2019版二轮复习数学（文）通用版：专题检测（十二） 空间位置关系的判断与证明含解析.pdf

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1、专题检测（十二）专题检测（十二） 空间位置关系的判断与证明空间位置关系的判断与证明 A 组组“633”考点落实练”考点落实练 一、选择题一、选择题 1已知已知 E，F，G，H 是空间四点，命题甲 ：是空间四点，命题甲 ： E，F，G，H 四点不共面，命题乙 ： 直线四点不共面，命题乙 ： 直线 EF 和和 GH 不相交，则甲是乙成立的不相交，则甲是乙成立的( ) A必要不充分条件 必要不充分条件 B充分不必要条件充分不必要条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：选解析：选 B 若 若 E，F，G，H 四点不共面，则直线四点不共面，则直线 EF 和和 GH 肯

2、定不相交，但直线肯定不相交，但直线 EF 和和 GH 不相交，不相交，E，F，G，H 四点可以共面，例如四点可以共面，例如 EFGH，故甲是乙成立的充分不必要 条件 ，故甲是乙成立的充分不必要 条件 2关于直线关于直线 a，b 及平面及平面 ，下列命题中正确的是，下列命题中正确的是( ) A若若 a，b，则，则 ab B若若 ，m，则，则 m C若若 a，a，则，则 D若若 a，ba，则，则 b 解析 ： 选解析 ： 选 C A 是错误的，因为是错误的，因为 a 不一定在平面不一定在平面 内，所以内，所以 a，b 有可能是异面直线 ；有可能是异面直线 ； B 是错误的，若是错误的，若 ，m，则

3、，则 m 与与 可能平行，可能相交，也可能线在面内，故可能平行，可能相交，也可能线在面内，故 B 错误 ；错误 ； C 是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到 C 正确；正确；D 是错误的，直线与平面垂直， 需直线与平面中的两条相交直线垂直 是错误的，直线与平面垂直， 需直线与平面中的两条相交直线垂直 3在正三棱柱在正三棱柱 ABCA1B1C1中，中，|AB|BB1|，则，则 AB1与与 BC1所成角的大小为所成角的大小为( )2 A30 B60 C75 D90 解析：选解析：选 D 将正三棱柱 将正三棱柱 ABCA1B1C1补为四棱柱补为四棱柱

4、ABCDA1B1C1D1，连接，连接 C1D，BD， 则 ， 则 C1DB1A， ， BC1D 为所求角或其补角 设为所求角或其补角 设 BB1， 则， 则 BCCD2， ， BCD120， BD2 2，3 又因为又因为 BC1C1D，所以，所以BC1D90.6 4.如图，在三棱锥如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明中，不能证明 APBC 的条件是的条件是( ) AAPPB，APPC BAPPB，BCPB C平面平面 BPC平面平面 APC，BCPC DAP平面平面 PBC 解析 ： 选解析 ： 选 B A 中， 因为中， 因为 APPB， APPC， PBPCP， 所以， 所以 AP平面平

5、面 PBC.又又 BC 平面 平面PBC， 所以， 所以APBC， 故， 故A正确 ；正确 ； C中， 因为平面中， 因为平面BPC平面平面APC， 平面， 平面BPC平面平面APC PC，BCPC，所以，所以 BC平面平面 APC.又又 AP平面平面 APC，所以，所以 APBC，故，故 C 正确；正确；D 中，中， 由由 A 知知 D 正确；正确；B 中条件不能判断出中条件不能判断出 APBC，故选，故选 B. 5如图，以等腰直角三角形如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边的斜边 BC 上的高上的高 AD 为折痕，把为折痕，把ABD 和和ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个

6、结论：折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC 是等边三角形；是等边三角形； 三棱锥三棱锥 DABC 是正三棱锥；是正三棱锥； 平面平面 ADC平面平面 ABC. 其中正确的结论是其中正确的结论是( ) A B C D 解析：选解析：选 B 由题意知， 由题意知，BD平面平面 ADC，故，故 BDAC，正确；，正确；AD 为等腰直角三角 形 为等腰直角三角 形 ABC 的斜边的斜边 BC 上的高，平面上的高，平面 ABD平面平面 ACD，所以，所以 ABACBC，BAC 是等边三 角形，正确；易知 是等边三 角形，正确；易知 DADBDC，结合知正确；由知不正确故

7、选，结合知正确；由知不正确故选 B. 6已知二面角的棱上有已知二面角的棱上有 A，B 两点，直线两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于 分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于 AB，已知，已知 AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为，则该二面角的大小为( )17 A150 B45 C120 D60 解析 ： 选解析 ： 选D 如图， 如图，ACAB，BDAB，过，过A在平面在平面ABD内作内作AEBD， 过 ， 过D作作DEAB，连接，连接CE，所以，所以DEAB且且DE平面平面AEC，CAE即二面角 的平面角，在 即二面角 的平面角，在RtDE

