江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备五解题模板给力学案2.pdf

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1、必备五 解题模板给力必备五 解题模板给力 模板一 函数性质的应用 典型例题 例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x0,1)时,f(x)=2x- 1,则 f(lo 6)的值是 . g1 2 答案 - 1 2 解析 因为-30,f(3)=20.12-50.由于 f(1)f(2)0,0 的情况;(3)将 x+ 视为一个整体.解题 思路: 跟踪集训 3.已知函数 f(x)=2asinxcosx+asin2x-acos2x+b(a,bR).3 (1)若 a0,求函数 f(x)的单调增区间; (2)当 x时,函数 f(x)的最大值为 3,最小值为 1-,求 ab 的值

2、.- 4, 4 3 模板四 解三角形 典型例题 例 4 如图,在ABC 中,已知 AC=7,B=45,D 是边 AB 上的一点,AD=3,ADC=120.求: (1)CD 的长; (2)ABC 的面积. 解析 (1)在ACD 中,AC=7,AD=3,ADC=120,(定已知) 由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,(选定理) 72=32+CD2-23CDcos120,解得 CD=5.(得结论) (2)在BCD 中,B=45,CD=5,(定已知) 由正弦定理得=,(选定理) BD sinBCD CD sinB BD sin75 5 sin45 解得 BD=,(得结论) 5

3、 + 53 2 所以 SABC=SACD+SBCD= ADCDsinADC+ CDBDsinBDC= 35sin120+ 5 1 2 1 2 1 2 1 2 5 + 53 2 sin60=. 75 + 553 8 模板构建 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形边角之间的互化,当已知三角形中的两边 及其一边的对角,或两角及其一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;若已知三边或两 边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下: 跟踪集训 4.(2018 江苏淮海中学模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a2=b2+c2-bc,a=b. 15 2

4、(1)求 sinB 的值; (2)求 cos的值.(C + 12) 模板五 利用函数性质解不等式 典型例题 例 5 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)满足 f(-2)=9,且 f(x)的导数 f(x)在0,+)上恒有 f(x)2.(巧转化) 解得 x2. 所以不等式 f(x)0 时,xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是 . 模板六 基本不等式的应用 典型例题 例 6 设 x,y 是正实数,且 x+y=1,则+的最小值是 . x2 x + 2 y2 y + 1 答案 1 4 解析 设 x+2=s,y+1=t,则 s+t=4,(换元) 所以+=+=+ x2 x + 2 y2 y

5、 + 1 (s - 2)2 s (t - 1)2 t (s - 4 + 4 s) (t - 2 + 1 t) =-2,(巧拼凑)( 4 s + 1 t) 因为 + =(s+t)= ,当且仅当 t= ,s= ,即 x= ,y= 时,取等号,(得定值) 4 s 1 t 1 4( 4 s + 1 t) 1 4( 4t s + s t + 5) 9 4 4 3 8 3 2 3 1 3 所以+ ,即+的最小值是 .(得结论) x2 x + 2 y2 y + 1 1 4 x2 x + 2 y2 y + 1 1 4 模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积 为定值

6、的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下: 跟踪集训 6.(2018 江苏盐城中学高三考前热身)已知正实数 a,b 满足+=1,则 3a+2b 的最小值为 . 1 a + b 1 a - b 模板七 不等式恒成立问题 典型例题 例 7 已知 x0,y0,且 + =1,若 x+2y-(m2+2m)0 恒成立,则实数 m 的取值范围为 . 2 x 1 y 答案 (-4,2) 解析 记 t=x+2y,由原不等式恒成立可得 m2+2m0,y0,所以 + 2=4 当且仅当 = ,即 2 x 1 y ( 2 x + 1 y) 4y x x y 4y x x y 4y x x y 4y

