《2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题三 导数的简单应用含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题三 导数的简单应用含解析.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、重点增分专题三 导数的简单应用重点增分专题三 导数的简单应用 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 奇函数的定义及利用导数的几何意义 求切线方程 奇函数的定义及利用导数的几何意义 求切线方程T6 利用导数的几何意义求 切线方程 利用导数的几何意义求 切线方程T13 2018 利用函数的极值点求参数及单调区 间 利用函数的极值点求参数及单调区 间T21(1) 利用导数求函数的单调 区间 利用导数求函数的单调 区间T21(1) 利用导数的几何 意义求切线方 程 利用导数的几何 意义求切线方 程T21(1) 利用导数的几何意义求切线方程利用导数的几何意
2、义求切线方程T14 2017 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性T21(1) 利用导数研究函数的单 调性 利用导数研究函数的单 调性T21(1) 利用导数研究函 数的单调性 利用导数研究函 数的单调性T21(1) 2016利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性T21(1) 利用导数的几何意义求 切线方程 利用导数的几何意义求 切线方程T20(1) 利用导数研究函 数的单调性 利用导数研究函 数的单调性T21(1) (1)此部分内容是高考命题的热点内容在选择题、填空题中多考查导数的几何意义， 难度较小 此部分内容是高考命题的热点内容在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，
3、 难度较小 (2)应用导数研究函数的单调性、 极值、 最值， 多在选择题、 填空题最后几题的位置考查， 难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般 应用导数研究函数的单调性、 极值、 最值， 多在选择题、 填空题最后几题的位置考查， 难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般 保分考点保分考点练后讲评练后讲评考考点点一一导导数数的的几几何何意意义义 大稳定大稳定常常规 规角角度度考考双双基基 1.(2018全国卷全国卷)曲线曲线 y2ln x 在点在点(1,0)处的切线方程为处的切线方程为已已知知切切点点求求切切线 线方方程程 _ 解析：因为解析：因为
4、y ， ，y|x 1 2，所以切线方程为，所以切线方程为 y02(x1)，即，即 y2x2. 2 x 答案：答案：y2x2 2.曲线曲线 f(x)x3x3 在点在点 P 处的切线平行于直线处的切线平行于直线 y2x1，由由切切线 线方方程程求求切切点点坐 坐标 标 则点则点 P 的坐标为的坐标为_ 解析：解析：f(x)3x21，令，令 f(x)2，则，则 3x212，解得，解得 x1 或或 x1，P(1,3)或或 (1,3)，经检验，点，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线均不在直线 y2x1 上，故点上，故点 P 的坐标为的坐标为(1,3)和和(1,3) 答案：答案：(1,3)和和(1
5、,3) 3.(2018全国卷全国卷)曲线曲线 y(ax1)ex在点在点(0,1)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2，求求参参数数值 值或或范 范围 围 则则 a_. 解析：解析：y(axa1)ex，当，当 x0 时，时，ya1， a12，解得，解得 a3. 答案：答案：3 4.曲线曲线f(x)x32x22过点过点P(2,0)已已知知切切线线上上一一点点 非非切切点点 求求切切线线方方程程 ( 1 2 x 5 2) 的切线方程为的切线方程为_ 解析：因为解析：因为 f(2)23222220， 所以点所以点 P(2,0)不在曲线不在曲线 f(x)x32x22 上上 设切点坐标为设切点坐标为(x0，
6、y0)，则 ，则 x0 ， ， 1 2 5 2 因为因为 f(x)3x24x， 所以所以Error! 消去消去 y0，整理得，整理得(x01)(x 3x01)0， 2 0 解得解得 x01 或或 x0(舍去舍去) 3 5 2 或或 x0(舍去舍去)， 3 5 2 所以所以 y01，f(x0)1， 所以所求的切线方程为所以所求的切线方程为 y1(x1)， 即即 yx2. 答案：答案：yx2 解题方略解题方略 1求曲线求曲线 yf(x)的切线方程的的切线方程的 3 种类型及方法种类型及方法 类型类型方法方法 已知切点已知切点 P(x0，y0)，求切线方程，求切线方程求出切线的斜率求出切线的斜率 f
7、(x0)，由点斜式写出方程，由点斜式写出方程 已知切线的斜率已知切线的斜率 k，求切线方程，求切线方程 设切点设切点 P(x0，y0)，通过方程，通过方程 kf(x0)解得解得 x0， 再由点斜式写出方程 ， 再由点斜式写出方程 已知切线上一点已知切线上一点(非切点非切点)，求切线方程，求切线方程 设切点设切点 P(x0， y0)， 利用导数求得切线斜率， 利用导数求得切线斜率 f(x0)， 再由斜率公式求得切线斜率，列方程 ， 再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组组)解得解得 x0， 再由点斜式或两点式写出方程 ， 再由点斜式或两点式写出方程 2由曲线的切线求参数值或范围的由曲线的切线求参数
