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1、2.6 指数函数 指数函数 考情考向分析 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、 不等式等交汇问题以及实际应用问题，题型一般为填空题，中低档难度 1指数函数的定义 一般地，函数 yax(a0，a1)叫做指数函数，函数的定义域是 R. 2指数函数的图象与性质 a100 时，y1； x0 时，01性质 (3)在(，)上是单调增函数(3)在(，)上是单调减函数 概念方法微思考 1如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则 a，b，c，d 与 1 之间 的大小关系为_ 提示 cd1ab0 2 结合指数函数 yax(a0， a1)的图象和性质
2、说明 ax1(a0， a1)的解集跟 a 的取值有关 提示 当 a1 时，ax1 的解集为x|x0；当 01 的解集为x|x0，且 a1)，则 m0，a1)的图象关于 y 轴对称( ) 题组二 教材改编 2P71 习题 T11若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图象经过点 P，则 f(1)_. (2， 1 2) 答案 2 解析 由题意知 a2，所以 a， 1 2 2 2 所以 f(x) x，所以 f(1)1 . ( 2 2) ( 2 2) 2 3P70 习题 T4已知则 a，b，c 的大小关系是_ 113 344 333 , 552 abc - = 答案 c 即 ab1， 又 3 0 4
3、33 1, 22 c - =0，a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，则 a 的值为_ a 2 答案 或 1 2 3 2 解析 当 01 时，a2a ， a 2 a 或 a0(舍去) 3 2 综上所述，a 或 . 1 2 3 2 题型一 指数型函数的图象 例 1 (1)函数 f(x)1e|x|的图象大致是_ 答案 解析 f(x)1e|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，又 e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有. (2)若函数 y|4x1|在(，k上单调递减，则 k 的取值范围为_ 答案 (，0 解析 函数 y|4x1|的图象是由函数 y4x的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方
4、的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示 由图象知，其在(，0上单调递减，所以 k 的取值范围是(，0 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点， 若不满足则排除 (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别 地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 跟踪训练 1 方程 2x2x 的解的个数是_ 答案 1 解析 方程的解可看作函数 y2x和 y2x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的 图象(如图) 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解 题型二 指数函数的性质 命题点
5、1 比较指数式的大小 例 2 (1)已知则 a，b，c 的大小关系是_(用“220，可知 b15”连接) 1 3 a 答案 3aa3 1 3 a 解析 易知 3a0，因此 3aa3. 1 3 a- 1 3 a 1 3 a 命题点 2 解简单的指数方程或不等式 例 3 (1)已知实数 a1，函数 f(x)Error!若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为_ 答案 1 2 解析 当 a1 时，代入不成立故 a 的值为 . 1 2 (2)若偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0)，则不等式 f(x2)0 的解集为_ 答案 x|x4 或 x0，则 f(x)f(x)2x4， f(x)Error!
6、当 f(x2)0 时，有Error!或Error! 解得 x4 或 x4 或 x= f(a)f(b) (2)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)， 且f(0)3， 则f(bx)与f(cx)的大小关系是_ 答案 f(bx)f(cx) 解析 f(x1)f(1x)， f(x)关于 x1 对称， 易知 b2，c3， 当 x0 时，b0c01，f(bx)f(cx)， 当 x0 时，3x2x1， 又 f(x)在(1，)上单调递增， f(bx)0)， 则 yt22t 的单调增区间为1， )， 令 2x1， 得 x0， 又 y2x在 R 上单调递增， 所以函数 f(x)4x2x1的单调增区间是0，)