8、C中，中， CE2，13 在在ACE 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 cosCAE ， ， CA2AE2CE2 2CA AE 1 2 所以所以CAE60，即所求二面角的大小为，即所求二面角的大小为 60. 二、填空题二、填空题 7(2018天津六校联考天津六校联考)设设 a，b 为不重合的两条直线，为不重合的两条直线， 为不重合的两个平面，给 出下列命题： 为不重合的两个平面，给 出下列命题： 若若 a 且且 b，则，则 ab； 若若 a 且且 a，则，则 ； 若若 ，则一定存在平面，则一定存在平面 ，使得，使得 ，； 若若 ，则一定存在直线，则一定存在直线 l，使得，使得 l，l. 其

9、中真命题的序号是其中真命题的序号是_ 解析：中解析：中 a 与与 b 也可能相交或异面，故不正确也可能相交或异面，故不正确 垂直于同一直线的两平面平行，正确垂直于同一直线的两平面平行，正确 中存在中存在 ，使得，使得 与与 ， 都垂直，正确都垂直，正确 中只需直线中只需直线 l 且且 l 就可以，正确就可以，正确 答案：答案： 8若若 P 为矩形为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O，M 为为 PB 的中点，给 出以下四个命题： 的中点，给 出以下四个命题：OM平面平面 PCD；OM平面平面 PBC；OM平面平面 PDA；OM平 面 平 面

10、PBA.其中正确的个数是其中正确的个数是_ 解析：由已知可得解析：由已知可得 OMPD，OM平面平面 PCD 且且 OM平面平面 PAD.故正确的只有故正确的只有. 答案：答案： 9(2018全国卷全国卷)已知圆锥的顶点为已知圆锥的顶点为 S，母线，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，所成角的余弦值为 ，SA 与圆与圆 7 8 锥底面所成角为锥底面所成角为 45，若，若SAB 的面积为的面积为 5，则该圆锥的侧面积为，则该圆锥的侧面积为_15 解析：如图，解析：如图，SA 与底面成与底面成 45角，角， SAO 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 设设 OAr， 则则 SOr，SASBr.2

11、在在SAB 中，中，cos ASB ， ， 7 8 sin ASB， 15 8 S SAB SASBsin ASB 1 2 (r)25， 1 2 2 15 8 15 解得解得 r2，10 SAr4，即母线长，即母线长 l4，255 S圆锥侧 圆锥侧 rl2440.1052 答案：答案：402 三、解答题三、解答题 10.(2018长春质检长春质检)如图， 在四棱锥如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面中， 底面 ABCD 为菱 形， 为菱 形， PA平面平面 ABCD， E 为为 PD 的中点的中点 (1)证明：证明：PB平面平面 ACE； (2)设设 PA1，AD，PCPD，求三棱锥，求三

12、棱锥 PACE 的体积的体积3 解：解：(1)证明：连接证明：连接 BD 交交 AC 于点于点 O，连接，连接 OE. 在在PBD 中，中，PEDE， BODO，所以，所以 PBOE. 又又 OE平面平面 ACE，PB平面平面 ACE， 所以所以 PB平面平面 ACE. (2)由题意得由题意得 ACAD， 所以所以 VPACE VPACD VPABCD 1 2 1 4 S ABCDPA 1 4 1 3 1. 1 4 1 32 3 4 3 2 3 8 11.如图， 在直三棱柱如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中， ABACAA13， BC2， D 是是 BC 的中点，的中点，F 是是 C

13、C1上一点上一点 (1)当当 CF2 时，证明：时，证明：B1F平面平面 ADF； (2)若若 FDB1D，求三棱锥，求三棱锥 B1ADF 的体积的体积 解：解：(1)证明：因为证明：因为 ABAC，D 是是 BC 的中点，的中点， 所以所以 ADBC. 在直三棱柱在直三棱柱 ABCA1B1C1中，因为中，因为 BB1底面底面 ABC，AD底面底面 ABC，所以，所以 ADB1B. 因为因为 BCB1BB，所以，所以 AD平面平面 B1BCC1. 因为因为 B1F平面平面 B1BCC1，所以，所以 ADB1F. 在矩形在矩形 B1BCC1中，因为中，因为 C1FCD1，B1C1CF2， 所以所