8、值或范围的 2 种类型及解题关键种类型及解题关键 类型类型解题关键解题关键 已知曲线在某点处的切线求 参数 已知曲线在某点处的切线求 参数 关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求 出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件， 建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值 关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求 出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件， 建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值 已知曲线的切线方程， 求含有 双参数的代数式的取值范围 已知曲线的切线方程， 求含有 双参数的代数式的取值范围 关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含
9、双参数的 代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程， 关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的 代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程， 寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、 基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围 寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、 基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围 小创新小创新变 变换换角角度度考考迁迁移移 1.已知函数已知函数 f(x)x2ax 的图象在点的图象在点 A(1， f(1)处的切线处的切线 l 与直线与直线 x3y1与与数数列列交交汇 汇 0 垂直，记数列
10、的前垂直，记数列的前 n 项和为项和为 Sn，则，则 S2 018的值为的值为( ) 1 f n A. B. 2 016 2 017 2 017 2 018 C.D. 2 015 2 016 2 018 2 019 解析：选解析：选 D 由题意知 由题意知 f(x)x2ax 的图象在点的图象在点 A(1，f(1)处的切线斜率处的切线斜率 kf(1) 2a3a1， 故， 故 f(x)x2x.则 ，则 ， S2 0181 1 f n 1 n n 1 1 n 1 n 1 1 2 1 2 1 3 1. 1 2 018 1 2 019 1 2 019 2 018 2 019 2.曲线曲线 f(x)x33
11、x2在点在点(1， f(1)处的切线截圆处的切线截圆 x2(y1)24 所得的弦长所得的弦长与与圆 圆交 交汇 汇 为为( ) A4 B2 2 C2 D. 2 解析 ： 选解析 ： 选A 因为 因为f(x)3x26x， 则， 则f(x)在点在点(1， f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率k363， 又 ， 又 f(1)2，故切线方程为，故切线方程为 y23(x1)，即，即 3xy10. 因为圆心因为圆心 C(0，1)到直线到直线 3xy10 的距离的距离 d0， 所以直线所以直线 3xy10 截圆截圆 x2(y1)24 所得的弦长就是该圆的直径所得的弦长就是该圆的直径 4，故选，故选 A. 3
12、.已知函数已知函数 f(x) x sin xcos x 的图象在点的图象在点 A(x0，y0)处的切线处的切线与与三三角角函函数数交交汇 汇 1 2 1 4 3 4 的斜率为的斜率为 1，则，则 tan x0_. 解析：解析：f(x) x sin xcos x，f(x) cos xsin x sin. 1 2 1 4 3 4 1 2 1 4 3 4 1 2 1 2 (x 6) 函数函数 f(x)的图象在点的图象在点 A(x0，y0)处的切线斜率为处的切线斜率为 1， sin1， 1 2 1 2 (x 0 6) x0 2k，kZ，Z， 6 2 x02k，kZ，Z， 2 3 tan x0tan.
13、( 2 3 2k)3 答案：答案： 3 考考点点二二利利用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性 增增分分考考点点 深深度度精精研研 析母题析母题高高考考年年年年“神神”相相似似 典例典例 已知函数 已知函数 f(x)ex(exa)a2x，讨论，讨论 f(x)的单调性的单调性 解解 函数 函数 f(x)的定义域为的定义域为(，)， f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa) 若若 a0，则，则 f(x)e2x在在(，)上单调递增上单调递增 若若 a0，则由，则由 f(x)0，得，得 xln a. 当当 x(，ln a)时，时，f(x)0； 当当 x(ln a，)时，时，f(x)0.
