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1、第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用 1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的 和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线 的叫仰角,目标视线在水平视线 的叫俯角,如图 3-24-1(a)所示. (a) (b) (c) (d) 图 3-24-1 2.方位角:指从 顺时针转到目标方向线的水平角,如图 3-24-1(b)中B点的方位角 为. 3.方向角:相对于某正方向的 ,如北偏东,即由正北方向顺时针旋转到达目标 方向(如图 3-24-1(c),其他方向角类似. 4.坡角:坡面与 所成的二面角的度数(如图 3-24-1(d)所示,坡角为). 坡比:坡面的铅直高
2、度与 之比(如图 3-24-1(d)所示,i为坡比). 题组一 常识题 1. 教材改编 海上有A,B,C三个小岛,A,B相距 5海里,从A岛望C和B成 45视角,从3 B岛望C和A成 75视角,则B,C两岛间的距离是 海里. 2. 教材改编 某人向正东方向走了x km 后,向右转 150,然后沿新方向走了 3 km,结果他离 出发点恰好 km,那么x的值为 . 3 3. 教材改编 如图3-24-2所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C 处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则tan 等 于 . 图 3-24-2 图 3-24-
3、3 4. 教材改编 如图 3-24-3 所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内 的两个观测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为, 则塔高AB= . 题组二 常错题 索引:仰角、 俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三 角形问题. 5.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是 60,C点的俯角是 70,则 BAC= . 图 3-24-4 6.如图3-24-4所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40 的方向,灯塔B在观察站南偏东 60的方向,则灯塔A相对于灯塔B的方向
4、角是 . 7.已知点A在点B南偏西 20的方向,若以点B为基点,则点A的方位角是 . 8.某起重装置的示意图如图 3-24-5 所示,已知支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,19 则起吊的货物与岸的距离AD为 m. 图 3-24-5 探究点一 测量距离问题 例1 2018南京师大附中月考 如图3-24-6所示,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B 的正北方向 6 千米处,C在B的正东方向 6千米处.3 (1)若警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时CBP=45,求P,B两点间的距离. (2)若警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速
5、度为3 千米/时,乙的速度为6千米/时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲 到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离最大为9千米,试求两人通过对讲机能保持联系 的总时长. 图 3-24-6 总结反思 求距离即是求一条线段的长度,把该线段看作某个三角形的边,根据已知条件求 出该三角形的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度. 变式题 2018青岛二模 如图 3-24-7 所示,A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧河 岸边选定一点C,测出A,C两点的距离为 50 m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点间的距 离为( ) 图 3-24-7 A.50 m
6、2 B.50 m3 C.25 m2 D. m 252 2 探究点二 测量高度问题 例 2 2018衡水中学月考 如图 3-24-8 所示,在山顶有一座信号塔CD(CD所在的直线与地 平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为,沿倾斜角为的山坡向上前进l米后到达B 处,测得C的仰角为. 图 3-24-8 (1)求BC的长; (2)若l=24,=45,=75,=30,求信号塔CD的高度. 总结反思 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的, 基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理 或其他相关知识求出该高度. 变式题 如图 3-2
