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1、2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 【选题明细表】 知识点、方法题号 线面垂直性质的理解3,4,10 面面垂直性质的理解1,2 线面垂直性质的应用4,6 面面垂直性质的应用5,7,8,9,11,12 1.已知两个平面垂直,下列说法:一个平面内的已知直线必垂直于 另一个平面内的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于 另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另 一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直 于另一个平面.其中正确说法个数是( C ) (A)3(B)2(C)1(D)0 解析:如图在正方体 ABCD A1B1C1D1中,对
2、于AD1平面 AA1D1D,BD平 面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60,错误;正确.对于,AD1 平面 AA1D1D,AD1不垂直于平面 ABCD;对于,如果这点为交线上的点, 可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,错误.故选 C. 2.(2018陕西西安一中月考)在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD平面 BCD,且 DA平面 ABC,则ABC 是( A ) (A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)等边三角形(D)等腰直角三角形 解析:过点 A 作 AHBD 于点 H,由平面 ABD平面 BCD,得 AH平面 BCD, 则AHBC.又DA平面ABC,所以BCAD,所以BC平面A
3、BD,所以BC AB,即ABC 为直角三角形.故选 A. 3.如果直线 l,m 与平面,之间满足:l=,l,m和 m ,那么( A ) (A)且 lm (B)且 m (C)m且 lm (D)且 解析:由m,m得,由l=,得l,所以ml.故选A. 4.已知 m,n 是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确 的是( D ) (A)若,垂直于同一平面,则与平行 (B)若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线 (D)若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 解析:若,垂直于同一个平面,则,可以都过的同一条垂线, 即,可以相交,故
4、 A 错;若 m,n 平行于同一个平面,则 m 与 n 可能平 行,也可能相交,还可能异面,故 B 错;若,不平行,则,相交, 设 =l,在内存在直线 a,使 al,则 a,故 C 错;从原命题的 逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定 理知 mn,故 D 正确. 5.(2018沈阳检测)如图,平行四边形 ABCD 中,ABBD.沿 BD 将ABD 折起,使平面 ABD平面 BCD,连接 AC,则在四面体 ABCD 的四个面所在 平面中,互相垂直的平面的对数为( C ) (A)1(B)2(C)3(D)4 解析:因为平面 ABD平面 BCD,又 ABBD, 所以 AB平面
5、 BCD,AB平面 ABC, 所以平面 ABC平面 BCD. 同理,平面 ACD平面 ABD. 故四面体 ABCD 中互相垂直的平面有 3 对.故选 C. 6.(2018河北邢台调研)设,是两个不同的平面,l 是一条直线, 给出四个命题: 若l,则l;若l,则l;若l, ,则 l;若 l,则 l. 则正确命题的个数为 . 解析:错,可能有l;错,可能有l;正确;错,也可能有l ,或 l或 l 与相交. 答案:1 7.如图所示,三棱锥 P ABC 的底面在平面上,且 ACPC,平面 PAC 平面 PBC,P,A,B 是定点,则动点 C 运动形成的图形是 . 解析:因为平面 PAC平面 PBC,
6、ACPC,AC平面 PAC,平面 PAC平面 PBC=PC. 所以 AC平面 PBC. 又 BC平面 PBC,所以 ACBC,所以ACB=90. 所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆(除去 A,B 两点). 答案:以 AB 为直径的圆(除去 A,B 两点) 8.(2018江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,已知平 面 AA1C1C平面 ABCD,且 AB=BC=CA=,AD=CD=1. (1)求证:BDAA1; (2)若 E 为棱 BC 的中点,求证:AE平面 DCC1D1. 证明:(1)在四边形 ABCD 中, 因为 AB=BC,AD=DC, 所以 B
