《2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第二部分 备考技法专题二 4大数学思想系统归纳——统一统思想含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第二部分 备考技法专题二 4大数学思想系统归纳——统一统思想含解析.pdf（33页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、备考技法专题二备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳大数学思想系统归纳统一统思想统一统思想 第第 1 讲 函数与方程思想讲 函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想， 是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想， 是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或 方程与不等式的混合组 方程、不等式或 方程与不等式的混合组)，然后通过解方程，然后通过解方程(组或不等式组组或不等式组)来使问题获解方程是从算术方 法到代数方法的一
2、种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问 题的目的 来使问题获解方程是从算术方 法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问 题的目的 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性 质，解决有关求值、解 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性 质，解决有关求值、解(证明证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研 究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质， 达到化难为易、化繁为简的目的 不等式、解方程以及讨论参数的取值等
3、问题；二是在问题的研 究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质， 达到化难为易、化繁为简的目的 应用应用(一一) 借助“显化函数关系” ，利用函数思想解决问题 借助“显化函数关系” ，利用函数思想解决问题 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显 出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显 出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解 例例 1 已知数列 已知数列an是各项均为正数的等差数列，是各项均为正数的等差数列， a12， 且，
4、 且 a2， a3， a41 成等比数列成等比数列 (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式 an； (2)设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，bn，若对任意的，若对任意的 nNN*，不等式，不等式 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n bnk 恒成立，求实数恒成立，求实数 k 的最小值的最小值 解解 (1)因为因为 a12，a a2(a41)， 2 3 又因为又因为an是正项等差数列，所以公差是正项等差数列，所以公差 d0， 所以所以(22d)2(2d)(33d)， 解得解得 d2 或或 d1(舍去舍去)， 所以数列所以数列an的通项公式的通项公式 an2n. (2)由由(
5、1)知知 Snn(n1)， 则则 bn 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n 1 n 1 n 2 1 n 2 n 3 1 2n 2n 1 1 n 1 1 n 2 1 n 2 1 n 3 1 2n 1 2n 1 1 n 1 1 2n 1 n 2n23n1 ， 1 2n1 n 3 令令 f(x)2x (x1)， 1 x 则则 f(x)2， 1 x2 当当 x1 时，时，f(x)0 恒成立，恒成立， 所以所以 f(x)在在1，)上是增函数，上是增函数， 故当故当 x1 时，时，f(x)minf(1)3， 即当即当 n1 时，时，(bn)max ， ， 1 6 要使对任意的正整数要使对任意的正整数
6、n，不等式，不等式 bnk 恒成立，恒成立， 则需使则需使 k(bn)max ， ， 1 6 所以实数所以实数 k 的最小值为的最小值为 . 1 6 技法领悟技法领悟 数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前 n 项和公式都 具有隐含的函数关系，都可以看成关于 项和公式都 具有隐含的函数关系，都可以看成关于 n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意 识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意 识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决
7、问题 ，不仅能获得简便的解 法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平 ，不仅能获得简便的解 法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平 应用体验应用体验 1已知等差数列已知等差数列an满足满足 3a47a7，a10，Sn是数列是数列an的前的前 n 项和，则项和，则 Sn取得最大 值时 取得最大 值时 n_. 解析：设等差数列解析：设等差数列an的公差为的公差为 d，3a47a7，3(a13d)7(a16d)， 4a133d.a10，d ， 2 3 2 0， 3 3 1 tan A 3 2， c a 1 2 3 2 3 即即 2. c a 答案： 答案： (2，) 3 应用应用(
