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1、考点规范练考点规范练 54 古典概型古典概型 考点规范练考点规范练 B 册第册第 40 页页 一、基础巩固 1.在 2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字 2 是取出的三个不同数的中位数的概率为 ( ) A.B.C.D. 答案 C 解析由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共 4 种, 其中数字 2 是取出的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共 2 种, 故所求的概率为. 2 4 = 1 2 2.从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为( ) A.B.C.D. 8 25 9 25 答案 B
2、 解析从甲、乙等 5 名学生中选 2 人有 10 种方法,其中 2 人中包含甲的有 4 种方法,故所求的概率为 . 4 10 = 2 5 3.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为 x,第二次向上的点数记为 y,在平面直角坐 标系 xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线 2x+y=8 上的概率为( ) A.B.C.D. 1 12 5 36 1 9来源:Zxxk.Com 答案 B 解析依题意,以(x,y)为坐标的点共有 66=36(个),其中落在直线 2x+y=8 上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共 3 个,故所求事件的概率为. 3 36 = 1 12 4.(2018广
3、东佛山质检)袋中有 5 个球,这些球除了颜色和标号外,其余均相同,其中红色球 3 个,标号分 别为 1,2,3;蓝色球 2个,标号分别为 1,2.从袋中任取两个球,则这两个球颜色不同,且标号之和不小于 4 的概率为( ) A.B.C.D. 3 10 7 10 答案 A 解析设红球为 A1,A2,A3,蓝色球为 B1,B2,任取两个球,总的事件包 括:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A1A2,A1A3,A2A3,B1B2,共 10 个, 其中满足题意的有 A2B2,A3B1,A3B2,共 3 个, 所以这两个球颜色不同,且标号之和不小于 4 的概率为. 3 10 5.
4、(2018辽宁六校协作体期中)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同 时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有 相邻的两个人站起来的概率为( ) A.B.C.D. 5 16 7 16 11 16 答案 C 解析四个人坐着或站起来的情形共有 24=16(种).没有相邻的两个人站起来,即硬币的正面不能相邻, 有以下几种情况:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共 7 种.由古 典概型概率公式可得,没有相邻的两个人站起来的概率为. 7 16 6.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口
5、袋里有一元餐票 2 张,两元餐票 2 张,五元餐票 1 张,若他从口袋中随机地摸出 2 张,则其面值之和不少于四元的概率为( ) A.B.C.D. 3 10 答案 C 解析小明口袋里共有 5 张餐票,随机地摸出 2 张,基本事件总数 n=10,其面值之和不少于四元包含的 基本事件数 m=5, 故其面值之和不少于四元的概率为. = 5 10 = 1 2 7.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数 a,从集合1,3,5中随机抽取一个数 b,则向量 m=(a,b)与向量 n=(1,-1)垂直的概率为( ) A.B.C.D. 答案 A 解析由题意可知向量 m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5
6、),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),( 5,3),(5,5),共 12 种情况. 因为 mn,即 mn=0,所以 a1+b(-1)=0,即 a=b, 满足条件的有(3,3),(5,5),共 2 种,故所求的概率为 . 1 6 8.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出 现向上的点数之和小于 10 的概率是 . 答案 解析(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36 个基本事件.其中向上的点数之和小于 10 的基本事件共有 30 个,所以所求概率为. 30 36
7、 = 5 6 (方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36个基本事件.记 A 表示“向上的点数之和 小于 10”,则 表示“向上的点数之和不小于 10”, 的基本事件共有 6 个, 所以 P( )=,所以 P(A)=1-P( )= . 6 36 = 1 6 5 6 9.已知蒸笼中共蒸有 5 个外形和大小完全相同的包子,其中 2 个香菇青菜包、1 个肉包、1 个豆沙 包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取 2 个包子,则取出的这 2 个包子中有香菇青菜包的概率 为 . 答案 7 10 解析不妨将 2 个香菇青菜包分别编号为 1,2,1 个肉包编号为 3,1 个豆沙包编号为 4,1 个萝卜
8、丝包编号 为 5,则所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 个. 记“取出的 2个包子中有香菇青菜包”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共 7 个. 故所求的概率为 P(A)=. 7 10 10.为迎接校运动会的到来,某校团委在高一年级招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者(18 名女志愿 者中有 6人喜欢运动). (1)若用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取 10 人组成服务队,求女志愿者
9、被抽到的人数; (2)若从喜欢运动的 6名女志愿者中(其中恰有 4 人懂得医疗救护),任意抽取 2 名志愿者负责医疗救护 工作,则抽出的 2 名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率是多少? 解(1)由题意可知每个志愿者被抽中的概率是, 10 30 = 1 3 故女志愿者被抽到的人数为 18 =6. 1 3 (2)设喜欢运动的女志愿者为 A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 懂得医疗救护, 则从这 6 人中任取 2人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种取法, 其中 2人都懂得医疗救护的有 AB,AC,AD,BC,BD,CD
10、,共 6 种取法. 设“抽出的 2名志愿者都能胜任医疗救护工作”为事件 A, 则抽出的 2 名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率 P(A)=. 6 15 = 2 5 11. (2018广东佛山模拟)某游乐园为吸引游客,推出了一项有奖转盘活动.如图,假设转盘质地均匀,四个区 域划分均匀,每名游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停 止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x,y,奖励规则如下: 若 xy3,则奖励玩具一个;若 xy8,则奖励水杯一个;其余情况则奖励饮料一瓶. (1)求在一次活动中小亮获得玩具的概率; (2)请比较一次活动
