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1、考点规范练考点规范练 43 圆的方程圆的方程 考点规范练考点规范练 A 册第册第 33 页页 一、基础巩固 1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案 D 解析由题意可得圆的半径 r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(1 - 0)2+ (1 - 0)2= 2 2.已知实数 x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则 x2+y2的最小值为( ) A.2B.1C.D. 32 答案 B 解析设 P(x,y),则点 P 在圆
2、(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心 C(-5,12),半径 r=12,x2+y2= 2=|OP|2,( - 0)2+ ( - 0)2 又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以 x2+y2的最小值为 1. 3.已知三点 A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) 33 A.B.C.D. 5 3 21 3 25 3 4 3 答案 B 解析由题意知,ABC 外接圆的圆心是直线 x=1 与线段 AB 垂直平分线的交点 P,而线段 AB 垂直平分 线的方程为 y-,它与 x=1 联立得圆心 P坐标为, 3 2 = 3 3( - 1 2) (
3、 1, 23 3) 则|OP|=.12+(2 3 3) 2 = 21 3 4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1 答案 A 解析设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y),则解得 = 4 + 0 2 , = - 2 + 0 2 , 0= 2 - 4, 0= 2 + 2. 因为点 Q 在圆 x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.2
4、0+ 20 5.已知直线 l:x+my+4=0,若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上存在两点 P,Q 关于直线 l对称,则 m 的值为( ) A.2B.-2C.1D.-1 答案 D 解析曲线 x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9 上存在两点 P,Q 关于直线 l 对 称,则直线 l:x+my+4=0 过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0, 解得 m=-1,故选 D. 6. 如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B在 A 的上方),且|AB|=2. (1)圆 C的标准方程为
5、 ; (2)圆 C在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 . 答案 (1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)-1- 22 解析 (1)由题意可设圆心 C 坐标为(1,b),取 AB 中点为 P,连接 CP,CB, 则BPC 为直角三角形, 得|BC|=r=b,故圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2. 22 (2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),则 kBC=-1. 22 圆 C在点 B 处的切线方程为 y=x+1,令 y=0, 2 得 x=-1,即切线在 x轴上的截距为-1-. 22 7.当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线 y=(k-1
6、)x+2 的倾斜角 (20),则,即 a=2. |2| 5 = 45 5 又点 M(0,)在圆 C 上,则圆 C 的半径 r=3. 522+ 5 故圆 C的方程为(x-2)2+y2=9. 9.已知圆 C的圆心在直线 y=-4x上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2),求圆 C 的方程. 解(方法一)如图,设圆心 C(x0,-4x0),依题意得=1,则 x0=1, 40 - 2 3 - 0 即圆心 C 的坐标为(1,-4),半径 r=2, 2 故圆 C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. (方法二)设所求圆 C 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, 根据已知条件得
7、 0= - 40, (3 - 0)2+ ( - 2 - 0)2= 2, | 0+ 0- 1| 2 = , 解得 0 = 1, 0= - 4, = 22. 因此所求圆 C 的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 10.在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2,在 y 轴上截得线段长为 2. 23 (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若点 P 到直线 y=x的距离为,求圆 P的方程. 2 2 解(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x
8、0,y0),由已知得. | 0 - 0| 2 = 2 2 又 P 在双曲线 y2-x2=1上,从而得 | 0 - 0| = 1, 2 0 - 2 0 = 1. 由此时,圆 P 的半径 r=. 0 - 0 = 1, 2 0 - 2 0 = 1, 得 0 = 0, 0= - 1. 3 由此时,圆 P 的半径 r=. 0 - 0= - 1, 2 0 - 2 0 = 1, 得0 = 0, 0 = 1. 3 故圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3. 二、能力提升 11.(2018北京朝阳期末)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 k(k0,且 k1)
9、的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 A,B 间的距离为 2,动点 P 与 A,B 距 离之比为,当 P,A,B不共线时,PAB 面积的最大值是( ) 2 A.2B.C.D. 22 22 3 2 3 答案 A 解析如图,以经过 A,B 的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0), 设 P(x,y), , | | = 2 ( + 1)2+ 2 ( - 1)2+ 2 = 2 两边平方并整理得 x2+y2-6x+1=0(x-3)2+y2=8,ymax=2,PAB面积的最大值是 22=2, 2 1 2 22 故选 A. 12
10、.已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案(-2,-4) 5 解析由题意,可得 a2=a+2,解得 a=-1 或 a=2.当 a=-1 时,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25, 故圆心为(-2,-4),半径为 5;当 a=2 时,方程为 4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=- 不表示圆. ( + 1 2) 2 5 4 13.已知圆 M与 y轴相切,圆心在直线 y= x 上,并且在 x 轴上截得的弦长为 2,则圆 M 的标准方程 1 2 3 为 . 答案(x-2)2+(y
11、-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 解析设圆 M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意可得解得 1 2 - = 0, | = , 2+ 3 = 2, = 2, = 1, = 2 或 = - 2, = - 1, = 2, 所以圆 M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4 或(x+2)2+(y+1)2=4. 14.在以 O为原点的平面直角坐标系中,点 A(4,-3)为OAB 的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点 B 的纵 坐标大于 0. (1)求的坐标; (2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB对称的圆的方程. 解(1)设=(x,y),由|AB|=
12、2|OA|,=0, 得解得 2+ 2= 100, 4x - 3 = 0, = 6, = 8或 = - 6, = - 8. 若=(-6,-8),则 yB=-11 与 yB0 矛盾. 舍去,即=(6,8). = - 6, = - 8 (2)圆 x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为 C(3,-1),半径 r=. 1010 =(4,-3)+(6,8)=(10,5), = + 直线 OB 的方程为 y= x. 1 2 设圆心 C(3,-1)关于直线 y= x 的对称点的坐标为(a,b), 1 2 则解得 + 1 - 3 = - 2, - 1 2 = 1 2 + 3 2 , = 1, = 3, 故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. 三、高考预测 15.已知平面区域恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆 C 的方 0, 0, + 2 - 4 0 程为 . 答案(x-2)2+(y-1)2=5 解析由题意知,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且 面积最小的圆是其外接圆. 因为OPQ 为直角三角形, 所以圆心为斜边 PQ 的中点(2,1), 半径 r=, | 2 = 5 所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.