2019版二轮复习数学（文）通用版：专题检测（二十一） “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略含解析.pdf

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1、专题检测（二十一） “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略专题检测（二十一） “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略 1.(2018济南模拟济南模拟)如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线中，抛物线 C1： x24y，直线，直线 l 与抛物线与抛物线 C1交于交于 A，B 两点两点 (1)若直线若直线 OA，OB 的斜率之积为，证明：直线的斜率之积为，证明：直线 l 过定过定 1 4 点；点； (2)若线段若线段 AB 的中点的中点 M 在曲线在曲线 C2：y4 x2(2x2)上，求上，求|AB|的最大值的最大值 1 4 22 解：解： (1)证明：由题意可知直线

2、证明：由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线的斜率存在，设直线 l 的方程为的方程为 ykxm， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由由Error!得得 x24kx4m0， 16(k2m)0，x1x24k，x1x24m，则则 kOAkOB ，， y1y2 x1x2 1 4x 2 11 4x 2 2 x1x2 x1x2 16 m 4 由已知由已知 kOAkOB ，得，得 m1，满足，满足 0， 1 4 直线直线 l 的方程为的方程为 ykx1，直线，直线 l 过定点过定点(0,1) (2)设设 M(x0，y0)，由已知及，由已知及(1)得得 x02k， x1x2 2 y0

3、kx0m2k2m，将将 M(x0，y0)代入代入 y4 x2(2x2)，得，得 1 4 22 2k2m4 (2k)2，m43k2. 1 4 2x02，22k2，k，222222 16(k2m)16(k243k2)32(2k2)0，k，22 故故 k 的取值范围是的取值范围是(，)22 |AB|1k2 x 1 x2 24x1x2 1k216 k2 m 42 k 2 1 2k2 46，2 k 2 1 2k2 2 2 当且仅当当且仅当 k212k2，即，即 k时取等号，时取等号， 2 2 |AB|的最大值为的最大值为 6 . 2 2(2018石家庄质检石家庄质检)已知椭圆已知椭圆 C：1(ab0)

4、的离心率为，左、右焦点分的离心率为，左、右焦点分 x2 a2 y2 b2 2 2 3 别为别为 F1，F2，过，过 F1的直线交椭圆于的直线交椭圆于 A，B 两点两点 (1)若以若以 AF1为直径的动圆内切于圆为直径的动圆内切于圆 x2y29，求椭圆的长轴的长；，求椭圆的长轴的长； (2)当当 b1 时，问在时，问在 x 轴上是否存在定点轴上是否存在定点 T，使得，使得为定值？并说明理由为定值？并说明理由TA TB 解：解：(1)设设 AF1的中点为的中点为 M，连接，连接 OM，AF2(O 为坐标原点为坐标原点)，在在AF1F2中，中，O 为为 F1F2的中点，的中点，所以所以|OM|

5、|AF2| (2a|AF1|)a |AF1|. 1 2 1 2 1 2 由题意得由题意得|OM|3 |AF1|， 1 2 所以所以 a3，故椭圆的长轴的长为，故椭圆的长轴的长为 6. (2)由由 b1，，，a2b2c2，得，得 c2，a3， c a 2 2 3 2 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 9 当直线当直线 AB 的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 AB 的方程为的方程为 yk(x2)，2 由由Error!得得(9k21)x236k2x72k290，2 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 x1x2，x1x2， 36 2k2 9k21 72k2

6、9 9k21 y1y2k2(x12)(x22).22 k2 9k21 设设 T(x0,0)，则则(x1x0，y1)，(x2x0，y2)，TA TB x1x2(x1x2)x0x y1y2，TA TB 2 0 9x 2 0 36 2x071 k2x2 09 9k21 当当 9x 36x0719(x 9)，即，即 x0时，时， 2 0 2 2 0 19 2 9 为定值，定值为为定值，定值为 x 9.TA TB 2 0 7 81 当直线当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设的斜率不存在时，不妨设 A，B， ( 2 2，，1 3) ( 2 2，，1 3) 当当 T时，时，. ( 19 2 9 ，，