14、以 RtDCFRtFC1B1， 所以所以CFDC1B1F，所以，所以B1FD90， 所以所以 B1FFD. 因为因为 ADFDD，所以，所以 B1F平面平面 ADF. (2)由由(1)知知 AD平面平面 B1DF，CD1，AD2，2 在在 RtB1BD 中，中，BDCD1，BB13， 所以所以 B1D.BD2BB2 110 因为因为 FDB1D， 所以所以 RtCDFRtBB1D， 所以，即所以，即 DF ， ， DF B1D CD BB1 1 3 10 10 3 所以所以 VB1ADFVAB1DF S B1DF AD 2. 1 3 1 3 1 2 10 3 102 10 2 9 12(201

15、8全国卷全国卷)如图，在三棱锥如图，在三棱锥PABC中，中，ABBC2，PAPB2 PCAC4， O 为为 AC 的中点的中点 (1)证明：证明：PO平面平面 ABC； (2)若点若点 M 在棱在棱 BC 上，且上，且 MC2MB，求点，求点 C 到平面到平面 POM 的的 距离距离 解：解：(1)证明：因为证明：因为 PAPCAC4，O 为为 AC 的中点，的中点， 所以所以 POAC，且，且 PO2 . 3 连接连接 OB， 因为因为 ABBCAC， 2 2 所以所以ABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， 且且 OBAC，OB AC2. 1 2 所以所以 PO2OB2PB2，所以，所

16、以 POOB. 又因为又因为 ACOBO，所以，所以 PO平面平面 ABC. (2)如图，作如图，作 CHOM，垂足为，垂足为 H， 又由又由(1)可得可得 OPCH， 所以所以 CH平面平面 POM. 故故 CH 的长为点的长为点 C 到平面到平面 POM 的距离的距离 由题设可知由题设可知 OC AC2， 1 2 CM BC，ACB45， 2 3 4 2 3 所以所以 OM，CH. 2 5 3 OCMCsin ACB OM 4 5 5 所以点所以点 C 到平面到平面 POM 的距离为的距离为. 4 5 5 B 组组大题专攻补短练大题专攻补短练 1 (2018武汉调研武汉调研)如图， 在矩形

17、如图， 在矩形 ABCD 中，中， AB4， AD2， E 是是 CD 的中点， 将的中点， 将ADE 沿沿 AE 折起，得到如图所示的四棱锥折起，得到如图所示的四棱锥 D1ABCE，其中平面，其中平面 D1AE平面平面 ABCE. (1)证明：证明：BE平面平面 D1AE； (2)设设 F 为为 CD1的中点， 在线段的中点， 在线段 AB 上是否存在一点上是否存在一点 M， 使得， 使得 MF平面平面 D1AE， 若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由 ， 若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由 AM AB 解：解：(1)证明：四边形证明：四边形 ABCD 为矩形且为矩形且 ADDEE

18、CBC2， ， AEB90，即，即 BEAE， 又平面， 又平面 D1AE平面平面 ABCE， 平面， 平面 D1AE 平面 平面 ABCEAE， BE平面平面 D1AE. (2) ，理由如下： ，理由如下： AM AB 1 4 取取 D1E 的中点的中点 L，连接，连接 FL，AL，FLEC. 又又 ECAB，FLAB，且，且 FL AB， 1 4 M，F，L，A 四点共面，四点共面， 若若 MF平面平面 AD1E，则，则 MFAL. 四边形四边形 AMFL 为平行四边形，为平行四边形， AMFL AB，即，即 . 1 4 AM AB 1 4 2.(2018湖北八校联考湖北八校联考)如图，在

19、直三棱柱如图，在直三棱柱ABCABC中，中，ACBC 5，AAAB6，D， E 分别为分别为 AB 和和 BB上的点，且上的点，且. AD DB BE EB (1)当当 D 为为 AB 的中点时，求证：的中点时，求证：ABCE； (2)当当 D 在线段在线段 AB 上运动时上运动时(不含端点不含端点)， 求三棱锥， 求三棱锥 ACDE 体 积的最小值 体 积的最小值 解：解：(1)证明：证明：D 为为 AB 的中点，的中点，E 为为 BB 的中点，的中点， 三棱柱三棱柱 ABCABC为直三棱柱，为直三棱柱，AAAB6， 四边形四边形 ABBA为正方形，为正方形，DEAB. ACBC，D 为为

20、AB 的中点，的中点，CDAB. 由题意得平面由题意得平面 ABBA平面平面 ABC，且平面，且平面 ABBA平面平面 ABCAB，CD平 面 平 面 ABC， CD平面平面 ABBA. 又又 AB平面平面 ABBA， CDAB. 又又 CDDED，AB平面平面 CDE， CE平面平面 CDE，ABCE. (2)设设 ADx(0x6)， 则则 BEx，DB6x，BE6x， 由已知可得点由已知可得点 C 到平面到平面 ADE 的距离即为的距离即为ABC 的边的边 AB 上的高上的高 h，且，且 h 4，AC2(AB 2) 2 三棱锥三棱锥 ACDE 的体积的体积 VA CDE VCA DE (S

