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1、2.1.3 函数的单调性2.1.3 函数的单调性 【选题明细表】 知识点、方法题号 判断或证明函数单调性1,2,6,7,10,12 求函数的单调区间3,11 函数单调性的应用4,5,8,9 1.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 a,b,总有0 成立,则 f(x)必定 是( C ) (A)先增后减的函数(B)先减后增的函数 (C)在 R 上的增函数(D)在 R 上的减函数 解析:因为对任意两个不等实数 a,b,总有0, 所以当x=a-b0 时,y=f(a)-f(b)0,当x=a-b0,欲使f(x)=-x2+2ax在1,2上是减函数, 则需 a1, 综上,a 的取值范围是(0,1
2、. 答案:(0,1 6.(2018北京西城 13 中期中)若函数 y=|2x+c|是区间(-,1上的单调函数,则实数 c 的取 值范围是 . 解析:由函数 y=|2x+c|= 即函数 y=|2x+c|在(-,- 上单调递减,在- ,+)上单调递增. 所以- 1,解得 c-2. 答案:(-,-2 7.设 f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题,其中正确的命题是( C ) 若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;若f(x)单调递增,g(x)单调递减, 则f(x)-g(x)单调递增;若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;若f(x) 单
3、调递减,g(x)单调递减,则 f(x)-g(x)单调递减. (A) (B) (C) (D) 解析:若函数 f(x),g(x)单调性相同,则函数 f(x)-g(x)的单调性不确定,故不正确.由- g(x)与 g(x)的单调性相反知正确.故选 C. 8.已知 f(x)在(-,+)内是减函数,a,bR,且 a+b0,则有( D ) (A)f(a)+f(b)-f(a)-f(b) (B)f(a)+f(b)-f(a)-f(b) (C)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) (D)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) 解析:由 a+b0 可得,a-b,b-a. 因为 f(x)在(-,+)上是减函数,
4、所以 f(a)f(-b),f(b)f(-a). 所以 f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). 故选 D. 9.(2018河北枣强中学期末)已知函数 f(x)=若 f(2-a2)0,解得a1.故实数a的取值范围是(-,-2) (1,+).选 D. 10.证明:函数 f(x)=-2x2+3x+3 在(-, 上是增函数. 证明:设 x1,x2是(-, 上的任意两个不相等的实数,且 x10, y=f(x2)-f(x1) =(-2+3x2+3)-(-2+3x1+3) =2-2+3x2-3x1 =2(x1+x2)(x1-x2)-3(x1-x2) =2(x1+x2)-3(x1-x2). 因为 x10, 所以函数 f(x)=-2x2+3x+3 在(-, 上是增函数. 11.作出函数 f(x)=的图象,并指出函数 f(x)的单调 区间. 解:f(x)=的图象如图所示. 由图可知, 函数 f(x)=的单调减区间为(-,1和(1,2),单调增区间为2,+). 12.(2018湖南师范大学附中检测)已知定义在(0,+)上的函数 f(x)满足:对任意正实数 a,b,都有 f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当 x1 时恒有 f(x)1,f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1)=f()+f(x1)-2-f(x1)=f()- 20,即 f(x2)f(x1),所以函数为减函数,故选 A.