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1、必备四 二级结论巧用必备四 二级结论巧用 结论一 函数的奇偶性 1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称. 2.函数 f(x)为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 3.如果 f(x)为偶函数,那么 f(x)=f(|x|). 4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性. 跟踪集训 1.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x0 时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b 为常数),若 f(2)=-1,则 f(- 6)的值为 . 2.已知偶函数 f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足 f(2x-1)0(0,xD 有解. (5)存在
2、 x1,x2D,x1x2,f(x1)=f(x2)y=f(x),xD 不单调. 2.函数的单调性与极值:(1)函数f(x)有三个单调区间f(x)有两个极值点f(x)=0有两个不等根; (2)函数 f(x)在a,b上不单调f(x)在(a,b)上有极值点,可求出 f(x)的极值点 x0(a,b). 3.函数的最值:函数 f(x)在 D 上的最大值为 M函数 f(x)在 D 上的最小 x 0 D, f(x0) = M, f(x) M,x D恒成立. 值为 m x 0 D, f(x0) = m, f(x) m,x D恒成立. 跟踪集训 4.设 f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,nR)是 R
3、 上的单调增函数,则 m 的值为 . 5.已知函数 f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x-3,3的最大值是 0,则实数 a 的取值范围是 . 6.已知函数 f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意 x1,x2R,均满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则实数 m 的取值范围 是 . 7.已知函数 f(x)=若存在 x1,x2R,且 x1x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取 - x2+ ax(x 1), 2ax - 5(x 1), 值范围是 . 结论三 抽象函数的周期性与单调性 1.函数的周期性 (1)若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)为
4、周期函数,2a 是它的一个周期. (2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期. (3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期. (4)f(x+a)f(x)=k(a0)、f(x+a)+f(x)=k(a0)(k 为常数)都表明函数 f(x)是周期为 2a 的周期函数. 2.函数图象的对称性 (1)若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若函数 f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x)
5、,即 f(x)=-f(2a-x),则 f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=对称. a + b 2 (4)若 f(x+a)+f(b-x)=c,则函数 y=f(x)的图象关于点对称.( a + b 2 , c 2) 跟踪集训 8.奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)= . 9.若偶函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 f(3)=3,则 f(-1)= . 10.函数 f(x)对任意 xR 都有 f(x+2)=f(-x)成立,且函数 y=
6、f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则 f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为 . 结论四 函数零点 1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称 轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的 函数值的符号. 2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解. 3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画 图形时尽量是动直线与定曲线的图形. 跟踪集训 11.已知函数 f(x)=若函数 y=f(
7、x)-m 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围 22 - x,x BsinAsinB,cosAcosB,sinAcosC, a2+ b2 c2, b2+ c2 a2, c2+ a2 b2. 跟踪集训 17.在斜ABC 中,若 tanAtanBtanC=123,则 cosA= . 18.锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA. (1)求 B 的大小; (2)求 cosA+sinC 的取值范围. 结论七 不等式 1.(a,b0). 2ab a + b ab a + b 2 a2+ b2 2 2.(1)xy;(2)xy;(3)当 x0 时,x+ 2;
8、x2+ y2 2 ( x + y 2 ) 2 1 x (4)当 x,y 同号时, + 2;当 x,y 异号时, + -2. x y y x x y y x 3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在 R 上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用 方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为 a0,xD 恒成立,即为 f(x)min0,xD. 跟踪集训 19.若在区间1,3内,存在实数满足不等式 2x2+mx-10,b0,且 2a+b=1,则 S=2-(4a2+b2)的最大值是 . ab 结论八 平面向量 1.三点共线的判定 A,B,C 三点共线,共线;向量,中,A,B,C 三点共线存
