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1、第 8 讲 指数与指数函数第 8 讲 指数与指数函数 1.根式 概念如果xn=a,那么x叫作a的 ,其中n1,nN* 当n是 时,a的n次方根为x= n a 当n是 时,正数a的n次方根为x=,负 n a 数的偶次方根 n次 方根性质 0 的任何次方根都是 0,记作=0 n 0 概念 式子叫作 ,其中n叫作 ,a叫作 n a 当n为奇数时,= n an 根式 性质 当n为偶数时,=|a|= n an 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 正数的正分数指数幂:=(a0,m,nN*,且n1).a m n n am 正数的负分数指数幂:= =(a0,m,nN*,且n1).a - m n 1 a m
2、n 1 n am 0 的正分数指数幂等于 ,0 的负分数指数幂 . (2)有理数指数幂的性质 aras= (a0,r,sQ); (ar)s= (a0,r,sQ); (ab)r= (a0,b0,rQ). 3.指数函数的图像与性质 y=ax(a0 且a1) a100时, ; 当x0 时, ; 当x0 且a1)的图像恒过定点(0,1+b). 2.指数函数y=ax(a0 且a1)的图像以x轴为渐近线. 题组一 常识题 1. 教材改编 若x+x-1=3,则x2-x-2= . 2. 教材改编 已知 2x-10 且a1)的图像恒过定点 . 4. 教材改编 下列所给函数中值域为(0,+)的是 . y=-5x;
3、y=;y=;y=.( 1 3) 1 - x ( 1 2) x - 11 - 2x 题组二 常错题 索引:忽略n的范围导致式子(aR)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指 n an 数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错. 5.计算+= . 3 (1 + 2) 3 4 (1 - 2) 4 6.若函数f(x)=(a2-3)ax为指数函数,则a= . 7.若函数f(x)=ax在-1,1上的最大值为 2,则a= . 8.函数y=的值域为 . 2 1 x - 1 探究点一 指数幂的化简与求值 例 1 (1)计算:-+(-2)6= . 8 2 3 (- 7 8)
4、0 4 (3 - )4 1 2 (2)已知+=,则的值为 . x 1 2 x - 1 2 5 x2+ x - 2 - 6 x + x - 1 - 5 总结反思 指数幂运算的一般原则: (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 变式题 (1)计算:2=( )x - 1 3(1 2x 1 3 + x 4 3) A.3 B.2 C.2+xD.1+2x (2)已
5、知a,b是方程x2-6x+4=0 的两根,且ab0,则= . a - b a + b 探究点二 指数函数的图像及应用 例 2 (1)函数y=(a1)的图像大致是( ) xax |x| A B C D 图 2-8-1 (2) 2018辽阳一模 设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足 |2 x - 1|,x 2, - x + 5,x 2, f(a)=f(b)=f(c),则 2a+2b+2c的取值范围是( ) A.(16,32)B.(18,34) C.(17,35)D.(6,7) 总结反思 (1)研究指数函数y=ax(a0,a1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1), .(- 1,
6、 1 a) (2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称 变换得到其图像. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解. 变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(ab)的图像如图 2-8-2 所示,则函数g(x)=ax+b的图 像大致是( ) 图 2-8-2 A B C D 图 2-8-3 (2)函数f(x)=|ax+b|(a0,a1,bR)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是 . 图 2-8-4 探究点三 利用指数函数的性质解决有关问题 微点 1 比较指数式的大小 例 3 (1) 201
7、8凯里一中二模 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.c(1-a)b) 1 b B.(1-a)b(1-a) b 2 C.(1+a)a(1+b)b D.(1-a)a(1-b)b 总结反思 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式, 并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量 比较. 微点 2 解简单的指数方程或不等式 例 4 (1)已知函数f(x)=a+的图像过点 1,-,若-f(x)0,则实数x的取值范围 1 4x+ 1 3 10 1 6 是 . (2)方程 4x
