2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题十二　概　率含解析.pdf

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1、重点增分专题十二 概 率重点增分专题十二 概 率 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 2018 频率分布表、频率分布直方图及用 频率估计概率、平均数的计算 频率分布表、频率分布直方图及用 频率估计概率、平均数的计算T19 古典概型古典概型T5 互斥事件的 概率 互斥事件的 概率T5 数学文化、有关面积的几何概型数学文化、有关面积的几何概型T4古典概型古典概型T11 2017相关系数的计算、均值及标准差公 式的应用 相关系数的计算、均值及标准差公 式的应用T19 频率分布直方图、 频率估计概 率、独立性检验 频率分布直方图、 频率估计概 率、独立

2、性检验T19 频数分布表、 用频率估计 概率 频数分布表、 用频率估计 概率T18 古典概型古典概型T3几何概型几何概型T8 2016分段函数、柱状图、频率的概念、 平均数 分段函数、柱状图、频率的概念、 平均数T19 频率估计概率、 频率分布表与 平均值的应用 频率估计概率、 频率分布表与 平均值的应用T18 古典概型古典概型T5 (1)对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大” ，即一道选择题对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大” ，即一道选择题(或 填空题 或 填空题)和一道解答题和一道解答题 (2)选择题或填空题常出现在第选择题或填空题常出现在第38题或

3、第题或第13题的位置， 主要考查古典概型、 几何概型， 难度一般 题的位置， 主要考查古典概型、 几何概型， 难度一般 (3)概率、统计的解答题多在第概率、统计的解答题多在第 18 或或 19 题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主 要有两种：一是两图 题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主 要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图频率分布直方图与茎叶图)择一与概率交汇考查，二是两图择一与概率交汇考查，二是两图(频率分布 直方图与茎叶图 频率分布 直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等 保分考点保分考点练后讲评练后

4、讲评考考点点一一古古典典概概型型 大稳定大稳定常常规 规角角度度考考双双基基 1.(2018全国卷全国卷)从从 2 名男同学和名男同学和 3 名女同学中任选名女同学中任选 2 人参加社人参加社列列举 举法法求求解解古古典典概 概型型 区服务，则选中的区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为人都是女同学的概率为( ) A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 解析 ： 选解析 ： 选D 设 设2名男同学为名男同学为a， b,3名女同学为名女同学为A， B， C， 从中选出两人的情形有， 从中选出两人的情形有(a， b)， (a， A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，

5、(A，B)，(A，C)，(B，C)，共，共 10 种，而都 是女同学的情形有 种，而都 是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共，共 3 种，故所求概率为种，故所求概率为0.3. 3 10 2.从从 1,2,3,4,5,6 中任取两个数，记第一个数为中任取两个数，记第一个数为 x，第二个数为，第二个数为 y.则则列列表表法法求求解解古古典典概概型型 事件“事件“xy5”的概率为”的概率为_ 解析：从解析：从 1,2,3,4,5,6 中任取两个数中任取两个数 x，y，则，则 xy 的所有结果如表所示：的所有结果如表所示： 从上表中可看出， 基本事件共有从上表中可看出， 基本事件共有

6、 36 个， 其中和为个， 其中和为 5 的结果出现的结果出现 4 次， 所以所求概率次， 所以所求概率 P . 4 36 1 9 答案：答案：1 9 解题方略解题方略 求古典概型概率的两个关键点 求古典概型概率的两个关键点 (1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数 n 以及事件以及事件 A 所含的基本 事件数 所含的基本 事件数 m； (2)会运用古典概型的概率计算公式会运用古典概型的概率计算公式 P(A) 求事件 求事件 A 发生的概率发生的概率 m n 小创新小创新变 变换换角角度度考考迁迁移移 1.已知向量已知向量 a(

7、x，y)，b(1，2)，从，从 6 张大小相同、分张大小相同、分古古典典概概型型与与平平面面向向量量交交汇 汇 别标有号码别标有号码 1,2,3,4,5,6 的卡片中，有放回地抽取两张，的卡片中，有放回地抽取两张，x，y 分别表示第一次、第二次抽取 的卡片上的号码，则满足 分别表示第一次、第二次抽取 的卡片上的号码，则满足 ab0 的概率是的概率是( ) A. B. 1 12 3 4 C. D. 1 5 1 6 解析 ： 选解析 ： 选 D 设 设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有 6636 个个ab0，即，即 x2y0，