7、 x x y x=2y 时等号成立 . 所以 t=4+ + 4+4=8,即 tmin=8.(求最值) 4y x x y 故 m2+2m0)上恰有两点 M,N,使得MAB 和 NAB 的面积均为 4,则 r 的取值范围是 . 模板十二 圆锥曲线中的最值与范围问题 典型例题 例 12 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为,且点在椭圆 C 上. x2 a2 y2 b2 3 2 ( 3, 1 2) (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 E:+=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO x2 4a2

8、y2 4b2 交椭圆 E 于点 Q. 求的值; |OQ| |OP| 求ABQ 面积的最大值. 解析 (1)将代入椭圆方程,有 +=1,又e= =,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程( 3, 1 2) 3 a2 1 4b2 c a a2- b2 a 3 2 为 +y2=1. x2 4 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 + =1. x2 16 y2 4 设 P(x0,y0),=(0),由题意知 Q(-x0,-y0). |OQ| |OP| 因为 +=1,+=1,即=1, x20 4 y20 ( - x0)2 16 ( - y0)2 4 2 4( x20 4 + y20) 所以 =2 或 =-

9、2(舍去),即=2. |OQ| |OP| 设 A(x1,y1),B(x2,y2),(设点) 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,(联立方程) 由 0,可得 m20 等).解题步骤如下: 跟踪集训 12.(2018 江苏南通模拟)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为 2. x2 a2 y2 b2 3 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 A、B 是椭圆 C 上的任意两点,O 是坐标原点,且 OA 垂直 OB. 求证:存在一个定圆,使得直线 AB 始终为该定圆的切线,并求出该定圆的方程; 求AOB 面积的

10、最大值. 模板十三 圆锥曲线中的探索性问题 典型例题 例 13 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a0)交于 M,N 两点. x2 4 (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)在 y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变化时,总有OPM=OPN?说明理由. 解析 (1)由题设可得 M(2,a),N(-2,a)或 M(-2,a),N(2,a).aaaa 对于 y= ,因为 y= x,所以 y= 在 x=2处的导数值为,在 x=-2处的导数值为-, x2 4 1 2 x2 4 aaaa 所以曲线C在(2,a)处的切线方程为y-a=(

11、x-2),即x-y-a=0,在(-2,a)处的切线方程aaaaa 为 y-a=-(x+2),即x+y+a=0.aaa 故所求切线方程为x-y-a=0 和x+y+a=0.aa (2)假设存在符合题意的点 P(0,b),(假设存在) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入曲线 C 的方程,整理得 x2-4kx-4a=0,(联立方程) 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4a, 所以 k1+k2=+=. y1- b x1 y2- b x2 2kx1x2+ (a - b)(x1+ x2) x1x2 k(a + b) a 当 b=-a

12、 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故OPM=OPN,所以存在点 P(0,-a)符合题意.(得出结论) 模板构建 圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解 题要点如下: 跟踪集训 13.(2018 江苏兴化一中模拟)椭圆 M: + =1(ab0)的离心率为,点 P(0,2)关于直线 y=-x 的对称点在 x2 a2 y2 b2 3 2 椭圆 M 上. (1)求椭圆 M 的方程; (2)如图,椭圆 M 的上、下顶点分别为 A、B,过点 P 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同的点 C,D. 求的取值范围;OCOD

13、当 AD 与 BC 相交于点 Q 时,试问:点 Q 的纵坐标是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 模板十四 应用性问题 典型例题 例 14 (2018 江苏淮阴中学阶段检测)如图所示,江苏省淮阴中学有一块矩形空地 ABCD,其中 AB=10 米,BC=10米,计划在此矩形空地区域内为学生建灯光运动场,BEF 区域内安装一批照明灯(E,F 点在3 线段 AC 上),且EBF=30,BEF 外其余区域建运动场. (1)若 E 在距离 A 点 4 米处,求点 E,F 之间的距离; (2)为了使运动场地区域最大化,要求BEF 面积应尽可能地小,记ABE=,请用 表示BEF 的面积 S(),