8、二二) 转换“函数关系” ，利用函数思想解决问题 转换“函数关系” ，利用函数思想解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的 取值范围， 如果按照原有的函数关系很难奏效时， 不妨转换思维角度， 放弃题设的主参限制， 挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的 取值范围， 如果按照原有的函数关系很难奏效时， 不妨转换思维角度， 放弃题设的主参限制， 挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题 获解获解 例例 2 已知函数
9、 已知函数 f(x)lg， 其中， 其中 a 为常数， 若当为常数， 若当 x(， 1时，时， f(x)有意义，有意义， 1 2x4xa a2a1 则实数则实数 a 的取值范围为的取值范围为_ 解析解析 参数 参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中， 欲直接建立关于深含在一个复杂的复合函数的表达式中， 欲直接建立关于a的不等式的不等式(组组) 非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把 a 分离出来，重新认识分离出来，重新认识 a 与其他变元与其他变元 x 的 依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明” 的 依存关系，利用新的函数关系，使原问题
10、“柳暗花明” 由由0，且，且 a2a1 2 0， 1 2x4xa a2a1 (a 1 2) 3 4 得得 12x4xa0，故，故 a. ( 1 4x 1 2x) 当当 x(，1时，时，y与与 y都是减函数，都是减函数， 1 4x 1 2x 因此，函数因此，函数 y在在(，1上是增函数，上是增函数， ( 1 4x 1 2x) 所以所以 max ， ，a ， ， ( 1 4x 1 2x) 3 4 3 4 故故 a 的取值范围是的取值范围是. ( 3 4， ， ) 答案答案 (3 4， ， ) 技法领悟技法领悟 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位， 创设新的函
11、数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后，利用新建函数 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位， 创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后，利用新建函数 y的单调性巧妙地求出实数的单调性巧妙地求出实数 a 的取值范的取值范 1 4x 1 2x 围此法也叫主元法围此法也叫主元法 应用体验应用体验 3对于满足对于满足 0p4 的所有实数的所有实数 p，使不等式，使不等式 x2px4xp3 成立的成立的 x 的取值范围 是 的取值范围 是_ 解析：设解析：设 f(p)
12、(x1)px24x3， 则当则当 x1 时，时，f(p)0. 所以所以 x1. 函数函数 f(p)在在0,4上恒为正，等价于上恒为正，等价于Error! 即即Error!解得解得 x3 或或 x0. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中，其中 y1y2， 则则 y1y2，y1y2， 2m m24 3 m24 所以所以|y2y1|， 4 m2 3 m24 所以所以 S AOB |OE|y2y1|. 1 2 2 m2 3 m24 2 m23 1 m23 设设 t，则，则 g(t)t ， ，t，m23 1 t 3 所以所以 g(t)1 0， 1 t2 所以所以 g(t)在区间在区间，)上为
13、增函数，上为增函数，3 所以所以 g(t)，所以，所以 S AOB ，当且仅当，当且仅当 m0 时等号成立时等号成立 4 3 3 3 2 所以所以AOB 的面积存在最大值，为的面积存在最大值，为. 3 2 应用应用(三三) 构造“函数关系” ，利用函数思想解决问题 构造“函数关系” ，利用函数思想解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、 联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问 题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是，构造时，要深入审题， 充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移 在数学各分
14、支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、 联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问 题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是，构造时，要深入审题， 充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移 例例 3 已知函数 已知函数 f(x)ex2x2a，xR，R，aRR. (1)求求 f(x)的单调区间与极值；的单调区间与极值； (2)求证：当求证：当 aln 21 且且 x0 时，时，exx22ax1. 解解 (1)由由 f(x)ex2x2a，知，知 f(x)ex2. 令令 f(x)0，得，得 xln 2. 当当 xln
