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1、4.1 数学归纳法数学归纳法 预习案预习案 一、预习目标及范围一、预习目标及范围 1了解数学归纳法的原理及其使用范围 2会利用数学归纳法证明一些简单问题 二、预习要点二、预习要点 教材整理 数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用 以下两个步骤： (1)证明当 时命题成立； (2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立这种证 明方法称为数学归纳法 三、预习检测三、预习检测 1用数学归纳法证明 1aa2an1 (a1，nN*)，在验证 n1 时， 1an2 1a 等
2、式左边的项是( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 2 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时， 第一步检验 n 等于( ) 1 2 A1 B2 C3 D0 3已知 f(n) ，则( ) 1 n 1 n1 1 n2 1 n2 Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2) 1 2 1 3 Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2) 1 2 1 3 1 4 Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2) 1 2 1 3 Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2) 1 2 1 3 1 4 探究案探究案 一、合作探究一、合作探究 题型一、用数
3、学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明： 1 . 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 【精彩点拨】 要证等式的左边共 2n 项，右边共 n 项，f(k)与 f(k1)相比左边增二项， 右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并 再练一题 1用数学归纳法证明： 12223242(2n1)2(2n)2n(2n1) 题型二、用数学归纳法证明整除问题 例 2 用数学归纳法证明：(3n1)7n1 能被 9 整除(nN) 【精彩点拨】 先验证 n1 时命题成立， 然后再利用归纳假设证明， 关键是找清 f(k1) 与 f(k)
4、的关系并设法配凑 再练一题2求证：n3(n1)3(n2)3能被 9 整除. 题型三、证明几何命题 例 3 平面内有 n(n2，nN)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那 么这 n 条直线的交点个数 f(n)是多少？并证明你的结论 【精彩点拨】 (1)从特殊入手，求 f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论 f(n)；(2)利用数 学归纳法证明 再练一题 3在本例中，探究这 n 条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明 题型四、数学归纳法的概念 例 4 用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证 n1 成 1an2 1a 立时，左边计算的结果是( ) A
5、1来源:学&科&网 Z&X&X&K B1a来源:学科网 C1aa2 D1aa2a3 【精彩点拨】 注意左端特征，共有 n2 项，首项为 1，最后一项为 an1. 再练一题 4当 f(k)1 ，则 f(k1)f(k)_. 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 二、随堂检测二、随堂检测 1 用数学归纳法证明 ： 123(2n1)(n1)(2n1)时， 在验证 n1 成立时， 左边所得的代数式为( ) A1 B13 C123 D.1234 2某个与正整数 n 有关的命题，如果当 nk(kN且 k1)时命题成立，则一定可推得 当 nk1 时，该命题也成立现已知 n5 时，该命题不成立，那么应有
6、( ) A当 n4 时，该命题成立 B当 n6 时，该命题成立 C当 n4 时，该命题不成立 D当 n6 时，该命题不成立 3用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nk 到 nk1”左端需乘以的代数式为( ) A2k1 B2(2k1) C. D. 2k1 k1 2k3 k1 参考答案参考答案 预习检测： 1.答案 C 2.答案 C 解析 凸 n 边形边数最小时是三角形， 故第一步检验 n3. 3.答案 D 随堂检测：来源:学科网 ZXXK 1.【解析】 当 n1 时左边所得的代数式为 123. 【答案】 C 2.【解析】 若 n4 时命题成立，由递推关系知 n5 时命题成立，与题中条件矛盾， 所以 n4 时，该命题不成立 【答案】 C 3.【解析】 当 nk 时，等式为(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)来源:学科网 ZXXK 当 nk1 时，左边(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k 3)(kk)(2k1)(2k2) 比较 nk 和 nk1 时等式的左边，可知左端需乘以2(2k1)故 (21)(22) 1 kk k 选 B. 【答案】 B来源:Z,xx,k.Com