14、当 S()最小时,求 的值. 解析 (1)由题意得BAC=60,ACB=30,AC=20 米. BFE=BCF+CBF=30+CBF, ABE=ABC-EBF-CBF=90-30-CBF, BFE+ABE=90. ABE 中,由余弦定理得 BE=2米.19 cosABE=, 419 19 BEF 中,=, EF sin30 BE sinBFE BE cosABE EF= 米. BE 2cosABE 19 4 (2)ABE 中,=,则 BE=. BE sin60 AB sin180 - ( + 60) 10 sin( + 60) 53 sin( + 60) BCF 中,=,则 BF=米. BF

15、sin30 BC sin(60 + + 30) 103 sin( + 90) 53 cos S()= BEBFsin30=. 1 2 75 4cossin( + 60) 75 3 + 2sin(2 + 60) (0,60),当 2+60=90,即 =15时,S()最小. 答:当 =15时,三角形 BEF 的面积最小. 模板构建 跟踪集训 14.(2018 江苏兴化一中模拟)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口 A 沿 AB,AC 方向修建 两条小路,休息亭 P 与入口的距离为 3a 米(其中 a 为正常数),过 P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,2 步行带交两条小路于 E、F 处

16、,已知BAP=45,tanCAB= . 12 5 (1)设 AE=x 米,AF=y 米,求 y 关于 x 的函数关系式及定义域; (2)试确定 E,F 的位置,使三条路围成的三角形 AEF 地皮购价最低. 模板十五 求空间角(理科专用) 典型例题 例 15 (2018 江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO,OB,OC 两两互相垂直,点 D,E 分别 为棱 BC,AC 的中点,F 在棱 AO 上,且满足 OF= OA,已知 OA=OC=4,OB=2. 1 4 (1)求异面直线 AD 与 OC 所成角的余弦值; (2)求二面角 C-EF-D 的正弦值. 解析 (1)如图,以

17、O 为原点,分别以,的方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.OB OC OA 依题意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(0,0,1), 所以=(1,2,-4),=(0,4,0),ADOC 所以 cos=.AD OC ADOC |AD|OC| 8 421 221 21 因此异面直线 AD 与 OC 所成角的余弦值为. 221 21 (2)平面 AOC 的一个法向量为=(2,0,0).OB 设 m=(x,y,z)为平面 DEF 的一个法向量, 又=(0,-2,-1),=(-1,0,2),EFDE 则

18、即 mEF = 0, mDE = 0, 2y + z = 0, x - 2z = 0. 不妨取 z=2,则 x=4,y=-1, 所以 m=(4,-1,2)为平面 DEF 的一个法向量, 从而 cos=,OB OBm |OB|m| (2,0,0)(4, - 1,2) 2 21 421 21 设二面角 C-EF-D 的大小为 ,则|cos|=. 421 21 因为 0,所以 sin=.1 - cos2 105 21 因此二面角 C-EF-D 的正弦值为. 105 21 模板构建 空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特 征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空

19、间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化, 具体步骤如下: 跟踪集训 15.(2018 南京、盐城一模)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,AC 与 BD 交于点 O,OP底面 ABCD, 点 M 为 PC 的中点,AC=4,BD=2,OP=4. (1)求直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; (2)求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值. 模板十六 离散型随机变量 典型例题 例 16 现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲

20、类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道 3 5 乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望. 4 5 解析 (1)设事件 A 为“张同学至少取到 1 道乙类题”, 则事件 为“张同学所取 3 道题都是甲类题”.(定性)A 因为 P( )= ,(定型)A C36 C310 1 6 所以 P(A)=1-P( )= .(求值)A 5 6 (2)X 所有可能的取值为 0,1,2,3.(定元) P(X=0)= =,C22( 2 5) 2 1 5 4 125 P(X=1)= + =,C12 3 5 2 5 1 5 C22

