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1、微专题三 立体几何中的实际应用问题微专题三 立体几何中的实际应用问题 例 1 (2018南通、泰州模拟)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成 的，已知正六棱柱的底面边长、高都为 4 cm，圆柱的底面积为 9 cm2.若将该螺帽熔化后3 铸成一个高为 6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_ cm.(不计损耗) 答案 210 解析 由题意知， 铜质六角螺帽毛坯的体积 V460 (6 1 2 42 sin 609 3)3 (cm3) 设正三棱柱的底面边长为 a cm， 则 a2sin 60660， 1 2 3 解得 a2，所以正三棱柱的底面边长为 2 cm.1010
2、 例 2 如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球， 并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？ 解 铁球取出后，容器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为 h， ABC 为正三角形，O 为ABC 的中心， AO13OM3r，注水后圆锥的底面半径 O1C3r， 3 3 球取出后的水深为 h，则此时圆锥底面半径为h. 3 3 球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积， 即 r3 2h 23r， 4 3 1 3 ( 3 3 h) 1 3( 3 3 3r) 解得 hr. 3 15 球取出后，容器内的水深为r. 3 15
3、 例 3 现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1， 下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥 的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由 PO12 知，O1O4PO18. 因为 A1B1AB6， 所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积 V锥 A1B PO1 62224(m3)； 1 3 2 1 1 3 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O6282
4、88(m3) 所以仓库的容积 VV锥V柱24288312(m3) (2)设 A1B1a m，PO1h m， 则 00，V 是单调增函数；3 当 20，h0，得 00，所以 V(r)在(0,6)上单调递增； 当 6r6时，V(r)0，3 所以 V(r)在(6,6)上单调递减3 因此当 r6 时，V(r)取得最大值， 故当 r 为 6 时，该粮仓下部分(圆柱)的体积最大 (2)(2018南京、盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边 AB 长为 6 分米，另一 边足够长现从中截取矩形 ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好 能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙
5、所示， 重叠部分忽略不计)， 其中 OEMF 是以 O 为圆心、EOF120的扇形，且弧，分别与边 BC，AD 相切于点 M，N. EF GH 当 BE 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； 当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 解 在图甲中，连结 MO 交 EF 于点 T. 设 OEOFOMR， 在 RtOET 中， 因为EOT EOF60， 1 2 所以 OT ，则 MTOMOT . R 2 R 2 从而 BEMT ，即 R2BE2. R 2 故所得柱体的底面积 SS扇形 OEFSOEF R2 R2sin 120. 1 3 1 2 4 3 3 又所得柱体的高 EG4
6、，所以 VSEG4. 16 3 3 答 当 BE 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米 ( 16 3 43) 设 BEx，则 R2x， 所以所得柱体的底面积 SS扇形 OEFSOEF R2 R2sin 120x2. 1 3 1 2 ( 4 3 3) 又所得柱体的高 EG62x， 所以 VSEG(x33x2)，其中 0x3. ( 8 3 23) 令 f(x)x33x2，x(0,3)， 则由 f(x)3x26x3x(x2)0，解得 x2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示： x(0,2)2(2,3) f(x)0 f(x)极大值 所以当 x2 时，f(x)取得极大值，也是最大值 答 当 BE 的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大