11、中小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数, 则基本事件空间 与点集 S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应. 因为 S中元素的个数是 44=16, 所以基本事件总数为 n=16. 记“xy3”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件共有 5 个, 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故 P(A)=,故小亮获得玩具的概率为. 5 16 5 16 (2)记“xy8”为事件 B,“3 5 16 二、能力提升 12.(2018湖南、江西十四校联考)已知某地春天下雨的概率为 40%.现采用随机模拟的方法估
12、计未来 三天恰有一天下雨的概率.先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示下 雨,5,6,7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产 生了如下 20 组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730, 113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为( ) A.0.2B.0.25C.0.4D.0.35 答案 C 解析根据题意,该地未来三天恰有一天下雨,就是三个数字 xyz 中只有一个数字在集合1,
13、2,3,4中,考 查所给 20组数据,以下 8组数据符合题意,按次序分别为 925,458,683,257,027,488,730,537, 则所求概率 P=0.4,故选 C. 8 20 13.设 a1,2,3,4,b2,4,8,12,则函数 f(x)=x3+ax-b在区间1,2上有零点的概率为( ) A.B. C.D. 11 16 答案 C 解析因为 f(x)=x3+ax-b,所以 f(x)=3x2+a. 因为 a1,2,3,4,所以 f(x)0, 所以函数 f(x)在区间1,2上为增函数. 若存在零点,则 f(1)f(2)0,解得 a+1b8+2a. 因此,可使函数在区间1,2上有零点的情
14、况为: a=1,2b10,故 b=2,b=4,b=8,共有 3 种情况; a=2,3b12,故 b=4,b=8,b=12,共有 3 种情况; a=3,4b14,故 b=4,b=8,b=12,共有 3 种情况; a=4,5b16,故 b=8,b=12,共有 2 种情况. 所以有零点共有 3+3+3+2=11 种情况. 而构成函数共有 44=16种情况, 根据古典概型可得有零点的概率为. 11 16 14.(2018上海崇明区二模)我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送 来米 1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为
15、石.(精确到小数点后一位数字) 答案 169.1 解析设这批米内夹谷约为 x石,由题意结合古典概型计算公式,可得,解得 x= 1534 = 28 254 169.1. 28 1 534 254 15.空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染 的情况越严重,对人体危害越大. 指数 级 别 类别户外活动建议 050优 51100良 可正常活动 101150 轻微污 染 151200 轻度污 染 易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病患者应减少 体力消耗和户外活动 201250 中度污 染 251300 中度重 污染 心脏
16、病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症状,老年人和 心脏病、肺病患者应减少体力活动 301500重污染 健康人运动耐受力降低,有明显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病人应当留在室 内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动 现统计邵阳市市区 2017 年 10 月至 11 月连续 60 天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方 图. (1)求这 60 天中属轻度污染的天数; (2)求这 60 天空气质量指数的平均值; (3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,第五组.从第一组和第五组中 的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为 x
17、,y,求事件|x-y|150 的概率. 解(1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在 151200 之间,共有 0.0035060=9(天). (2)由直方图知这 60天空气质量指数的平均值为 =250.1+750.4+1250.3+1750.15+2250.05=107.5. (3)第一组和第五组的天数分别为 600.1=6,600.05=3, 则从 9天中抽出 2天的一切可能结果的基本事件有 36种, 由|x-y|150 知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有 18 种, 用 M 表示|x-y|150这一事件,则 P(M)=. 18 36 = 1 2 三、高考预测 16.为了了解
18、某学段 1 000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干名学生的百米成绩,成绩全部介于 13秒与 18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组13,14);第二组14,15);第五组17,18.由上 述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为 3819,且 第二组的频数为 8. (1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩 的中位数(精确到 0.01 秒); (2)若从第一、五组中随机取出两个人的成绩,求这两个人的成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率. 解(1)设前三组的频率依次为 3x,8x,19x, 则 3
19、x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,即 x=0.02, 故第二组的频率为 0.16,又第二组的频数为 8, 所以抽取的学生总人数为=50, 8 0.16 由此可估计学生中百米成绩在16,17)内的人数为 0.3250=16. 设所求中位数为 m,由第一组、第二组、第三组的频率分别为 0.06,0.16,0.38, 则 0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5, 解得 m15.74. 故估计学生中百米成绩在16,17)内的人数为 16, 所有抽取学生的百米成绩的中位数为 15.74 秒. (2)记“两个人成绩的差的绝对值大于 1 秒”为事件 A. 由(1)可知从第一组抽取的人数为 0.02350=3,不妨记为 a,b,c; 从第五组抽取的人数为 0.0850=4,不妨记为 1,2,3,4. 则从第一、五组中随机取出两个人的成绩有 ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34,共 21 种情况, 其中两个人的成绩的差的绝对值大于 1 秒是来自不同的组,共有 12 种情况. 故两个人的成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率为. 12 21 = 4 7