21、( 2 5) 2 4 5 28 125 P(X=2)= + =,C22( 3 5) 2 1 5 C12 3 5 2 5 4 5 57 125 P(X=3)= =.(定型)C22( 3 5) 2 4 5 36 125 故 X 的分布列为 X0123 P 4 125 28 125 57 125 36 125 所以 E(X)=0+1+2+3=2.(求值) 4 125 28 125 57 125 36 125 模板构建 公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试 验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下: 跟踪集训 16.盒中共有

22、 9 个球,其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随机变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数.求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 答案精解精析答案精解精析 模板一 函数性质的应用 跟踪集训 1.答案 -4 解析 奇函数 f(x)的图象关于直线 x=-2 对称,则最小正周期是 8,则 f(6)=f(-2)=-f(2)=-4. 模板二 函数的零点 跟踪集训 2.答案 5 解析 函数 f

23、(x)在(0,+)上递增,且 f(5)=lg5- 0,所以函数零点在区间(5,6)上,则 n=5. 3 2 模板三 三角函数的性质 跟踪集训 3.解析 (1)因为 f(x)=2asinxcosx+asin2x-acos2x+b3 =asin2x-acos2x+b3 =2asin+b.(2x - 6) 又 a0,所以函数 f(x)的单调增区间为,kZ.- 6 + k, 3 + k (2)当 x时,2x- ,2sin-2,- 4, 4 6 - 2 3 , 3 (2x - 6) 3 则当 a0 时,函数 f(x)的最大值为a+b,最小值为-2a+b.3 所以 3a + b = 3, - 2a + b

24、 = 1 - 3, 解得 a=1,b=3-.3 当 ab,所以 AB,即 00 时,g(x)=0xg(x)0或解得 0 0, g(x) 0 x 0,x0,则 x1,y0, 1 x 1 y 1 y x - 1 x a=,b=,3a+2b=+x-y= (5x+y)=3+ 2=3+,当且仅 x + y 2 x - y 2 3x + 3y 2 5x + y 2 1 2 ( 1 x + 1 y) 1 2(6 + y x + 5x y) 1 2 y x 5x y 5 当 = ,y=x 时,取等号,故 3a+2b 的最小值为 3+. y x 5x y 55 模板七 不等式恒成立问题 跟踪集训 7.答案 a-

25、 17 12 解析 2ag(x)+h(2x)0,即 2a+0, 2x- 2 - x 2 22x+ 2 - 2x 2 2a(2x-2-x)+22x+2-2x0,令 2x-2-x=t,t,则 22x+2-2x=t2+2, 3 2, 15 4 2at+t2+20,t2+2-2at,-2a,y=t+ t,递增,t= 时,ymin= ,(t + 2 t)min 2 t 3 2, 15 4 3 2 17 6 则-2a ,解得 a- . 17 6 17 12 模板八 线性规划问题 跟踪集训 8.答案 6 解析 画出可行域如图所示, 由 z=2x+y 得 y=-2x+z. 当直线 y=-2x+z 经过点 A(

26、-1,-1)时,z 取得最小值 n=-3; 当直线 y=-2x+z 经过点 C(2,-1)时,z 取得最大值 m=3. m-n=6. 模板九 数列的通项与求和 跟踪集训 9.解析 (1)设等差数列an的公差为 d,因为满足 a2=2,S5=15, 所以解得所以 an=1+(n-1)1=n, a1+ d = 2, 5a1+ 5 4 2 d = 15, a1 = 1, d = 1, 因为等比数列bn满足 b2=4,b5=32,设其公比为 q,则解得 b1q = 4, b1q4= 32, b1 = 2, q = 2, 所以数列bn的通项公式为 bn=b1qn-1=2n. (2)由(1)知:anbn=

