《2019-2020学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第三章 3．4 导数在实际生活中的应用 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第三章 3．4 导数在实际生活中的应用 .doc（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2019-2020学年苏教版数学精品资料3.4导数在实际生活中的应用1导数在实际生活中有着广泛的应用如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决2利用导数解决优化问题的流程：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型(3)解模：把数学问题转化为函数求解(4)检验面积、容积的最值例1用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？思路
2、点拨设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解精解详析设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)(0x24)令V(x)0，得x110，x236(舍去)当0x0，V(x)是增函数；当10x24时，V(x)0，V(x)是减函数因此，在定义域(0,24)内函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19 600(cm3)即当容器的高为10
3、cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.一点通解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点1要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设该漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为Vx(202x2)(400xx3)(0x20)，则V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx(25)25x，
4、S2525.令S0，得x140，令S0，得20x140.函数在(140，)上单调递增，在(20,140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140)当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.用料最省问题例2某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2
5、)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？思路点拨解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利用导数方法求最值精解详析(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小一点通用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意
6、义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答3做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V27r2h，h，若用料最省，则表面积最小，设表面积为S，则Sr22rhr22r2，S2r，令S0，得r3.当0r3时，S3时，S0，S(r)为增函数当r3时，S取最小值，即用料最省答案：34某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)_解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短设场地宽为x米，则长
7、为 m，因此新墙总长L2x(x0)，则L2.令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(m)，可使L最短答案：32,16利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路点拨(1)根据“销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11 kg”可知销售函数图像过点(5,11)将其代入可求得a的值；(2)利润为y(每件产品的售价每件
8、产品的成本)销量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值精解详析(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg时，商场
9、每日销售该商品所获得的利润最大一点通(1)利润(收益)销售额成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值(2)在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值这是实际问题中求最值的常用方法5已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件解析：因为yx281，所以当x9时，y0；当x(0,9)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)
10、上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案：96已知某工厂生产x件产品的成本为c25 000200xx2(元)问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y元，则y200(x0)，y，令y0，得x1 000或x1 000(舍去)当0x1 000时，y1 000时，y0，故当x1 000时，y取极小值，而只有一个点使y0，故函数在该点处取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数为S(x)500x300x25 000，S(x)300，令S(x)0，得x6 000，当0x0，当
11、x6 000时，S(x)0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为_解析：设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0x0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0，f(x)单调递减所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd.所以xd时，f(x)有最大值答案：d3将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则两矩形面积之和的最小值为_解析：如图所示，设边长之比为21的矩形周长为x，则边长之比为32的矩形周长为lx，两矩形面积之和为S(lx)
12、2，0x0得1x4，由y0得4h(80)当x80时函数取得最小值当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.对应学生用书P58一、导数的概念1导数函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)2导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数记作f(x)二、导数的几何意义1f(x0)是函数yf(x)在x0处切线的斜
13、率，这是导数的几何意义2求切线方程：常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数yf(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程三、导数的运算1基本初等函数的导数(1)f(x)c，则f(x)0；(2)f(x)x，则f(x)x1；(3)f(x)ax(
14、a0且a1)，则f(x)axln a.(4)f(x)logax，则f(x)；(5)f(x)sin x，则f(x)cos x；(6)f(x)cos x，则f(x)sin x；2导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3).四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f(x)；(2)解不等式f(x)0或f(x)0，x0，得0x1.6.设容器的容积为y m3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x0得x2，则f(x)的单调递增区间为(，0)和(2，)；由f(x)0得0x2，则f(x)的单调递减区间为(0,
15、2)当x0时函数取得极大值，f(0)3a5，a2.答案：210设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0.则不等式f(x)g(x)0的解集是_解析：设F(x)f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，F(0)0.x0，且F(3)F(3)f(3)g(3)0，F(x)示意图如图：当x(，3)或(0,3)时，F(x)0，得1ln x0，0x0，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)为增函数，依题意得1k0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率；(2)求函数的单调区间与极值解：(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所
16、以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.(2)f(x)x22xm21，令f(x)0，得到x1m，x1m，因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)在(，1m)和(1m，)内为减函数，在(1m,1m)内为增函数函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2，函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.17(本小题满分14分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位：万元)，成本函
17、数为C(x)460x5 000(单位：万元)(1)求利润函数P(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？解：(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 700x(460x5 000)10x345x23 240x5 000(xN*，且1x20)(2)P(x)30x290x3 24030(x12)(x9)，由P(x)0，得x12，x9(舍去)当0x0，P(x)单调递增；当x12时，P(x)0得x3；令g(x)0得0x3.函数g(x)在(，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，)上为增函数函数在x0处取得极大值，在x3处取得极小值要使g(x
18、)有三个零点，只需解得m5.实数m的取值范围为.19(本小题满分16分)已知函数f(x)(xk)ex，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解：(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)(k1)(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k.当0k11，即1k0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)
19、处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即a11b，且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，3