15、2 时，时，f(x)0，故函数，故函数 f(x)在区间在区间(ln 2，)上单调递增上单调递增 所以所以 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在在 xln 2 处取得极小值处取得极小值 f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a. (2)证明：设证明：设 g(x)exx22ax1(x0)， 则则 g(x)ex2x2a， 由由(1)知知 g(x)ming(ln 2)22ln 22a. 又又 aln 21，则，则 g(x)min0. 于是对于是对xR，都有R，都有 g(x)0，所以，所以 g(x)在 R 上单调递
16、增在 R 上单调递增 于是对于是对x0，都有，都有 g(x)g(0)0. 即即 exx22ax10，故，故 exx22ax1. 技法领悟技法领悟 一般地，要证一般地，要证 f(x)g(x)在区间在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数上成立，需构造辅助函数 F(x)f(x)g(x)，通过分 析 ，通过分 析 F(x)在端点处的函数值来证明不等式 若在端点处的函数值来证明不等式 若 F(a)0， 只需证明， 只需证明 F(x)在在(a， b)上单调递增即可 ； 若 上单调递增即可 ； 若 F(b)0，只需证明，只需证明 F(x)在在(a，b)上单调递减即可上单调递减即可 应用体验应用体验 5.(2
17、018天津高考天津高考)如图，在平面四边形如图，在平面四边形 ABCD 中，中，ABBC，ADCD， ，BAD 120 ， ，ABAD1.若点若点 E 为边为边 CD 上的动点，则上的动点，则的最小值为的最小值为( )AE BE A. B. 21 16 3 2 C. D3 25 16 解析：选解析：选 A 如图，以 如图，以 D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接为坐标原点建立平面直角坐标系，连接 AC. 由题意知由题意知CADCAB60 ， ，ACDACB30 ， ， 则则 D(0,0)，A(1,0)，B， ( 3 2， ， 3 2) C(0，)设设 E(0，y)(0y)，33 则则(1，y
18、)，AE BE ( 3 2， ，y 3 2) y2y 2 ，AE BE 3 2 3 2(y 3 4) 21 16 当当 y时，时，有最小值有最小值. 3 4 AE BE 21 16 6设函数设函数 f(x)在在 R 上存在导函数上存在导函数 f(x)，对于任意的实数，对于任意的实数 x，都有，都有 f(x)f(x)2x2， 当 ， 当 xh(1)3， 即， 即 a 2b 的取值范围是的取值范围是(3， ， )故选故选 C. 答案答案 (1)(1,3) (2)C 技法领悟技法领悟 本例本例(1)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情中有一条明显的“动态”水平直线，通
19、过上下移动观察其与函数图象的交点情 况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来，如本例况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来，如本例(2)，实际上存在一条“虚拟”的 水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键本题的关键在于水平直线与函数图象的 两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即 ，实际上存在一条“虚拟”的 水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键本题的关键在于水平直线与函数图象的 两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即 ab1，这一关键之处决定了该 类型题目的难度和极易出错的特性 ，这一关键之处决定了该 类型题目的难度和极易出错的特性 在此，务必注意到水平直线
20、穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系比如，一条水 平直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线穿 三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性，等等 在此，务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系比如，一条水 平直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线穿 三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性，等等 应用体验应用体验 1 已知 已知 f(x)|x|x1|， 若， 若 g(x)f(x)a 的零点个数不为的零点个数不为 0， 则， 则 a 的最小值为的最小值为_ 解析：原方程等价于解析：原方程等价于 f(x)Erro
21、r!其图象如图所示，要使其图象如图所示，要使 af(x)有零点，则有零点，则 a1，因 此 ，因 此 a 的最小值为的最小值为 1. 答案：答案：1 2 已知函数 已知函数 f(x)sin的相邻两条对称轴之间的距离为 ，的相邻两条对称轴之间的距离为 ， (2x 3) 4 将函数将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的的图象向右平移 个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到倍，得到 g(x) 8 的图象，若的图象，若 g(x)k0 在在 x上有且只有一个实数根，则上有且只有一个实数根，则 k 的取值范围是的取值范围是( ) 0， ， 2 A. B.