8、+|1-2x|=11 的解为 . 总结反思 (1)af(x)=ag(x)f(x)=g(x).(2)af(x)ag(x),当a1时,等价于f(x)g(x);当0bc B.acb C.cab D.bca 2.【微点1】 2018河南八市联考 设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1且a2)在区间 (0,+)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是( )( 1 a) 0.1 A.M=NB.MN C.MN 3.【微点 2】当x(-,-1时,不等式(m2-m)4x-2x0 且a1)有两个不等实根,则a的取值范围是 ( ) A.(0,1)(1,+) B.(0,1) C.(1,+)
9、 D.(0, 1 2) 5.【微点 3】已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a0,a1)的图像经过点 A(1,6),B(3,24).若不等式+-m0,x(-,1恒成立,则实数m的取值范围( 1 a) x ( 1 b) x 为 . 第 8 讲 指数与指数函数 考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底 数为 2,3,10, , 的指数函数的图像. 1 2 1 3 (3)知道指数函数是一类重要的函数模型. 【课前双基巩固】
10、 知识聚焦 1.n次方根 奇数 偶数 没有意义 根式 根指数 被开方数 a a(a 0), - a(a 1 01 增函数 减函数 对点演练 1.3 解析 把x+x-1=3 两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-5 1= ,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=3.55 2.(-,2) 解析 根据指数函数性质,得x-1 0, a 1, 7.2 或 解析 若a1,则f(x)max=f(1)=a=2;若 00 且y1 解析 函数的定义域为x|x1,因为0,所以y1,又指数函数 1 x - 1 y=2x的值域为(0,+),故所求函数的值域为y|
11、y0 且y1. 【课堂考点探究】 例 1 思路点拨 (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错 误;(2)由已知平方得x+x-1的值,再平方可得x2+x-2的值,最后代入求值. (1)+8 (2)- 解析 (1)-+(-2)6=-1+(-3)+ 1 2 8 2 3 (- 7 8) 0 4 (3 - )4 1 2 23 2 3 26 1 2 =22-1+-3+23=4+-4+8=+8. (2)由已知可得x+x-1=(+)2-2=3,x 1 2 x 1 2 则x2+x-2=(x+x-1)2-2=7, 故原式=- . 7 - 6 3 - 5 1 2 变式题 (1)D (2) 解
12、析 (1)原式=2 +2 =1+2x. 5 5 x 1 3 1 2x 1 3 x 1 3 x 4 3 (2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以= . ( a - b a + b) 2 a + b - 2ab a + b + 2ab 6 - 24 6 + 24 1 5 因为ab0,所以,所以=.ab a - b a + b 5 5 例2 思路点拨 (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图 像可知 2a+2b=2,再分析 2c的范围求解. (1)B (2)B 解析 (1)由题意得y= xax |x| ax,x 0, - ax,x 1,当x0 时,函数为增函数;当x
13、1,f=0,b1-=0.aa1 例3 思路点拨 (1)将a,b化为同底的指数式,利用指数函数y=2x的单调性比较a,b的大小, 再估算c,从而得a,b,c的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于 1 时单调递增, 当底数大于 0 小于 1 时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案. (1)A (2)D 解析 (1)因为a=0.5-2.1=22.120.51,所以ab1,又因为c=0.22.1bc,故选 A. (2)因为 0b,b, 1 b b 2 所以(1-a (1-a)b(1-b)b,所以(1-a)a(1-b)b,所以 D 正确.故选 D. 例4 思路点拨 (1)先确定a的值,