8、满足，满足 x2y0 的基本事件有的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)， 共 ， 共 6 个，所以所求概率个，所以所求概率 P . 6 36 1 6 2.已知已知 a2,0,1,2,3，b3,5，则函数，则函数 f(x)(a22)exb 为为古古典典概概型型与与函函数数交交汇 汇 减函数的概率是减函数的概率是( ) A. B. 3 10 3 5 C. D. 2 5 1 5 解析 ： 选解析 ： 选 C 函数 函数 f(x)(a22)exb 为减函数，则为减函数，则 a22140，所以方案一的优惠力度更大，所以方案一的优惠力度更大 解题方略解题方略

9、破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤 题型二 概率与茎叶图的综合应用题型二 概率与茎叶图的综合应用 例例 2 (2018唐山五校联考唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的某篮球队在本赛季已结束的 8 场比赛 中， 队员甲得分统计的茎叶图如图所示 场比赛 中， 队员甲得分统计的茎叶图如图所示 (1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；求甲在比赛中得分的均值和方差的大小； (2)从甲比赛得分在从甲比赛得分在 20 分以下的分以下的 6 场比赛中随机抽取场比赛中随机抽取 2 场进行失误 分析， 求抽到 场进行失误 分析， 求抽到 2 场都不超过均值的概率场

10、都不超过均值的概率 解解 (1)甲在比赛中得分的均值 甲在比赛中得分的均值 (78101517192123)15，方差，方差 s2x 1 8 (8)2(7)2(5)2022242628232.25. 1 8 (2)甲比赛得分在甲比赛得分在 20 分以下的分数为：分以下的分数为： 7,8,10,15,17,19. 从中随机抽取从中随机抽取 2 场，这场，这 2 场比赛的得分如下：场比赛的得分如下： (7,8)， (7,10)， (7,15)， (7,17)， (7,19)， (8,10)， (8,15)， (8,17)， (8,19)， (10,15)， (10,17)， (10,19)， (1

11、5,17)，(15,19)，(17,19)，共，共 15 种，种， 其中抽到其中抽到 2 场都不超过均值的情形是：场都不超过均值的情形是： (7,8)，(7,10)，(7,15)，(8,10)，(8,15)，(10,15)，共，共 6 种，种， 所以所求概率所以所求概率 P . 6 15 2 5 解题方略解题方略 破解茎叶图与概率问题需过“两关” 破解茎叶图与概率问题需过“两关” (1)“看图读数据关” ，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据；“看图读数据关” ，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据； (2)“公式应用关” ，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概 型的概率计算公式

12、求概率 “公式应用关” ，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概 型的概率计算公式求概率 题型三 概率与统计案例的综合应用题型三 概率与统计案例的综合应用 例例 3 (2018石家庄模拟石家庄模拟)一次考试中，一次考试中，5 名学生的数学、物理成绩如下表所示：名学生的数学、物理成绩如下表所示： 学生学生A1A2A3A4A5 数学成绩数学成绩 x/分分9397899591 物理成绩物理成绩 y/分分8993879289 (1)要从要从 5 名学生中任选名学生中任选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有人参加一项活动，求选中的学生中至少有 1 人的物理成绩高人的物理成绩高

13、于于 90 分的概率分的概率 (2)根据以上数据，画出散点图并用散点图说明物理成绩根据以上数据，画出散点图并用散点图说明物理成绩 y 与数学成绩与数学成绩 x 之间线性相关 关系的强弱 如果具有较强的线性相关关系， 求 之间线性相关 关系的强弱 如果具有较强的线性相关关系， 求 y 关于关于 x 的线性回归方程的线性回归方程(系数精确到系数精确到 0.01) ； 如果不具有线性相关关系，请说明理由 ； 如果不具有线性相关关系，请说明理由 参考公式：回归直线的方程是 参考公式：回归直线的方程是 x ， ，y b a 其中 其中 .b n i 1 x i x yi y n i 1 x i x 2