22、( ， ，1 2 1， ，1 2) C. D.1 ( 1 2， ， 1 2 ( 1 2， ， 1 2 解析：选解析：选 D 因为 因为 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为 ，相邻两条对称轴之间的距离为 ， 4 结合三角函数的图象可知 ，结合三角函数的图象可知 ， T 2 4 所以所以 T ， ， 2 2 2 所以所以 2，f(x)sin. (4x 3) 将将 f(x)的图象向右平移 个单位得到的图象向右平移 个单位得到 8 f(x)sin4 sin， (x 8) 3 (4x 6) 再将所有点的横坐标伸长为原来的再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到倍，得到 g(x)sin. (2x 6)
23、 所以方程为所以方程为 sink0. (2x 6) 令令 2x t，因为，因为 x，所以 ，所以 t. 6 0， ， 2 6 5 6 若若 g(x)k0 在在 x上有且只有一个实数根，上有且只有一个实数根， 0， ， 2 即即 ysin t 与与 yk 在上有且只有一个交点在上有且只有一个交点 6， ， 5 6 作出作出 ysin t 与与 yk 的图象如图所示，的图象如图所示， 由正弦函数的图象可知 由正弦函数的图象可知 k . 1 4 所以所以 k 的取值范围为的取值范围为. ( 1 4， ， ) 答案：答案：(1 4， ， ) 应用应用(二二) 利用数形结合求解 利用数形结合求解 kxb
24、f(x)型问题型问题 方法一：旋转动直线方法一：旋转动直线 若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先 找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向 若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先 找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向 例例 3 (1)已知函数已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx，若，若 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则 实数 有两个不相等的实根，则 实数 k 的取值范围是的取值范围是( ) A. B. (0， ， 1 2) ( 1 2， ，1) C(1,2)
25、 D(2，) (2)(2018天津高考天津高考)已知已知 a0， 函数， 函数 f(x)Error!若关于若关于 x 的方程的方程 f(x)ax 恰有恰有 2 个互异 的实数解，则 个互异 的实数解，则 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 (1)由题意得函数由题意得函数 f(x)的图象与函数的图象与函数 g(x)的图象有两个 不同的交点， 分别画出函数 的图象有两个 不同的交点， 分别画出函数 yf(x)与与 yg(x)的图象如图所示 直线的图象如图所示 直线 g(x)kx 过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线 与函数 时，直线
26、与函数 f(x)|x2|1 只有一个交点，此时只有一个交点，此时 k ，然后直线 ，然后直线 1 0 2 0 1 2 绕着原点逆时针旋转 ， 当与绕着原点逆时针旋转 ， 当与 yf(x)在在 x2 时的图象平行时， 就只有一个交点， 所以时的图象平行时， 就只有一个交点， 所以 |xa|至少有一个负数解，则至少有一个负数解，则 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 (1)画出函数画出函数 yf(x)的图象， 如图所示，的图象， 如图所示， yxa 是斜率恒为是斜率恒为 1 的动直线，首先考 虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置 的动直线，首先考 虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，
27、 此时直线刚好与yf(x)的图象有两个交点， 将 直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与 ， 此时直线刚好与yf(x)的图象有两个交点， 将 直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与 yf(x)，x0,1相切，此时刚好又出现两个 交点的情形(注意平移的动作慢一点 相切，此时刚好又出现两个 交点的情形(注意平移的动作慢一点)， 此时联立， 此时联立Error!x2xa0， 14a0a ， 所以在一个周期内得到满足条件的 ， 所以在一个周期内得到满足条件的 a 的值为的值为 a0 或或 a ， 又因为周期为 ， 又因为周期为 2， 所以， 所以 a2k 1 4 1 4 或或 a 2k(kZ) 1
28、 4 (2)令令 f(x)2x2，g(x)|xa|，由于，由于 g(x)|xa|的图象是的图象是 V 形首先将这个形首先将这个 V 形的 尖点放在点 形的 尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成 立的位置，然后再平移)，此时 这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成 立的位置，然后再平移)，此时 a2.然后再将然后再将 V 形尖点向左平移，即如图中的箭头所示 由 图可知， 向左平移的临界情况是 形尖点向左平移，即如图中的箭头所示 由 图可知， 向左平移的临界情况是 V 形尖点右支与形尖点右支与 f(x)相切， 此时联立相切