14、故故 f(x)在在(，ln a)上单调递减，上单调递减， 在在(ln a，)上单调递增上单调递增 若若 a0，则由，则由 f(x)0，得，得 xln. ( a 2) 当当 x时，时，f(x)0； ( ， ，ln(a 2) 当当 x时，时，f(x)0. (ln( a 2)， ， ) 故故 f(x)在上单调递减，在上单调递减， ( ， ，ln(a 2) 在上单调递增在上单调递增 (ln( a 2)， ， ) 练子题练子题高高考考年年年年“形形”不不同同 1若本例中若本例中 f(x)变为变为 f(x)ln x ， ，aR 且R 且 a0，讨论函数，讨论函数 f(x)的单调性的单调性 1 ax 1 a
15、 解：函数解：函数 f(x)的定义域为的定义域为(0，)， 则则 f(x) . 1 x 1 ax2 ax 1 ax2 当当 a0 恒成立，恒成立， 函数函数 f(x)在在(0，)上单调递增上单调递增 当当 a0 时，由时，由 f(x)0，得，得 x ； 1 a 由由 f(x)0 时，函数时，函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 ( 1 a， ， ) (0， ， 1 a) 2若本例变为：已知函数若本例变为：已知函数 f(x)ex(exa)a2x 在在1，)上单调递增，求实数上单调递增，求实数 a 的取 值范围 的取 值范围 解：由本例解析知解：由本例解析知 f(x)
16、(2exa)(exa)， f(x)在在1，)上单调递增，上单调递增， 则则 f(x)0 在在1，)上恒成立，上恒成立， (2exa)(exa)0， 2exaex在在1，)上恒成立，上恒成立， 2eae， 实数实数 a 的取值范围为的取值范围为2e，e 3若本例变为：函数若本例变为：函数 f(x)ex(exa)a2x 在在1，)上存在单调递减区间，求实数上存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围的取值范围 解：由本例解析知解：由本例解析知 f(x)2e2xaexa2， 设设 tex，x1，)，te，)， 即即 g(t)2t2ata2在在e，)上有零点上有零点 g(e)2e2aea2e 或或 a0
17、)由由Error!得得 00，函数，函数 f(x)为增函数为增函数 又又 f(3)f(1)，10，得，得 x 1 2x 4x21 2x ，令，令 f(x)0)在在1，)上的最大值为，则上的最大值为，则 a 的值为的值为( ) x x2a 3 3 A.1 B.3 3 4 C.D.1 4 3 3 (2)已知函数已知函数 f(x)2ln x2axx2有两个极值点有两个极值点 x1，x2(x10，f(x)单调递增，单调递增，a 故当故当 x时，函数时，函数 f(x)有最大值，得有最大值，得 a 1，不合题意；，不合题意；a 1 2 a 3 3 3 4 当当 a1 时，函数时，函数 f(x)在在1，)上
18、单调递减，最大值为上单调递减，最大值为 f(1) ，不合题意； ，不合题意； 1 2 当当 0a1 时， 函数时， 函数 f(x)在在 1， ， )上单调递减， 此时最大值为上单调递减， 此时最大值为 f(1)， 得， 得 a 1 a 1 3 3 1，符合题意，符合题意3 故故 a 的值为的值为1.3 (2)f(x)的定义域为的定义域为(0，)， f(x) 2a2x， 2 x 2 x2ax 1 x 令令f(x)0， 即， 即x2ax10， 要使， 要使f(x)在在(0， ， )上有两个极值点， 则方程上有两个极值点， 则方程x2ax1 0 有两个不相等的正根，有两个不相等的正根， 则则Erro
19、r! 实数实数 a 的取值范围为的取值范围为(2，) 解题方略 已知函数极值点或极值求参数的方法解题方略 已知函数极值点或极值求参数的方法 列式列式根据极值点处导数为根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证验证 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性 逻辑推理逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性分类与整合思想研究函数的单调性 典例典例 (2018佛山月考佛山月考)已知函数已知函
20、数 f(x)ln xa2x2ax(aRR) (1)当当 a1 时，求函数时，求函数 f(x)的单调区间；的单调区间； (2)若函数若函数 f(x)在区间在区间(1，)上是减函数，求实数上是减函数，求实数 a 的取值范围的取值范围 解解 (1)当当 a1 时，时，f(x)ln xx2x，其定义域为，其定义域为(0，)， f(x) 2x1， 1 x 2x2x1 x 令令 f(x)0，则，则 x1(负值舍去负值舍去) 当当 00；当；当 x1 时，时，f(x)0， 1 x f(x)在区间在区间(0，)上为增函数，不合题意；上为增函数，不合题意； 当当 a0 时，由时，由 f(x) . 1 a f(x