9、在实数 , 使得=+,AB ACPA PB PCPAPBPC 且 +=1. 2.三角形“四心”的向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则 (1)O 为ABC 的外心|=|=|=.OAOBOC a 2sinA b 2sinB c 2sinC (2)O 为ABC 的重心+=0.OA OB OC (3)O 为ABC 的垂心=.OAOB OBOC OCOA (4)O 为ABC 的内心a+b+c=0.OAOBOC 3.向量中线定理:ABC 中,点 D 为 BC 的中点,则+=2.AB ACAD 4.|a|-|b|a-b|a|+|b|,注意等号
10、成立的条件. 5.若 a,b 都是非零向量,则 aba=bx1y2=x2y1夹角等于 0或 180|ab|=|a|b|. 6.若 a,b 都是非零向量,则 abab=0x1x2+y1y2=0夹角等于 90|a+b|=|a-b|. 7.数量积的其他结论:当 a 与 b 同向共线时,ab=|a|b|;当 a 与 b 反向共线时,ab=-|a|b|; 当 a 与 b 共线时,|ab|=|a|b|;当 a 与 b 为任意向量时,|ab|=|a|b|cos|a|b|( 为 a 与 b 的夹角);a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是ab = x1x2 + y1y2 0, x1y2- x2y1 0. a 与
11、 b 的夹角为钝角的充要条件是ab = x1x2 + y1y20,且 a1)必是等差数列. 跟踪集训 28.在等比数列an中,若 S10=10,S20=30,则 S30= . 29.数列an中,=4an,a1=1,an0,则 an= . a 2 n + 1 30.等比数列an共有奇数项,所有奇数项和 S奇=255,所有偶数项和 S偶=-126,末项是 192,则首项 a1= . 结论十一 直线与圆 1.阿波罗尼斯圆:若点 A、B 是定点,M 是动点,且 MA=kMB,k0,k1,则动点 M 的轨迹是圆(阿波罗尼 斯圆). 2.定点 A 到动直线 l 的距离等于定长的直线 l 是以 A 为圆心,
12、定长为半径的圆的切线. 3.以 AB 为直径的圆经过点 C,则 ACBC,可以利用斜率或向量求解. 4.对角互补的四边形有外接圆. 5.以 A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以 作圆的两条切线. 7.过圆内一定点的弦长最长的有 1 条,是过该点的直径,最短的弦有 1 条,是垂直于过该点直径的弦. 跟踪集训 31.若 A(1,1),B(3,4),且点 A 和 B 到直线 l 的距
13、离都等于 1,则这样的直线 l 有 条. 32.已知圆 M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线 l:x+y-6=0,A 为直线 l 上一点.若圆 M 上存在两点 B,C,使得 BAC=60,则点 A 横坐标的取值范围是 . 33.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O1,圆 O2均与 x 轴相切且圆心 O1,O2与原点 O 共线,O1,O2两点的横坐 标之积为 6,设圆 O1与圆 O2相交于 P,Q 两点,直线 l:2x-y-8=0,则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离 的最小值为 . 结论十二 圆锥曲线 1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦 AB=2a+e(x1
14、+x2);右焦点弦 AB=2a-e(x1+x2);(2)通 径长为;(3)焦点三角形的面积 S=b2tan ;(4)若 A、 B 是椭圆 C: + =1(ab0)上关于坐标原点对称的两 2b2 a 2 x2 a2 y2 b2 点,P 为椭圆 C 上任意一点,则 kPAkPB=- . b2 a2 2.双曲线中焦点三角形的面积 S=. b2 tan 2 3.若点 M(x0,y0)在曲线 =1 上,则过 M 的切线方程为=1. x2 a2 y2 b2 x0x a2 y0y b2 4.过抛物线 y2=2px(p0)焦点的弦 AB 有如下结论: (1)xAxB= ;(2)yAyB=-p2;(3)|AB|
15、=( 是直线 AB 的倾斜角). p2 4 2p sin2 跟踪集训 34.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2 的离心率为 e2,若 e2=3e1,则 e1= . 35.已知椭圆 + =1(ab0),M,N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,且直线 PM,PN 的斜 x2 a2 y2 b2 率分别为 k1,k2(k1k20),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为 . 3 2 36.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点
16、,则OAB 的面积为 . 答案精解精析答案精解精析 结论一 函数的奇偶性 跟踪集训 1.答案 4 解析 由已知得 f(0)=0=1+b, b=-1,又 f(2)=2+2(a-1)-1=-1, a=0,f(x)=log2(x+2)-x-1(x0), f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4. 2.答案 ( 1 3, 2 3) 解析 由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1)0,在(-,-2)和(0,2)上 f(x)0 时,由0,结合图象可知 x(-2,0).综 f(x) - f( - x) x 上,x(-2,0)(0,2). 结论二 函数的单调性、 极值与最值 跟踪
17、集训 4.答案 6 解析 由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,nR)是R上的单调增函数,得f(x)=12x2+2mx+m-30在R上恒成立, 则 4m2-48(m-3)0,即(m-6)20,故 m=6. 5.答案 (-,-5 解析 易知 f(2)=0,则要使 f(x),x-3,3的最大值是 0,只需 f(x)0,x-3,3恒成立,则-a|x- 2|x2-4|,x-3,3,-a|x+2|max=5,x-3,2)(2,3,所以 a-5,实数 a 的取值范围是(-,-5. 6.答案 1 3, + ) 解析 由对任意 x1,x2R,均满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,得函数 f
18、(x)=x3-x2+mx+2 在 R 上递增,则 f(x)=3x2-2x+m0在R上恒成立,则m(-3x2+2x)max= ,当x= 时取等号,故实数m的取值范围是. 1 3 1 3 1 3, + ) 7.答案 (-,4) 解析 由x1x2,x1,x2R,f(x1)=f(x2),得 f(x)在 R 上不单调.若 f(x)在 R 上单调,只能单调递增,此时 解得 a4,故函数不单调时实数 a 的取值范围是 a 0, - 1 + a 2a - 5, 结论三 抽象函数的 周期性与单调性 跟踪集训 8.答案 1 解析 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为f(x+2