7、0) TA TB ( 2 9 ，，1 3) ( 2 9 ，，1 3) 7 81 综上，在综上，在 x 轴上存在定点轴上存在定点 T，使得，使得为定值为定值 ( 19 2 9 ，，0) TA TB 3(2019 届高三届高三西安八校联考西安八校联考)已知直线已知直线 l：xmy1 过椭圆过椭圆 C：1(ab0)的的 x2 a2 y2 b2 右焦点右焦点 F，抛物线，抛物线 x24y 的焦点为椭圆的焦点为椭圆 C 的上顶点，且的上顶点，且 l 交椭圆交椭圆 C 于于 A， B 两点，点两点，点 A， F， B3 在直线在直线 x4 上的射影依次为上的射影依次为 D，K，E. (1

8、)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)若直线若直线 l 交交 y 轴于点轴于点 M，且，且1， 2，当，当 m 变化时，证明：变化时，证明： 12MA AF MB BF 为定值；为定值； (3)当当 m 变化时，直线变化时，直线 AE 与与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：解：(1)l：xmy1 过椭圆过椭圆 C 的右焦点的右焦点 F，右焦点右焦点 F(1,0)，c1，即，即 c21. x24y 的焦点的焦点(0，)为椭圆为椭圆 C 的上顶点，的上顶点，33 b，即

9、，即 b23，a2b2c24，3 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)证明：由题意知证明：由题意知 m0，联立，联立Error! 得得(3m24)y26my90. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 y1y2，y1y2. 6m 3m24 9 3m24 1，2，M，MA AF MB BF (0，， 1 m) 1(1x1，y1)， (x 1，，y1 1 m) 2(1x2，y2)， (x 2，，y2 1 m) 11，21， 1 my1 1 my2 1222 . y1y2 my1y2 6m 3m24 9m 3m24 8 3 综上所述，当综上所述，当 m

10、变化时，变化时，12为定值为定值 . 8 3 (3)当当 m0 时，直线时，直线 lx 轴，则四边形轴，则四边形 ABED 为矩形，为矩形，易知易知 AE 与与 BD 相交于点相交于点 N， ( 5 2，，0) 猜想当猜想当 m 变化时，直线变化时，直线 AE 与与 BD 相交于定点相交于定点 N，证明如下：，证明如下： ( 5 2，，0) 则，则，AN ( 5 2 x1，，y1) (3 2 my1，，y1) 易知易知 E(4，y2)，则，则.NE ( 3 2，，y 2) y2 (y1) (y1y2)my1y2m0， ( 3 2 my1) 3 2 3 2 3 2( 6m 3m24

11、) ( 9 3m24) ，即，即 A，N，E 三点共线三点共线AN NE 同理可得同理可得 B，N，D 三点共线三点共线则猜想成立，则猜想成立，故当故当 m 变化时，直线变化时，直线 AE 与与 BD 相交于定点相交于定点 N. ( 5 2，，0) 4 (2018全国卷全国卷)已知斜率为已知斜率为 k 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C：： 1 交于交于 A， B 两点，线段两点，线段 AB x2 4 y2 3 的中点为的中点为 M(1，m)(m0) (1)证明：证明：k ；； 1 2 (2)设设 F 为为 C 的右焦点，的右焦点，P 为为 C 上一点，且上一点，且0.证明：证明

12、：|，|，|FP FA FB FA FP |成等差数列，并求该数列的公差成等差数列，并求该数列的公差FB 解：解：(1)证明：设证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 1，， 1. x2 1 4 y2 1 3 x2 2 4 y2 2 3 两式相减，并由两式相减，并由k 得得k0. y1y2 x1x2 x1x2 4 y1y2 3 由题设知由题设知1，m，于是，于是 k. x1x2 2 y1y2 2 3 4m 由题设得由题设得 0m ，故，故 k . 3 2 1 2 (2)由题意得由题意得 F(1,0)设设 P(x3，y3)，则则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)

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