21、)的单调递减区间为的单调递减区间为. ( 1 a， ， ) 依题意，得依题意，得Error!解得解得 a1； 当当 a. 1 2a f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为. ( 1 2a， ， ) 依题意，得依题意，得Error!解得解得 a . 1 2 综上所述，实数综上所述，实数 a 的取值范围是的取值范围是1，) ( ， ，1 2 法二：法二：f(x) 2a2xa. 1 x 2a2x2ax1 x 由由 f(x)在区间在区间(1，)上是减函数，可得上是减函数，可得 g(x)2a2x2ax10 在区间在区间(1，)上 恒成立 上 恒成立 当当 a0 时，时，10 不合题意；不合题意； 当当
22、 a0 时，可得时，可得Error!即即Error! Error!a1 或或 a . 1 2 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是1，) ( ， ，1 2 素养通路素养通路 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养主要包括两类： 一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理， 推理形式主要有演绎 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养主要包括两类： 一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理， 推理形式主要有演绎 本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可
23、能： 方程 本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能： 方程 f(x)0 是否有根；若是否有根；若 f(x)0 有根，求出根后是否在定义域内；若根在定 义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法考查了逻辑推理这一核心素养 有根，求出根后是否在定义域内；若根在定 义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法考查了逻辑推理这一核心素养 专 专题题过过关关检检测 测 A 组组“633”考点落实练”考点落实练 一、选择题一、选择题 1已知函数已知函数 f(x)的导函数的导函数 f(x)满足下列条件：满足下列条件： f(x)0 时，时，x2； f(x)0，xln a，
24、代入曲线方程得，代入曲线方程得 y1 ln a，所以切线方程为，所以切线方程为 y(1ln a)2(xln a)，即，即 y2xln a12x1a1. 3(2019 届高三届高三广州高中综合测试广州高中综合测试)已知函数已知函数 f(x)x3ax2bxa2在在 x1 处的极值 为 处的极值 为 10，则数对，则数对(a，b)为为( ) A(3,3) B(11,4) C(4，11) D(3,3)或或(4，11) 解析：选解析：选 C f(x)3x22axb，依题意可得，依题意可得Error! 即即Error!消去消去 b 可得可得 a2a120， 解得解得 a3 或或 a4，故，故Error!或
25、或Error!当当Error!时，时， f(x)3x26x33(x1)20，这时，这时 f(x)无极值，不合题意，舍去，故选无极值，不合题意，舍去，故选 C. 4已知已知 f(x)x2ax3ln x 在在(1，)上是增函数，则实数上是增函数，则实数 a 的取值范围为的取值范围为( ) A(，2 B.6 ( ， ， 6 2 C2，) D5，)6 解析 ： 选解析 ： 选 C 由题意得 由题意得 f(x)2xa 0 在在(1，)上恒成立上恒成立g(x) 3 x 2x2ax3 x 2x2ax30在在(1， ， )上恒成立上恒成立a2240或或Error!2a2或或Error!a66 2，故选，故选
26、C.6 5(2018全国卷全国卷)设函数设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若，若 f(x)为奇函数，则曲线为奇函数，则曲线 yf(x)在 点 在 点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 解析：选解析：选 D 法一： 法一：f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa. 又又f(x)为奇函数，为奇函数，f(x)f(x)恒成立，恒成立， 即即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立，恒成立， a1，f(x)3x21，f(0)1， 曲线曲线 yf(x)在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为 yx. 法二 ： 易知法二 ：