27、n2n,所以 Tn=12+222+n2n, 所以 2Tn=122+223+n2n+1, 由-得 Tn=-(2+22+23+2n)+n2n+1=-+n2n+1, 2(1 - 2n) 1 - 2 故 Tn=(n-1)2n+1+2. 模板十 空间中的平行与垂直 跟踪集训 10.证明 (1)BC=2AD,G 是 BC 的中点,AD=BG,又ADBC,四边形 ADGB 是平行四边形,ABDG. AB平面 DEG,DG平面 DEG,AB平面 DEG. (2)易知四边形 ADFE 是矩形,连接 GF, DFAE,AE底面 BEFC,DF平面 BCFE,EG平面 BCFE,DFEG. EFBG,EF=BG,且

28、 EF=BE,四边形 BGFE 为菱形,BFEG, 又 BFDF=F,BF平面 BFD,DF平面 BFD,EG平面 BDF. 模板十一 直线与圆 跟踪集训 11.答案 ( 2 2 , 92 2 ) 解析 由题意可得|AB|=2,( - 1 + 3)2+ ( - 2 - 0)22 根据MAB 和NAB 的面积均为 4,可得两点 M,N 到直线 AB 的距离为 2.2 由于直线 AB 的方程为=,即 x+y+3=0. y - 0 - 2 - 0 x + 3 - 1 + 3 若圆上只有一个点到直线 AB 的距离为 2,2 则圆心(2,0)到直线 AB 的距离为=r+2,解得 r=; |2 + 0 +

29、 3| 2 2 2 2 若圆上只有 3 个点到直线 AB 的距离为 2,2 则圆心(2,0)到直线 AB 的距离为=r-2,解得 r=. |2 + 0 + 3| 2 2 92 2 综上,r 的取值范围是.( 2 2 , 92 2 ) 模板十二 圆锥曲线中的最值与范围问题 跟踪集训 12.解析 (1)设椭圆的半焦距为 c,由题意得 =,且 a=2,得 c=,b=1, c a 3 2 3 所求椭圆方程为 +y2=1. x2 4 (2)证明:当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x=,原点 O 到直线 AB 的距离为. 25 5 25 5 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方

30、程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 则由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, x2 4 + y2= 1, y = kx + m, =16(1+4k2-m2)0, x1+x2=-,x1x2=, 8km 1 + 4k2 4m2- 4 1 + 4k2 由=x1x2+y1y2=0,OAOB 5m2- 4 - 4k2 1 + 4k2 得 m2= (1+k2), 4 5 原点 O 到直线 AB 的距离 d=. m k2+ 1 4 5(1 + k 2) 1 + k2 25 5 综上所述,原点 O 到直线 AB 的距离为,即该定圆方程为 x2+y2= . 25 5 4 5 当

31、直线 AB 的斜率不存在时,AB=, 45 5 当直线 AB 的斜率存在时,|AB|=|x1-x2|=,1 + k2 4 5 1 + 9k2 16k4+ 8k2+ 1 当 k0 时,|AB|=,当且仅当 k= 时等号成立. 4 5 1 + 9 16k2+ 1 k2 + 8 5 1 2 当 k=0 时,|AB|=,|AB|的最大值为. 45 5 5 由知,点 O 到直线 AB 的距离为, 25 5 SAOB的最大值为 =1. 1 2 5 25 5 模板十三 圆锥曲线中的探索性问题 跟踪集训 13.解析 (1)因为点 P(0,2)关于直线 y=-x 的对称点为(-2,0),且(-2,0)在椭圆 M

32、 上,所以 a=2.又 e=, 3 2 故 c=,则 b2=a2-c2=4-3=1.所以椭圆 M 的方程为 +y2=1.3 x2 4 (2)当直线 l 的斜率不存在时,C(0,1),D(0,-1),所以=-1.OCOD 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),消去 y 整理得 y = kx + 2, x2 4 + y2= 1, (1+4k2)x2+16kx+12=0,由 0,可得 4k23,且 x1+x2=-,x1x2=, 16k 1 + 4k2 12 1 + 4k2 所以=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+