7、DAC, 又平面 AA1C1C平面 ABCD,且平面 AA1C1C平面 ABCD=AC, BD平面 ABCD,所以 BD平面 AA1C1C, 又因为 AA1平面 AA1C1C,所以 BDAA1. (2)在三角形 ABC 中,因为 AB=AC,且 E 为棱 BC 的中点,所以 AEBC, 又因为在四边形 ABCD 中,AB=BC=CA=,AD=CD=1. 所以ACB=60,ACD=30, 所以 DCBC,所以 AECD. 因为 CD平面 DCC1D1,AE平面 DCC1D1, 故得 AE平面 DCC1D1. 9.(2018甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上 的高AD为折痕,
8、把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生 得出下列四个结论:BDAC;BAC 是等边三角形;三棱锥 D ABC 是正三棱锥;平面 ADC平面 ABC.其中正确的是( B ) (A)(B) (C)(D) 解析:设等腰直角ABC 的腰长为 a, 则斜边 BC=a, 因为 D 为 BC 的中点,所以 ADBC, 又平面 ABD平面 ACD,平面 ABD平面 ACD=AD,BDAD,BD平面 ABD, 所以 BD平面 ADC,又 AC平面 ADC, 所以 BDAC,故正确; 由 A 知,BD平面 ADC,CD平面 ADC, 所以 BDCD,又 BD=CD=a, 所以由勾股定理得 BC=a=a,
9、 又 AB=AC=a,所以ABC 是等边三角形,故正确; 因为ABC 是等边三角形,DA=DB=DC, 所以三棱锥 D ABC 是正三棱锥,故正确. 因为ADC 为等腰直角三角形,取斜边 AC 的中点 F,则 DFAC,又 ABC 为等边三角形,连接 BF, 则 BFAC, 所以BFD 为平面 ADC 与平面 ABC 的二面角的平面角, 由 BD平面 ADC 可知,BDF 为直角,BFD 不是直角,故平面 ADC 与 平面 ABC 不垂直,故错误.综上所述,正确的结论是.故选 B. 10.(2018宿州市高二期中)设 m,n 为空间的两条直线,为空间 的两个平面,给出下列命题: 若 m,m,则
10、 ;若 m,m,则; 若 m,n,则 mn;若 m,n,则 mn. 上述命题中,其中假命题的序号是 . 解析:若 m,m,则与相交或平行都可能,故不正确; 若 m,m,则,故正确; 若 m,n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故不正确; 若 m,n,由线面垂直的性质定理知 mn,故正确. 答案: 11.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,ADBC, BAD= ,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A1BE 的位置,得到四棱锥 A1BCDE. (1)证明:CD平面 A1OC; (2)当平面 A1BE平面 BCDE 时
11、,四棱锥 A1BCDE 的体积为 36,求 a 的值. (1)证明:在题图 1 中, 因为 AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点, BAD= ,ADBC,所以 BEAC,BECD, 即在题图 2 中,BEA1O,BEOC, 且 OA1OC=O, 从而 BE平面 A1OC,又 CDBE,所以 CD平面 A1OC. (2)解:由已知,平面 A1BE平面 BCDE, 且平面 A1BE平面 BCDE=BE, 又由(1)知 A1OBE,所以 A1O平面 BCDE, 即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高. 由题图 1 知,A1O=AB=a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BCAB=a2. 从
12、而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V= SA1O= a2a=a3,由 a3=36得 a=6. 12.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是DAB=60且边长为 a 的 菱形,侧面 PAD 为等边三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证:ADPB; (2)若 E 为 BC 的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF平面 ABCD?并证明你的结论. (1)证明:设 G 为 AD 的中点,连接 PG,BG. 因为PAD 为等边三角形, 所以 PGAD. 在菱形 ABCD 中,DAB=60,G 为 AD 的中点,所以 BGAD. 又 BGPG=G,所以 AD平面 PGB. 因为 PB平面 PGB, 所以 ADPB. (2)解:当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF平面 ABCD. 证明:取 PC 的中点 F,连接 DE,EF,DF. 则 EFPB,所以可得 EF平面 PGB. 在菱形 ABCD 中,GBDE, 所以可得 DE平面 PGB. 而 EF平面 DEF,DE平面 DEF,EFDE=E, 所以平面 DEF平面 PGB. 由(1)得 PG平面 ABCD,而 PG平面 PGB, 所以平面 PGB平面 ABCD, 所以平面 DEF平面 ABCD.