27、 易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa， 因为， 因为f(x)为奇函数， 所以函数为奇函数， 所以函数g(x) x2(a1)xa为偶函数， 所以为偶函数， 所以a10， 解得， 解得a1， 所以， 所以f(x)x3x， 所以， 所以f(x)3x21， 所以 ， 所以 f(0)1，所以曲线，所以曲线 yf(x)在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为 yx.故选故选 D. 6函数函数 f(x)(x0)的导函数为的导函数为 f(x)，若，若 xf(x)f(x)ex，且，且 f(1)e，则，则( ) Af(x)的最小值为的最小值为 e Bf(x)的最大值为的最大值为 e Cf(x
28、)的最小值为的最小值为 Df(x)的最大值为的最大值为 1 e 1 e 解析：选解析：选 A 设 设 g(x)xf(x)ex， 所以所以 g(x)f(x)xf(x)ex0， 所以所以 g(x)xf(x)ex为常数函数为常数函数 因为因为 g(1)1f(1)e0， 所以所以 g(x)xf(x)exg(1)0， 所以所以 f(x) ， ，f(x)， ex x ex x 1 x2 当当 01 时，时，f(x)0， 所以所以 f(x)f(1)e. 二、填空题二、填空题 7 (2019 届高三届高三西安八校联考西安八校联考)曲线曲线 y2ln x 在点在点(e2,4)处的切线与坐标轴所围成的三角 形的面
29、积为 处的切线与坐标轴所围成的三角 形的面积为_ 解析 ： 因为解析 ： 因为y ， 所以曲线 ， 所以曲线y2ln x在点在点(e2,4)处的切线斜率为 ， 所以切线方程为处的切线斜率为 ， 所以切线方程为y4 2 x 2 e2 (xe2)，即，即xy20.令令 x0，则，则 y2；令；令 y0，则，则 xe2，所以切线与坐标轴，所以切线与坐标轴 2 e2 2 e2 所围成的三角形的面积所围成的三角形的面积 S e22e2. 1 2 答案：答案：e2 8已知函数已知函数 f(x)x25x2ln x，则函数，则函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是_ 解析 ： 函数解析 ： 函数 f(
30、x)x25x2ln x 的定义域是的定义域是(0， ， )， 令， 令 f(x)2x5 2 x 2x25x2 x 0，解得，解得 02，故函数，故函数 f(x)的单调递增区间是和的单调递增区间是和(2，) x 2 2x 1 x 1 2 (0， ， 1 2) 答案：和答案：和(2，) (0， ， 1 2) 9若函数若函数 f(x)xaln x 不是单调函数，则实数不是单调函数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：由题意知解析：由题意知 f(x)的定义域为的定义域为(0，)，f(x)1 ，要使函数 ，要使函数 f(x)xaln x 不不 a x 是单调函数，则需方程是单调函数，则需方程
31、1 0 在在(0，)上有解，即上有解，即 xa，a0，得，得 ln 20， 所以所以 f(x)在在0,1上单调递增，上单调递增， 所以所以 f(x)maxf(1)e1. 11 (2018潍坊统一考试潍坊统一考试)已知函数已知函数 f(x)axln x， F(x)exax， 其中， 其中 x0， a0， 1 x ax 1 x a0，即，即 F(x)在在(0，)上单调递增，不合题意，上单调递增，不合题意， 当当 a0，得，得 xln(a)； 由由 F(x)1. x ln x (1)若若 f(x)在在(1，)上单调递减，求实数上单调递减，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)若若 a2，求函数
32、，求函数 f(x)的极小值的极小值 解：解：(1)f(x)a， ln x 1 ln2x 由题意可得由题意可得 f(x)0 在在(1，)上恒成立，上恒成立， a 2 . 1 ln2x 1 ln x ( 1 ln x 1 2) 1 4 x(1，)，ln x(0，)， 当 当 0 时，函数时，函数 t 2 的最小值为 ， 的最小值为 ， 1 ln x 1 2 ( 1 ln x 1 2) 1 4 1 4 a ，即实数 ，即实数 a 的取值范围为的取值范围为. 1 4 ( ， ，1 4 (2)当当 a2 时，时，f(x)2x(x1)， x ln x f(x)， ln x12ln2x ln2x 令令 f(
33、x)0，得，得 2ln2xln x10， 解得解得 ln x 或 或 ln x1(舍去舍去)，即，即 xe. 1 2 1 2 当当 1e时，时，f(x)0， 1 2 1 2 f(x)的极小值为的极小值为 f(e) 2e4e. 1 2 e 1 2 1 2 1 2 B 组组大题专攻补短练大题专攻补短练 1(2019 届高三届高三益阳、湘潭调研益阳、湘潭调研)已知函数已知函数 f(x)ln xax2x，aR. (1)当当 a0 时，求曲线时，求曲线 yf(x)在点在点(e，f(e)处的切线方程；处的切线方程； (2)讨论讨论 f(x)的单调性的单调性 解 ：解 ： (1)当当 a0 时，时， f(x