7、 (3)若函数有最大值 3，则 a_. 2 43 1 ( ) 3 axx f x -+ = 答案 1 解析 令 h(x)ax24x3，y h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1， ( 1 3) 因此必有Error!解得 a1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1. 思维升华 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区 间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断 跟踪训练 3 (1)已知 maxa，b表示 a，b 两数中的最大值若 f(x)maxe|x|，e|x2|，则 f(x) 的最小值为_ 答案 e 解析 f(x
8、)maxe|x|，e|x2|Error! 当 x1 时，f(x)e，且当 x1 时，取得最小值 e； 当 xe. 故 f(x)的最小值为 f(1)e. (2)若不等式 12x4xa0 在 x(， 1时恒成立， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 3 4，) 解析 从已知不等式中分离出实数 a， 得 a. ( 1 4) x(1 2) x 函数 y xx在 R 上是减函数， ( 1 4) ( 1 2) 当 x(，1时， xx ， ( 1 4) ( 1 2) 1 4 1 2 3 4 从而得 . ( 1 4) x(1 2) x 3 4 故实数 a 的取值范围为. 3 4，) 1若指数函数 f(x)(a2
9、3)x满足 f(2)1，即 a24，得 a2. 2已知函数 f(x)5x，若 f(ab)3，则 f(a)f(b)_. 答案 3 解析 f(x)5x，f(ab)5ab3， f(a)f(b)5a5b5ab3. 3设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是_(用“1，所以 b 答案 (1,4) 解析 原不等式等价于 2 24 22 xxx 又函数 y2x为增函数，x22xx4， 即 x23x40，a1)满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是_ 1 9 答案 2，) 解析 由 f(1) ，得 a2 ， 1 9 1 9 所以 a 或 a (舍去)，即 f(x
10、) |2x4|. 1 3 1 3 ( 1 3) 由于 y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增， 所以 f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减 7已知函数 f(x)Error!的值域是8,1，则实数 a 的取值范围是_ 答案 3,0) 解析 当 0x4 时，f(x)8,1，当 axa”是“函数 f(x) xm 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数 a ( 1 3) 1 3 能取的最大整数为_ 答案 1 解析 f(0)m ，函数 f(x)的图象不过第三象限等价于 m 0，即 m ，“ma” 2 3 2 3 2 3 是“m ”的必要不充分条件，ag(0)0， 1 2x 1
11、 2x 所以函数 g(x)的最小值是 0. 10 当 x(， 1时， 不等式(m2m)4x2x0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24) (1)求 f(x)的表达式； (2)若不等式 xxm0 在(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围 ( 1 a) ( 1 b) 解 (1)因为 f(x)的图象过 A(1,6)，B(3,24)， 所以Error! 所以 a24，又 a0，所以 a2，b3. 所以 f(x)32x. (2)由(1)知 a2，b3，则当 x(，1时， xxm0 恒成立， ( 1 2) ( 1 3) 即 m xx在(，1上恒成立 ( 1 2) ( 1 3) 又因为 y x与
12、yx在(，1上均为减函数，所以 yxx在(，1上也是减 ( 1 2) ( 1 3) ( 1 2) ( 1 3) 函数，所以当 x1 时，y xx有最小值 ，所以 m ，即 m 的取值范围是 . ( 1 2) ( 1 3) 5 6 5 6 (， 5 6 13设函数 f(x)Error!则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是_ 答案 2 3，) 解析 令 f(a)t，则 f(t)2t. 当 t0，g(t)在(，1)上单调递增，即 g(t)0.当 mf(c)，则 2a2c_4.(选填“”“1，则由 f(a)f(c)，得 12a12c11， 即 2c12a12，即 2a2c4. 综上知，总
13、有 2a2c4. 16已知函数 f(x) 4(1x2) 1 4x 2x1 (1)若 ，求函数 f(x)的值域； 3 2 (2)若方程 f(x)0 有解，求实数 的取值范围 解 (1)f(x) 4 2x2x4(1x2) 1 4x 2x1 ( 1 2) ( 1 2) 设 t x，得 g(t)t22t4 . ( 1 2) ( 1 4 t 2) 当 时，g(t)t23t4 2 . 3 2 (t 3 2) 7 4( 1 4 t 2) 所以 g(t)maxg，g(t)ming . ( 1 4) 53 16 ( 3 2) 7 4 所以 f(x)max，f(x)min ， 53 16 7 4 故函数 f(x)的值域为. 7 4， 53 16 (2)方程 f(x)0 有解可转化为 22x (1x2) 1 2 1 2x 设 (x)22x， 1 22x( 1 2 2x 4) 当 2x ，即 x1 时，(x)min2； 1 2 当 2x4，即 x2 时，(x)max. 65 8 函数 (x)的值域为. 2， 65 8 故实数 的取值范围是. 2， 65 8