别是所在棱的中点,则平面 A1EF 与平面 B1NMD1间的距离为 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1(1,0,0),B1(1,1,0),E,F,D1(0,0,0),M,N. E,F,M,N 分别是所在棱的中点,MNEF,A1EB1N.平面 A1EF平面 B1NMD1. 平面 A1EF 与平面 B1
11、NMD1间的距离即为 A1到平面 B1NMD1的距离. 设平面 B1NMD1的法向量为 n=(x,y,z), =(1,1,0), n=0,且 n=0. 即(x,y,z)(1,1,0)=0,且(x,y,z)=0.x+y=0,且-x+z=0, 令 x=2,则 y=-2,z=1. n=(2,-2,1),n0=. =(0,1,0), A1到平面 B1NMD1的距离为 d=|n0|=. 答案: 5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是 AC 的中点. (1)求证:B1C平面 A1BD; (2)求点 B1到平面 A1BD 的距离. (1)证明连接 AB1交 A
12、1B 于 E,连接 DE. B1C平面 A1BD. (2)解建立如图所示的坐标系, 则 B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3), 所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3). 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z), 所以 即取 n=(3,0,1). 所以所求距离为 d=. 6. 导学号 90074047如图,平面 PAD平面 ABCD,ABCD 为正方形,PAD=90,且 PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为? 若存在,求出 CQ 的值;若不存在,请说明理由. 解由题意知 P
13、A,AD,AB 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1). 假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足题设条件. 令 CQ=m(0m2),则 DQ=2-m. 点 Q 的坐标为(2-m,2,0),=(2-m,2,-1). 而=(0,1,0),设平面 EFQ 的法向量为 n=(x,y,z), 则 令 x=1,则 n=(1,0,2-m)是平面 EFQ 的一个法向量. 又=(0,0,1), 点 A 到平面 EFQ 的距离 d=,即(2-m)2=, m=2,不合题意,舍去. 故存在点 Q,且 CQ=时,点 A 到平面 EFQ 的距离为.