21、四边形 四边形 ABBA S AAD S DBE S 1 3 ABE)h h (x26x36) (x3)227(0x6)， 1 336 3x1 2 6 x x3 6 x 2 3 2 3 当当 x3，即，即 D 为为 AB 的中点时，的中点时，VA CDE取得最小值，最小值为 取得最小值，最小值为 18. 3.(2018南昌模拟南昌模拟)如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中，PA底面底面 ABCD，四边形，四边形ABCD为直角梯形，为直角梯形，AC与与BD相交于点相交于点O，ADBC，AD AB， ABBCAP3，三棱锥，三棱锥 PACD 的体积为的体积为 9. (1)求求 AD 的

22、值；的值； (2)过点过点O的平面的平面平行于平面平行于平面PAB，平面，平面与棱与棱BC，AD，PD，PC 分别相交于点分别相交于点E， F， G， H，求截面，求截面 EFGH 的周长的周长 解：解：(1)因为在四棱锥因为在四棱锥 PABCD 中，中，PA底面底面 ABCD， 四边形四边形 ABCD 为直角梯形，为直角梯形，ADBC，ADAB，ABBCAP3， 所以所以 V三棱锥 三棱锥 PACD ABADAP AD9， 1 3 1 2 3 2 解得解得 AD6. (2)由题知平面由题知平面 平面平面 PAB，平面，平面 平面平面 ABCDEF，点，点 O 在在 EF 上，平面上，平面 P

23、AB 平面 平面 ABCDAB， 根据面面平行的性质定理，得根据面面平行的性质定理，得 EFAB， 同理同理 EHBP，FGAP.因为因为 BCAD， 所以所以BOCDOA， 所以 所以 . BC AD CO OA 3 6 1 2 因为因为 EFAB，所以 ，所以 ， CE BC OC AC 1 3 又易知又易知 BEAF，AD2BC，所以，所以 FD2AF. 因为因为 FGAP，所以 ，所以 ，FG AP2. FG AP FD AD 2 3 2 3 因为因为 EHBP，所以 ，所以 ， EH PB EC BC 1 3 所以所以 EH PB. 1 3 2 如图， 作如图， 作 HNBC， GM

24、AD， HNPBN， GMPAM， 则 ， 则 HNGM，HNGM， 所以四边形所以四边形 GMNH 为平行四边形，所以为平行四边形，所以 GHMN， 在在PMN 中，中，MN ，812 2 2cos 455 又又 EFAB3， 所以截面所以截面 EFGH 的周长为的周长为 EFFGGHEH325.5252 4.如图，在几何体如图，在几何体ABCDEF中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，EFCD，CDEA，CD2EF 2，ED，M 为棱为棱 FC 上一点，平面上一点，平面 ADM 与棱与棱 FB 交于点交于点 N.3 (1)求证：求证：EDCD. (2)求证：求证：ADMN. (3)若若

25、ADED，试问平面，试问平面 BCF 是否可能与平面是否可能与平面 ADMN 垂直？若能，求出的值；若垂直？若能，求出的值；若 FM FC 不能，说明理由不能，说明理由 解：解：(1)证明：因为四边形证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以为矩形，所以 CDAD. 又因为又因为 CDEA，EAADA， 所以所以 CD平面平面 EAD. 因为因为 ED平面平面 EAD， 所以所以 EDCD. (2)证明：因为四边形证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以为矩形，所以 ADBC， 又因为又因为 AD平面平面 FBC，BC平面平面 FBC， 所以所以 AD平面平面 FBC. 又因为平面又因为平面 A

26、DMN平面平面 FBCMN， 所以所以 ADMN. (3)平面平面 ADMN 与平面与平面 BCF 可以垂直证明如下：可以垂直证明如下： 连接连接 DF.因为因为 ADED，ADCD，EDCDD， 所以所以 AD平面平面 CDEF.所以所以 ADDM. 因为因为 ADMN，所以，所以 DMMN. 因为平面因为平面 ADMN平面平面 FBCMN， 所以若使平面所以若使平面 ADMN平面平面 BCF， 则则 DM平面平面 BCF，所以，所以 DMFC. 在梯形在梯形 CDEF 中，因为中，因为 EFCD，DECD，CD2EF2，ED，3 所以所以 DFDC2. 所以若使所以若使 DMFC 成立，则成立，则 M 为为 FC 的中点的中点 所以所以 . FM FC 1 2