7、4-9 所示,为了测量一棵树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测 得树尖的仰角为 30,45,且A,B两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( ) 图 3-24-9 A.(30+30) m3 B.(30+15) m3 C.(15+30) m3 D.(15+3) m3 探究点三 测量角度问题 例3 如图3-24-10所示,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,某舰艇在A处获悉后,立即 测出该渔船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 40,距离为 15 海里 的C处,并测得渔船正沿方位角为 100的方向,以 15 海里/时的速度航行,该舰艇立即以 15 海里/时的速度
8、沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在B处相遇,求舰艇与渔船相遇所需3 的时间和舰艇的航向. 图 3-24-10 总结反思 测量 “角度” 即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条 件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得. 变式题 如图3-24-11所示,在坡角为的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C 对于山坡的斜度为 15,向山顶前进 10 米后到达点B,又从点B测得C对于山坡的斜度为, 建筑物的高CD为 5 米. 图 3-24-11 (1)若=30,求AC的长; (2)若=45,求此山坡的坡角的余弦值. 第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应
9、用 考试说明 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题. 【课前双基巩固】 知识聚焦 1.水平视线 上方 下方 2.正北方向 3.水平角 4.水平面 水平长度 对点演练 1.5 解析 由题可知ACB=60,由正弦定理得=,即=,得2 AB sinACB BC sinBAC 53 sin60 BC sin45 BC=5.2 2.2或 解析 如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得=,sin A=33 AC sin30 BC sinA 3 1 2 3 ,A=60或A=120.当A=60时,AB=2;当A=120时,AB=. 3 2 33 3. 解析 由题意可得,
10、在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=. 231 5 由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即 3.52=1.42+2.82- 21.42.8cos(-),解得 cos =,所以 sin =, 5 16 231 16 所以 tan =. sin cos 231 5 4. 解析 在BCD中,CBD=-.由正弦定理得=,所以 stansin sin( + ) BC sinBDC CD sinCBD BC=.在 RtABC中,AB=BCtanACB=. CDsinBDC sinCBD ssin sin( + ) stansin sin(
11、 + ) 5.130 解析 60+70=130. 6.南偏西 80 解析 由条件及图可知,A=ABC=40,又BCD=60,所以CBD=30, 所以DBA=10,因此灯塔A在灯塔B南偏西 80的方向. 7.200 解析 根据方位角的概念可得. 8. 解析 在ABC中,cosABC=,所以 sinABC=,所以在 153 2 102+ (5 19) 2 - 152 2 10 519 7 219 33 219 ABD中,AD=ABsinABC=5=(m).19 33 219 153 2 【课堂考点探究】 例 1 思路点拨 (1)先求出APB,再由正弦定理可得BP;(2)设甲、乙之间的距离为f(t)
12、, 若两人通过对讲机能保持联系,则需要f(t)9,然后分 0t1 和 1t4 两种情况讨论,分 别求得对应的时长,再求和即得到结论. 解:(1)在ABC中,AB=6,BC=6,ABBC,所以A=60,C=30,又CBP=45,所以3 APB=75, 由正弦定理得,=, AB sinAPB BP sinA 即BP=9-3, 6 3 2 2 + 6 4 123 6 + 2 12 3( 6 - 2) 4 26 故PB的距离是(9-3)千米.26 (2)由题知,AC=12 千米,则甲从C到A需要 4 小时,乙从A到B需要 1 小时. 设甲、乙之间的距离为f(t),若两人通过对讲机能保持联系,则需要f(
13、t)9. 当 0t1 时, f(t)=3,由f(t)9,(6t)2+ (12 - 3t)2- 26t(12 - 3t)cos607t2- 16t + 16 得 7t2-16t+70,解得t,又t0,1, 8 -15 7 8 +15 7 所以t1,此时通过对讲机保持联系的时长为 1-=(小时). 8 -15 7 8 -15 7 15 - 1 7 当 1t4 时, f(t)=3,由f(t)9, 36 + (12 - 3t)2- 2 6 (12 - 3t)cos60t2- 6t + 12 得t2-6t+30,解得 3-t3+,又t(1,4,66 所以 1t4,此时通过对讲机保持联系的时长为 3 小时