14、n i 1 xiyinx y n i 1 x2 inx2 .a yb x 参考数据：参考数据：(xi )240，(xi )(yi )30. 5 i 1 x 5 i 1 xy 解解 (1)从从 5 名学生中任选名学生中任选 2 名学生的所有情况为名学生的所有情况为(A1， A2)， (A1， A3)， (A1， A4)， (A1， A5)， (A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共，共 10 种种 其中至少有其中至少有 1 人的物理成绩高于人的物理成绩高于 90 分的情况有分的情况有(A1， A2)， (A1， A4)， (A2， A3)

15、， (A2， A4)， (A2， A5)，(A3，A4)，(A4，A5)，共，共 7 种，种， 故选中的学生中至少有故选中的学生中至少有 1 人的物理成绩高于人的物理成绩高于 90 分的概率为分的概率为. 7 10 (2)散点图如图所示：散点图如图所示： 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升， 故物理成绩故物理成绩 y 与数学成绩与数学成绩 x 正相关正相关 设设 y 与与 x 的线性回归方程是 的线性回归方程是 x ，根据所给的数据，可以计算出 ，根据所给的数据，可以计算出 93， ， 90，y b a x

16、y 0.75， ， 900.759320.25，b 30 40 a 所以所以 y 与与 x 的线性回归方程是 的线性回归方程是 0.75x20.25.y 解题方略解题方略 解决概率与统计综合问题的一般步骤 解决概率与统计综合问题的一般步骤 多练强化多练强化 (2018西安八校联考西安八校联考)某工厂有某工厂有 25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁) 的工人的工人 300 名，名，25 周岁以下的 工人 周岁以下的 工人 200 名，为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法， 从中抽取了 名，为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法， 从中

17、抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25 周岁 以上 周岁 以上(含含 25 周岁周岁)”和“”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组 ：组 ： 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直 方图 ，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直 方图 (1)根据“根据“25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁)组”的频率分布直方图，求组”的频率分布直方图，

18、求 25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁) 组工人日平均生产件数的中位数的估计值组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数四舍五入保留整数)； (2)从样本中日平均生产件数不足从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取件的工人中随机抽取 2 人， 求至少抽到一名 “人， 求至少抽到一名 “25 周 岁以下组”工人的概率； 周 岁以下组”工人的概率； (3)规定日平均生产件数不少于规定日平均生产件数不少于 80 的工人为生产能手，请你根据已知条件完成的工人为生产能手，请你根据已知条件完成 22 列 联表，并判断是否有 列 联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能

19、手与工人所在的年龄组有关”？的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 生产能手生产能手非生产能手非生产能手总计总计 25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁)组组 25 周岁以下组周岁以下组 总计总计 附：附：K2. n ad bc 2 a b cd ac b d P(K2k0)0.1000.0500.0100.001 k02.7063.8416.63510.828 解 ： 采用分层抽样，“解 ： 采用分层抽样，“25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁)组”应抽取工人组”应抽取工人 10060 名，名， 300 300200 则“则“25 周岁以下组”应抽取工人周岁以下组”应抽

20、取工人 40 名名 (1)由“由“25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为组”的频率分布直方图可知，其中位数为 7010 73 件件 0.50.050.35 0.35 综上，综上，25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为组工人日平均生产件数的中位数的估计值为 73 件件 (2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，件的工人中，25 周岁以上周岁以上 (含含 25 周岁周岁)的工人共有的工人共有 600.005103 名，设其分别为名，设

21、其分别为 m1，m2，m3；25 周岁以下的工 人共有 周岁以下的工 人共有 400.005102 名， 设其分别为名， 设其分别为 n1， n2， 则所有基本事件为， 则所有基本事件为(m1， m2)， (m1， m3)， (m1， n1)，(m1，n2)，(m2，m3)，(m2，n1)，(m2，n2)，(m3，n1)，(m3，n2)，(n1，n2)，共，共 10 个个 记“至少抽到一名记“至少抽到一名25 周岁以下组的工人”为事件周岁以下组的工人”为事件 A，事件，事件 A 包含的基本事件共包含的基本事件共 7 个故个故 P(A). 7 10 (3)由频率分布直方图可知，由频率分布直方图可