34、)ln xx， f(e)e1， f(x) 1， f(e)1 ， 曲线 ， 曲线 yf(x) 1 x 1 e 在点在点(e，f(e)处的切线方程为处的切线方程为 y(e1)(xe)，即，即 yx. (1 1 e) ( 1 e 1) (2)f(x) 2ax1，x0， 1 x 2ax2x1 x 当当 a0 时，显然时，显然 f(x)0，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时，令时，令 f(x)0，则，则2ax2x10，易知其判别式为正，易知其判别式为正， 2ax2x1 x 设方程的两根分别为设方程的两根分别为 x1，x2(x10. 2ax2x1 x 2a xx1 x x2 x
35、令令 f(x)0，得，得 x(0，x2)，令，令 f(x)0. a x 1 x2 (1)求函数求函数 f(x)的单调区间；的单调区间； (2)若直线若直线 xy10 是曲线是曲线 yf(x)的切线，求实数的切线，求实数 a 的值的值 (3)设设 g(x)xln xx2f(x)，求，求 g(x)在区间在区间1，e上的最小值上的最小值(其中其中 e 为自然对数的底数为自然对数的底数) 解：解：(1)因为函数因为函数 f(x)， a x 1 x2 所以所以 f(x)， a x1 x2 x2 a x 1 x4 a 2 x x3 由由 f(x)0，得，得 02， 故函数故函数 f(x)的单调递增区间为的
36、单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为，单调递减区间为(，0)和和(2，) (2)设切点为设切点为(x0，y0)， 由切线斜率由切线斜率 k1x ax02a， a 2 x0 x3 0 3 0 由由 x0y01x010(x a)(x01)0x01，x0. a x0 1 x2 0 2 0 a 把把 x01 代入得代入得 a1， 把把 x0代入得代入得 a1，a 把把 x0代入无解，代入无解，a 故所求实数故所求实数 a 的值为的值为 1. (3)因为因为 g(x)xln xx2f(x)xln xa(x1)， 所以所以 g(x)ln x1a，由，由 g(x)0，得，得 xea 1； ； 由由 g(
37、x)0，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 m0 时，令时，令 f(x)0，得，得 0， m 2m f(x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 (0， ， m 2m) ( m 2m， ， ) (2)由由(1)知，当知，当 m0 时，时，f(x)在在(0，)上单调递增，无最大值上单调递增，无最大值 当当 m0 时，时，f(x)在上单调递增，在，上单调递减在上单调递增，在，上单调递减 (0， ， m 2m) m 2m f(x)maxfln2mnln 2 ln m nln 2， ( m 2m) m 2m 1 4m 1 2 1 2 n ln m ， ，mnm ln m
38、 . 1 2 1 2 1 2 1 2 令令 h(x)x ln x (x0)， 1 2 1 2 则则 h(x)1， 1 2x 2x 1 2x 由由 h(x)0，得，得 x ， 1 2 1 2 h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， (0， ， 1 2) ( 1 2， ， ) h(x)minh ln 2， ( 1 2) 1 2 mn 的最小值为的最小值为 ln 2. 1 2 4已知常数已知常数 a0，f(x)aln x2x. (1)当当 a4 时，求时，求 f(x)的极值；的极值； (2)当当 f(x)的最小值不小于的最小值不小于a 时，求实数时，求实数 a 的取值范围的
39、取值范围 解：解：(1)由已知得由已知得 f(x)的定义域为的定义域为 x(0，)， f(x) 2. a x a 2x x 当当 a4 时，时，f(x). 2x 4 x 当当 02 时，时，f(x)0，即，即 f(x)单调递增单调递增 f(x)只有极小值，且在只有极小值，且在 x2 时，时，f(x)取得极小值取得极小值 f(2)44ln 2. (2)f(x)， a 2x x 当当 a0，x(0，)时，时，f(x)0，即，即 f(x)在在 x(0，)上单调递增，没有最小值 ；上单调递增，没有最小值 ； 当当 a0 得，得，x ， ， a 2 f(x)在上单调递增；在上单调递增； ( a 2， ， ) 由由 f(x)0 得，得，x ， ， a 2 f(x)在上单调递减在上单调递减 (0， ， a 2) 当当 a0 时，时，f(x)的最小值为的最小值为 faln2. ( a 2) ( a 2) ( a 2) 根据题意得根据题意得 faln2a， ( a 2) ( a 2) ( a 2) 即即 aln(a)ln 20. a0，ln(a)ln 20，解得，解得 a2， 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是2,0)