14、. 综上,两人通过对讲机能保持联系的总时长为 3+=(小时). 15 - 1 7 15 + 20 7 变式题 A 解析 在ABC中,AC=50 m,ACB=45,CAB=105,所以ABC=30, 则由正弦定理=, AB sinACB AC sinABC 得AB=50(m).故选 A. ACsinACB sinABC 50 2 2 1 2 2 例 2 思路点拨 (1)在ABC中,由正弦定理可得BC;(2)结合(1),在BDC中,利用正弦定 理化简求解即可. 解:(1)在ABC中,AB=l,CAB=-,ABC=180-(-),ACB=-.由正弦定理 =,得BC=l. BC sinCAB AB s
15、inACB sin( - ) sin( - ) (2)由(1)及条件知,BC=l=24=12.因为BCD=90-=15, sin( - ) sin( - ) sin15 sin30 ( 6 - 2) CBD=-=45,所以BDC=120. 由正弦定理得CD=BC=24-8. sin45 sin120 3 变式题 A 解析 设树高为x m,则BP=x m.2 在ABP中,AB=60,BP=x,A=30,APB=15,2 由正弦定理=,得=, AB sin15 BP sin30 60 sin15 2x sin30 解得x=30+30.故选 A.3 例3 思路点拨 设所需时间为t小时,利用余弦定理列
16、出含有t的方程,再解方程得到t的 值,然后求出CAB的值,即可求得舰艇航行的方位角. 解:设所需时间为t小时, 则AB=15t,CB=15t.由题可知,ACB=120.3 在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB, 可得(15t)2=152+(15t)2-21515tcos 120,3 整理得 2t2-t-1=0, 解得t=1 或t=-(舍去), 1 2 即舰艇与渔船相遇需要 1 小时. 在ABC中,AB=15,BC=15,AC=15,ACB=120,3 所以CAB=30,所以舰艇航行的方位角为 70. 变式题 解:(1)当=30时,ABC=150,ACB=BA
17、C=15, 所以BC=AB=10,由余弦定理得AC2=102+102-21010cos 150=200+100,3 故AC=5+5.62 (2)当=45时,ACB=30,在ABC中,由正弦定理得BC=20=5(- ABsinBAC sinACB 6 - 2 4 6 ).2 在BCD中,由正弦定理得 sinBDC=-1, BCsinDBC CD 5( 6 - 2) 2 2 5 3 所以 cos =cos(ADC-90)=sinADC=-1.3 【备选理由】 例 1 是距离问题,体现了正、余弦定理在解三角形方面的实际应用,考查学生 综合运用知识解决实际问题的能力;例 2 是角度问题. 例 1 配合
18、例 1 使用 如图所示,某小区准备将一块闲置的直角三角形地开发成公共绿地, 图 中AB=a,B=,BC=a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN,且两 2 3 边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN).现考虑方便和绿地最大化原则,要求 点M与点A,B均不重合,A落在边BC上且不与端点B,C重合,设AMN=. (1)若=,求此时公共绿地的面积; 3 (2)为方便小区居民的行走,设计时要求AN,AN的长度最短,求此时绿地公共走道MN的长度. 解:(1)设公共绿地的面积为S,由图得BMA=-2=,BM= AM= AM, 3 1 2 1 2 又BM+AM=AB=a, A
19、M=a,AM= a. 3 2 2 3 又AB=a,BC=a,B=,A=,AMN为等边三角形,MN=AM= a,3 2 3 2 3 S=2SAMN=2 AMMNsin= a2=a2. 1 2 3 4 9 3 2 23 9 (2)由题知AM+AMcos(-2)=AB=a且AM=AM, AM=AM=. a 1 + cos( - 2) a 1 - cos2 a 2sin2 在AMN中,由正弦定理可得=, AN sin AM sin( - 3 - ) AN=, AMsin sin( 2 3 - ) a 2sinsin( 2 3 - ) 记t=2sin sin,则t=2sin sincos -cossin
20、 =sin cos ( 2 3 - ) 2 3 2 3 3 +sin2=sin 2-cos 2+ =sin+, 3 2 1 2 1 2 (2 - 6) 1 2 又,2-,( 4, 2) 6 ( 3, 5 6) 当 2- =,即=时,t取得最大值,此时AN取得最小值,则此时MN=AM= a. 6 2 3 2 3 例 2 配合例 3 使用 如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的B处 有一艘渔船遇险等待救援,甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30方向,相 距 10 海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,则 sin 的 值为( ) A. 21 7 B. 2 2 C. 3 2 D. 57 14 解析 D 由题意知,在三角形ABC中,AC=10,AB=20,CAB=120.由余弦定理可得BC= =10.又由正弦定理=,得=AC2+ AB2- 2ACABcosCAB7 AB sinACB BC sinCAB 20 sinACB ,即 sinACB=,又因为ACB(0,60),所以 cosACB=,故 sin =sin 107 sin120 21 7 27 7 =+ =.(ACB + 30) 21 7 3 2 27 7 1 2 57 14