29、， 此时联立Error!知知 x2xa20 有一个解，有一个解， 14(2a)0a .要特别注意， 此时要特别注意， 此时 g(x)|xa|的图象与的图象与 f(x)2x2的的 9 4 图象相切，但不等式取不到等号，因此图象相切，但不等式取不到等号，因此 a ，注意到 ，注意到 a2 时无负数根，因此时无负数根，因此 a 的取值范的取值范 9 4 围为围为. ( 9 4， ，2) 答案答案 (1)D (2)(9 4， ，2) 技法领悟技法领悟 对于平移动直线情形，关键在于如何选取初始位置对于平移动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形临界情形)，这个难把握之处正是本，这个难把握之处正是本
30、 块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目， 仔细体会 块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目， 仔细体会 应用体验应用体验 7已知函数已知函数 f(x)Error!且关于且关于 x 的方程的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围为的取值范围为( ) A(1，) B(1,3) C(，1) D(2,4) 解析：选解析：选 A 画出 画出 f(x)图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得 f(x)的图象与 直线 的图象与 直线
31、 yxa 的图象只有一个交点首先让直线过的图象只有一个交点首先让直线过(0,1)(这是我 们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交 点 这是我 们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交 点)，由图可知，只有向上平移才能满足，由图可知，只有向上平移才能满足 f(x)图象与直线图象与直线 yx a 只有一个交点，所以只有一个交点，所以 a 的取值范围是的取值范围是(1，) 8已知函数已知函数 f(x)Error!若方程若方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根，则实数有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为的取值范围为( ) A(，0 B0,1) C(
32、，1) D0，) 解析：选解析：选 C 注意本题只有在 注意本题只有在(1，)内才是周期为内才是周期为 1 的函 数，根据函数的解析式首先画出在 的函 数，根据函数的解析式首先画出在(，0内的图象，然后截取内的图象，然后截取 (1,0的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到f(x)的图象， 如图所示 的图象， 如图所示yxa 是斜率为是斜率为 1 的动直线，首先让直线过的动直线，首先让直线过(0,1)(这是 我们所说的初始位置， 因为当直线向下平移时你会发现有两个交点， 向上平移只有一个交点 这是 我们所说的初始位置， 因为当直线向下平移时你会发现有
33、两个交点， 向上平移只有一个交点)， 由图可知，只有向下平移才能满足 ， 由图可知，只有向下平移才能满足 f(x)图象与直线图象与直线 yxa 有两个交点，所以有两个交点，所以 a 的取值范围 是 的取值范围 是(，1) 应应用用 三三 利利用用数数形形结结合合求求解解解解析析几几何何问问题题 例例 5 (1)(2018全国卷全国卷)设设 F1， F2是双曲线是双曲线 C：1(a0， b0)的左、 右焦点，的左、 右焦点， O x2 a2 y2 b2 是坐标原点过是坐标原点过 F2作作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若若|PF1|OP|，则，则 C 的离心率为的
34、离心率为6 ( ) A. B25 C. D.32 (2)已知圆已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点和两点 A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆若圆 C 上存在 点 上存在 点 P，使得，使得 APB90 ，则 ，则 m 的最大值为的最大值为( ) A7 B6 C5 D4 解析解析 (1)如图， 过点如图， 过点 F1向向 OP 的反向延长线作垂线， 垂足为的反向延长线作垂线， 垂足为 P， 连接 ， 连接 PF2，由题意可知，四边形，由题意可知，四边形 PF1PF2为平行四边形，且为平行四边形，且 PPF2是直角三角形是直角三角形 因为因为|F2P|b，|F2O|c，所以，所以|OP|
35、a. 又又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，6 所以所以|F2P|ab，所以，所以 ca，2a2b23 所以所以 e . c a 3 (2)根据题意， 画出示意图， 如图所示， 则圆心根据题意， 画出示意图， 如图所示， 则圆心 C 的坐标为的坐标为(3,4)， 半径， 半径 r1， 且， 且|AB|2m， 因为 ， 因为APB90 ，连接 ，连接 OP，易知，易知|OP| |AB|m. 1 2 要求要求 m 的最大值，即求圆C上的点的最大值，即求圆C上的点 P 到原点到原点 O 的最大距离因为的最大距离因为|OC| 5，3242 所以所以|OP|max|OC|r6，即，即 m 的最大值为
36、的最大值为 6. 答案答案 (1)C (2)B 技法领悟技法领悟 (1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用 图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提 供方便 在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用 图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提 供方便 (2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式， 主要有 ： 比值 应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式， 主要有 ： 比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考