33、4=-1+,OCOD 17 1 + 4k2 所以-1 0, y = 13ax 4x - 7a 0 ( 7a 4, + ) 解法二:由 tanCAB= ,得 sinCAB= ,cosCAB= , 12 5 12 13 5 13 sinFAP=sin(FAE-PAE)=sin(FAE-45)=. 72 26 设FPA=, APF 中,由正弦定理得=, AF sinAPF PF sinFAP AP sinAFE 所以 PF=,sinAFE=. 72 26 y sin 32asin y 同理可得 PE=,FE=. 2 2 x sin 12 13xy 32asin 由 PF+PE=FE, 即+=, 72

34、 26 y sin 2 2 x sin 12 13xy 32asin 整理得 y=, 13ax 4x - 7a 由,得定义域为. x 0, y = 13ax 4x - 7a 0 ( 7a 4, + ) 解法三:以 AB 所在直线为 x 轴,点 A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则 E(x,0),P(3a,3a),由 tanCAB= ,得 sinCAB= ,cosCAB= , 12 5 12 13 5 13 所以 F,( 5 13y, 12 13y) 因为与共线,PEPF 所以(-3a)=(x-3a),( 5 13y - 3a) ( 12 13y - 3a) 所以 y=,由 13a

35、x 4x - 7a x 0, y = 13ax 4x - 7a 0 得定义域为.( 7a 4, + ) (2)设三条路围成地皮购价为 y 元,地皮购价为 k 元/平方米,则 y=kSAEF(k 为正常数), 所以要使 y 最小,只要使 SAEF最小即可. 由题可知 SAEF= AEAFsinCAB= xy = xy= x=,定义域为. 1 2 1 2 12 13 6 13 6 13 13ax 4x - 7a 6ax2 4x - 7a ( 7a 4, + ) 令 t=4x-7a0, 则 SAEF= = 6a( t + 7a 4 ) 2 t 3a 8 t2+ 14at + 49a2 t 3a 8(

36、t + 49a2 t + 14a) = a2. 3a 8(2 t 49a2 t + 14a) 21 2 当且仅当 t=7a,即 x= 时取等号, 7a 2 所以,当 x= 时,SAEF最小,所以 y 最小. 7a 2 答:当点 E 距离 A 点 米时,三条路围成地皮购价最低. 7a 2 模板十五 求空间角(理科专用) 跟踪集训 15.解析 (1)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 ACBD.又 OP底面 ABCD,所以以 O 为原点,直线 OA,OB,OP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0

37、),M(-1,0,2). 所以=(-2,0,4),=(-1,-1,2),APBM 所以=10,APBM |=2,|=.AP5BM6 则 cos=.AP BM APBM |AP|BM| 10 2 5 6 30 6 故直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为. 30 6 (2)=(-2,1,0),=(-1,-1,2).ABBM 设平面 ABM 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则即令 x=2,则 y=4,z=3. nAB = 0, nBM = 0, - 2x + y = 0, - x - y + 2z = 0. 所以平面 ABM 的一个法向量为 n=(2,4,3). 又平面 PAC 的一个法向量

38、为=(0,1,0),所以 n=4,|n|=,|=1.OBOB29OB 则 cos=.OB nOB |n|OB| 4 29 429 29 故平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值为. 429 29 模板十六 离散型随机变量 跟踪集训 16.解析 (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球, 所以 P= . C24+ C23+ C22 C29 6 + 3 + 1 36 5 18 (2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. X=4表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)= =. C44 C49 1 126 X=3表示的随机事件是 “取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”, 故 P(X=3)= . C34C15+ C33C16 C49 20 + 6 126 13 63 于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1- -= . 13 63 1 126 11 14 所以随机变量 X 的概率分布如下表: X234 P 11 14 13 63 1 126 因此随机变量 X 的数学期望 E(X)=2 +3 +4= . 11 14 13 63 1 126 20 9