14、再结合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对 值,解相应的指数方程. (1)0x (2)x=log23 解析 (1)由题意知f(1)=a+=a+ =-,则a=- .因为- 1 2 1 4 + 1 1 5 3 10 1 2 1 6 f(x)0,所以-0,所以 ,所以 24x+13,所以 14x2,解得 0x 1 6 1 4x+ 1 1 2 1 3 1 4x+ 1 1 2 . 1 2 (2)当x0 时,1-2x0, 原方程即为 4x-2x-10=0,可得 2x= +,此时x0,故舍去. 1 2 41 2 当x0 时,1-2xg(x)的形式, 从而转化为考查函数g(x)的最小值问题. (1)
15、A (2)b2 解析 (1)函数f(x)为奇函数,则f(0)=a+ =0, b 2 函数图像过点,则f(ln 3)=a+ = .(ln3, 1 2) b 4 1 2 结合可得a=1,b=-2, 则f(x)=1-.因为 ex0,所以 ex+11,所以 0(2x)2+2x+1-1 在0,1内有解.设g(x)=(2x)2+2x+1-1,x0,1,而函数 y=2x,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以g(x)=(2x)2+2x+1-1 在0,1上单调递增,所以 g(x)min=g(0)=2,所以b2. 应用演练 1.A 解析 因为函数f(x)=0.4x在 R 上为减函数,所以 0.40.620=1,
16、所以 20.20.40.20.40.6,即abc. 故选 A. 2.D 解析 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1 且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性, 所 以a2,所以M=(a-1)0.21,N=N,故选 D.( 1 a) 0.1 3.A 解析 由题意知当x(-,-1时,m2-m0且a1)有两个不等实根可转化为函数y=|ax-1|与y=2a的 图像有两个不同交点. 当 01 时,两函数图像如图,而y=2a1,不符合题意. 故 00 且a1,解得a = 2, b = 3, 所以f(x)=32x. 要使+m,x(-,1恒成立,只需函数y=+在(-,1上的最小值不小于m即( 1 2
17、) x ( 1 3) x ( 1 2) x ( 1 3) x 可. 因为函数y=+在(-,1上为减函数,( 1 2) x ( 1 3) x 所以当x=1 时,y=+取得最小值 ,( 1 2) x ( 1 3) x 5 6 所以只需m 即可, 5 6 即m的取值范围为.(- , 5 6 【备选理由】 例1为指数幂的运算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例2为分段函数 与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例 3 为含参不等式,进一步熟 悉分离变量以及转化与化归思想;例 4 考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒 成立问题,要善于使用分离变量法求解. 例 1 配合例
18、1 使用 已知=2+,则的值为 . a 2 3 3 a + a - 1 a 1 3 + a 1 3 答案 3 解析 设=t,则t2=2+,则=t2+ -1=2+-1=3.a 1 3 3 a + a - 1 a 1 3 + a 1 3 t3+ 1 t3 t + 1 t 1 t2 3 1 2 +3 例 2 配合例 4 使用 2018河南林州一中调研 已知函数f(x)=则不等 2 x - 1,x 1, 1,x 1, 式f(x)0 在x(-,1时恒成立,则实数a的取值范围 是 . 答案 (- 3 4, + ) 解析 从已知不等式中分离出实数a,得a-. ( 1 4) x +( 1 2) x 函数y=和
19、y=在 R 上都是减函数,当x(-,1时, , ,( 1 4) x ( 1 2) x ( 1 4) x 1 4 ( 1 2) x 1 2 + =,从而得- .( 1 4) x ( 1 2) x 1 4 1 2 3 4 ( 1 4) x +( 1 2) x 3 4 故实数a的取值范围为a- . 3 4 例 4 配合例 5 使用 已知定义在 R 上的函数f(x)=2x- . 1 2x (1)若f(x)=,求x的值; 3 2 (2)若 2tf(2t)+mf(t)0 对任意t1,2恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)由f(x)=2x- =2(2x)2-32x-2=0(2x-2)(22x+1)=0.2x0,2x=2,x=1. 3 2 1 2x 3 2 (2)由 2tf(2t)+mf(t)02t+m0m(2t-2-t)-2t(22t-2-2t).(22t- 1 22t) (2 t - 1 2t) 又t1,2,2t-2-t0,m-2t(2t+2-t),即m-22t-1, 故只需m(-22t-1)max. 令y=-22t-1,t1,2,可得ymax=-22-1=-5, 故m-5.