19、)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2), 所以 f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以 f(x+8)=f(x),即函数 f(x)的周期为 8,故 f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1. 9.答案 3 解析 因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x), 又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x), 则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 10.答案 4 解析 因为函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以 f(x)是 R 上的奇函数.因为 f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4)=-f(x
20、+2)=f(x),故 f(x)的周期为 4.所以 f(2017)=f(5044+1)=f(1)=4,又因为 f(2016)+f(2018)=-f(2014)+f(2014+4)=-f(2014)+f(2014)=0,所以 f(2016)+f(2017)+f(2018)=4. 结论四 函数零点 跟踪集训 11.答案 (1,+) 解析 画出函数 y=f(x),y=m 的图象如图,由图象可得当 m1 时,函数 y=f(x)-m 有两个不同的零点. 12.答案 - 6, 1 4 解析 令 3x=t,t,则函数 f(x)=3x-32x-m 在-1,1上有零点m=-t2+t,t,则 m. 1 3,3 1
21、3,3 - 6, 1 4 13.答案 -5,-2-2)2 解析 曲线 f(x)在点(0,1)处的切线方程为 y=x+1,该切线与 f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与 f(x)=(1-x)(a+x),x2 有两个不同交点,即关于 x 的方程 x+1=(1-x)(a+x),x2,+)有两个不等根,整 理得 x2+ax+1-a=0,x2,+)有两个不等根,所以 = a2- 4(1 - a) 0, - a 2 2, 4 + 2a + 1 - a 0, 解得-5a0,则 tanB=2k,tanC=3k,由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得 6k=6k3,k=1,则 tan
22、A=1,则 A= ,cosA=. 4 2 2 18.解析 (1)由 a=2bsinA 得 sinA=2sinBsinA,因为 sinA0,所以 sinB= ,又 B 是锐角,则 B= . 1 2 6 (2)cosA+sinC=cosA+sin(A+B)=cosA+sin=sinA+ cosA=sin,又由ABC 为锐角三角(A + 6) 3 2 3 2 3 (A + 3) 形得则 2,则圆 A13 和圆 B 相外离,所以两圆有 4 条公切线,即直线 l 有 4 条. 32.答案 1,5 解析 由题意可得过点 A 作圆 M 的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于 60,连接 CM,则 CM 与一
23、条 切线的夹角大于等于 30,又圆 M 的半径为 2, 设 A(x,6-x), 则 MA=4,(x - 1)2+ (5 - x)2 解得 1x5. 33.答案 - 85 5 6 解析 设圆 O1:(x-a1)+(y-b1)2=,圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=.两式相减得 2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+-b21b22a21a22 =0(1),由 O1,O2,O 共线可得 = =k,则 b1=ka1,b2=ka2,代入(1)化简得 2x+2ky-(a1+a2)=0(2).两圆方程相加 b1 a1 b2 a2 得 2x2+2y2-2(a1+a2)x-2(b1+b2)y+=0(3
24、),又因为 a1a2=6,所以(3)可变为 2x2+2y2-2(a1+a2)x-a21a22 2(b1+b2)y+(a1+a2)2-12=0(4),(2)代入(4)可得 x2+y2=6,即为点 P 的轨迹方程.圆心(0,0)到直线 l:2x-y- 8=0 的距离为,所以点 P 到直线的距离的最小值为-=-. 8 5 8 5 6 85 5 6 结论十二 圆锥曲线 跟踪集训 34.答案 5 3 解析 设椭圆的长,短半轴分别为 a1,b1,双曲线的实,虚半轴分别为 a2,b2,因为点 P 是椭圆与双曲线的一 个交点,则由焦点三角形的面积得tan45=,=,又由 e2=3e1得 = ,a2= a1,-
25、c2=c2-,-b21 b22 tan45 b21b22 c a2 3c a1 1 3 a21a22a21 c2=c2-,=2c2,则 e1= =. 1 9a 2 1 10 9a 2 1 c a1 5 3 35.答案 1 解析 设 P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则 k1k2=- =-=-1+ =- ,所以 y0- y1 x0- x1 y0+ y1 x0+ x1 y20- y21 x20- x21 b2 a2 a2- c2 a2 3 4 1 4 |k1|+|k2|2=1,当且仅当|k1|=|k2|= 时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为 1. |k1k2| 1
26、2 36.答案 9 4 解析 由已知得焦点坐标为 F,( 3 4,0) 因此直线 AB 的方程为 y=,即 4x-4y-3=0. 3 3(x - 3 4) 3 解法一:与抛物线方程联立,消去 x 得 4y2-12y-9=0,3 则 yA+yB=3,yAyB=- ,3 9 4 故|yA-yB|=6.(yA+ yB)2- 4yAyB 因此 SOAB= |OF|yA-yB|= 6= . 1 2 1 2 3 4 9 4 解法二:与抛物线方程联立,消去 y 得 x2- x+ =0,故 xA+xB= .根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p= + =12, 21 2 9 16 21 2 21 2 3 2 又原点到直线 AB 的距离 d= , | - 3| 42+ ( - 4 3) 2 3 8 因此 SOAB= |AB|d= . 1 2 9 4 解法三:|AB|=12, 2p sin2 3 sin230 原点到直线 AB 的距离 d=|OF|sin30= , 3 8 SOAB= |AB|d= 12 = . 1 2 1 2 3 8 9 4