37、虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑直线的截距；根式分式可考 虑点到直线的距离；根式 可考 虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离可考虑两点间的距离 应用体验应用体验 9过直线过直线 xy20 上一点上一点 P 作圆作圆 x2y21 的两条切线，若两条切线的夹角是的两条切线，若两条切线的夹角是2 60 ，则点 ，则点 P 的坐标是的坐标是_ 解析 ： 如图， 由题意可知解析 ： 如图， 由题意可知APB60 ， 由切线性质可知 ， 由切线性质可知OPB30 .在在 RtOBP 中，中， OP 2OB2，又点，又点P在直线在直线xy20上，所以不妨设点上，所以不妨设点P(x
38、,2x)，则，则OP2，22x2 2 2 x 2 即即 x2(2x)24， 整理得， 整理得 x22x20， 所以， 所以 x， 即点， 即点 P 的坐标为的坐标为(，)22222 答案：答案：(，)22 10已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为 x28y，F 是其焦点，点是其焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点，在此抛物线上求一点 P， 使 ， 使APF 的周长最小，此时点的周长最小，此时点 P 的坐标为的坐标为_ 解析：因为解析：因为(2)20， 且， 且a1)在在1,2上的最大值为上的最大值为4， 最小值为， 最小值为m， 且函数， 且函数g(x)(1 4m)在在0，)上是增函数，
39、则上是增函数，则 a_.x 解析：若解析：若 a1，有，有 a24，a 1 m，此时，此时 a2，m ，此时 ，此时 g(x)为减函数，不为减函数，不 1 2 x 合题意；若合题意；若 00，且，且 a1)的定义域和值域都是的定义域和值域都是1,0，则，则 ab_. 解析：当解析：当 a1 时，函数时，函数 f(x)axb 在上为增函数，在上为增函数，1， ，0 由题意得由题意得Error!无解当无解当 00 时，时，g(x)的对称轴的对称轴 x ，则当，则当 x时，时，f(x)0. 所以所以 f(x)在在 x2 处取得极小值处取得极小值 若若 a ，则当 ，则当 x(0,2)时，时，x20.
40、 所以所以 2 不是不是 f(x)的极小值点的极小值点 综上可知，综上可知，a 的取值范围是的取值范围是. ( 1 2， ， ) 技法领悟技法领悟 (1)本题研究函数性质对参数本题研究函数性质对参数 a 进行分类讨论，分为进行分类讨论，分为 a 和和 a 两种情况 两种情况 1 2 1 2 (2)若遇到题目中含有参数的问题， 常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论， 此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考 虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏 若遇到题目中含有参数的问题， 常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论， 此种题
41、目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考 虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏 应用体验应用体验 5已知函数已知函数 f(x)mx2xln x，若在函数，若在函数 f(x)的定义域内存在区间的定义域内存在区间 D，使得该函数在 区间 ，使得该函数在 区间 D 上为减函数，则实数上为减函数，则实数 m 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：f(x)2mx1 ， ， 1 x 2mx2x1 x 即即 2mx2x10 时，由于函数时，由于函数 y2mx2x1 的图象的对称轴的图象的对称轴 x0， 1 4m 故只需故只需 0，即，即 18m0，解得
42、，解得 m0 时， 令时， 令 g(x)， 则， 则 g(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(， ， 2m2m )，(，)2m2m 综上所述，当综上所述，当 m0 时，时，g(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，)； 当当 m0 时，时，g(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，)，(，)2m2m 应应用用 四四 根根据据图图形形位位置置或或形形状状分分类类讨讨论论 例例 4 (2018全国卷全国卷)设抛物线设抛物线 C：y22x，点，点 A(2，0)，B(2,0)，过点，过点 A 的直线的直线 l 与与 C 交于交于 M，N 两点两点 (1)当当 l 与与 x 轴垂直时，求直线轴垂直
43、时，求直线 BM 的方程；的方程； (2)证明：证明：ABMABN. 解解 (1)当当 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时，l 的方程为的方程为 x2， 可得点可得点 M 的坐标为的坐标为(2,2)或或(2，2) 所以直线所以直线 BM 的方程为的方程为 y (x2)或或 y (x2)， 1 2 1 2 即即 x2y20 或或 x2y20. (2)证明：当证明：当 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时，AB 为为 MN 的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以ABMABN. 当当 l 与与 x 轴不垂直时， 设轴不垂直时， 设 l 的方程为的方程为 yk(x2)(k0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则， 则 x10， x20. 由由Error!得得 ky22y4k0， 所以所以 y1y2 ， ，y1y24. 2 k 直线直线 BM，BN 的斜