22、知，25 周岁以上周岁以上(含含 25 周岁周岁)的生产能手共有的生产能手共有 60(0.02 0.005)1015 名，名，25 周岁以下的生产能手共有周岁以下的生产能手共有 40(0.032 50.005)1015 名，名， 则则 22 列联表如下：列联表如下： 生产能手生产能手非生产能手非生产能手总计总计 25 周岁以上周岁以上 (含含 25 周岁周岁)组组 154560 25 周岁以下组周岁以下组152540 总计总计3070100 K21.7862.706. 100 15 2515 45 2 60 40 30 70 综上，没有综上，没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有

23、关” 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 数据分析数据分析概率与统计综合问题的求解概率与统计综合问题的求解 典例典例 某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知 所有学生的原始成绩均分布在 某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知 所有学生的原始成绩均分布在50,100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见图 表规定： 内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见图 表规定：A，B，C 三级为合格等级，三级为合格等级，D 为不合格等级为不合格等级. 百分制百分制85 分及以上分及以上70 分到分到 84 分分60 分到分到 69 分

24、分60 分以下分以下 等级等级ABCD 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进 行统计，按照 名学生的原始成绩作为样本进 行统计，按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图如图的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中原始成绩在所示，样本中原始成绩在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示所示 (1)求求 n 和频率分布直方图中的和频率分布直方图中的 x，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的 概率； 的

25、值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的 概率； (2)在选取的样本中，从在选取的样本中，从 A，D 两个等级的学生中随机抽取两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行调查，求至少 有 名学生进行调查，求至少 有 1 名学生是名学生是 A 等级的概率等级的概率 解解 (1)由题意可知，样本容量由题意可知，样本容量 n50， 6 0.012 10 x0.004，y0.018. 2 50 10 10.040.10.12 0.56 10 因为成绩是合格等级的人数为因为成绩是合格等级的人数为(10.1)5045， 所以抽取的所以抽取的 50 人中成绩是合格等级的频率为，人中成绩是合格等级的频率为， 9

26、 10 依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是. 9 10 (2)由茎叶图知，由茎叶图知， A 等级学生共有等级学生共有 3 名， 由频率分布直方图知名， 由频率分布直方图知 D 等级学生共有等级学生共有 0.1505 名，记名，记 A 等级学生分别为等级学生分别为 A1，A2，A3，D 等级学生分别为等级学生分别为 D1，D2，D3，D4，D5， 则从则从 8 名学生中随机抽取名学生中随机抽取 2 名学生的所有情况为名学生的所有情况为 A1A2， A1A3， A1D1， A1D2， A1D3， A1D4，

27、A1D5， A2A3， A2D1， A2D2， A2D3， A2D4， A2D5， A3D1， A3D2， A3D3， A3D4， A3D5， D1D2， D1D3， D1D4， D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共，共 28 个基本事件个基本事件 记“至少有记“至少有 1 名学生是名学生是 A 等级”为事件等级”为事件 E， 则其对立事件 的可能结果为则其对立事件 的可能结果为 D1D2， D1D3， D1D4， D1D5， D2D3， D2D4， D2D5， D3D4， D3D5，E D4D5，共，共 10 种种 所以所以 P(E)1P( )1.E 10

28、 28 9 14 素养通路素养通路 数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断， 形成关于研究对象知识的素养数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息， 构建模型，进行推断，获得结论 数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断， 形成关于研究对象知识的素养数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息， 构建模型，进行推断，获得结论 本题分析频率分布直方图和茎叶图中数据得本题分析频率分布直方图和茎叶图中数据得 n50， x0.004， 结合频率之和为， 结合频率之和为 1 得得 y 0.018，从而求出样本中成绩是合格等级的频率，由样本估计总体的思想得结果；再分析茎 叶图中数据分别求出 ，从而求出样本中成绩是合格等级的频率，由样本估计总体的思想得结果；再分析茎 叶图中数据分别求出 A，D 等级的学生数，用列举法求出基本事件数，利用古典概型计算公等级的学生数，用列举法求出基本事件数，利用古典概型计算公 式求解考查了数据分析这一核心素养式求解考查了数据分析这一核心素养