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1、课时规范练 25 平面向量基本定理及向量的坐标表示课时规范练 25 平面向量基本定理及向量的坐标表示 一、基础巩固组 1 1.向量 a a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( ) A.e e1=(0,0),e e2=(1,2) B.e e1=(-1,2),e e2=(5,-2) C.e e1=(3,5),e e2=(6,10) D.e e1=(2,-3),e e2=(-2,3) 2 2.(2017 广东揭阳一模)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-7,-4),则向量=( ) A.(10,7)B.(10,5) C.(-4,-3)D.(-4,-1) 3 3.已知平面直角坐标系内的两个
2、向量 a a=(1,2),b b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c c 都可以唯一地表 示成 c c=a a+b b(,为实数),则实数m的取值范围是( ) A.(-,2)B.(2,+) C.(-,+)D.(-,2)(2,+) 4 4.已知平面向量 a a=(1,-2),b b=(2,m),且 a ab b,则 3a a+2b b=( ) A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8) 5 5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=+,则=( ),和 A.-3B.3C.-4D.4 6 6.在ABC中,点P在边BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1
3、,5),则等于 ( ) A.(-2,7)B.(-6,21) C.(2,-7)D.(6,-21) 7 7.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的 4 个不同点,则使=0 0 成立的点M的个数1+ 2+ 3+ 4 为( ) A.0B.1C.2D.4导学号 21500537 8 8.(2017 福建龙岩一模)已知平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且,则x的值 为 . 9 9.已知向量 a a,b b 满足|a a|=1,b b=(2,1),且a a+b b=0 0(R R),则|= . 1010.若平面向量 a a,b b 满足|a a+b b|=1,a a+b b 平行于x
4、轴,b b=(2,-1),则 a a=. 1111. 如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c c,=d d,则 = ,= .(用 c c,d d 表示) 1212.(2017 湖南模拟)给定两个长度为 1 的平面向量,它们的夹角为.如图所示,点C在以和 2 3 O为圆心的上运动.若=x+y,其中x,yR R,则x+y的最大值为 . 二、综合提升组 1313.(2017 河北武邑中学一模,理 7)在 RtABC中,A=90,点D是边BC上的动点,且|=3,| |=4,=+(0,0),则当取得最大值时,|的值为( ) A.B.3C.D. 7 2 5 2 12 5 14
5、14.在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若 =x+(1-x),则x的取值范围是( ) A.B. ( 0, 1 2) ( 0, 1 3) C.D. ( - 1 2 ,0 )( - 1 3 ,0 ) 1515.设O在ABC的内部,且有+2+3=0 0,则ABC的面积和AOC的面积之比为( ) A.3B.5 3 C.2D.导学号 21500538 3 2 1616.若 , 是一组基底,向量 =x+y(x,yR R),则称(x,y)为向量 在基底 , 下的坐标. 现已知向量 a a 在基底 p p=(1,-1),q q=(2,1)下的坐标为(-2,2)
6、,则向量 a a 在另一组基底 m m=(- 1,1),n n=(1,2)下的坐标为 . 三、创新应用组 1717.(2017 辽宁大连模拟)在ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a +b=0 0,则ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形,但不是等边三角形 1818.(2017 全国,理 12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 =+,则+的最大值为( ) A.3B.2 2 C.D.2导学号 21500539 5 课时规范练 2525 平面向量基本定理及向量的坐标表示
7、1 1.B 由题意知,A 选项中 e e1=0 0;C,D 选项中的两个向量均共线,都不符合基底条件,故选 B. 2 2.C 由点A(0,1),B(3,2),得=(3,1). 又由=(-7,-4),得=(-4,-3).故选 C. = + 3 3.D 由题意,得向量 a a,b b 不共线,则 2m3m-2,解得m2.故选 D. 4 4.B 因为 a ab b,所以m+4=0, 所以m=-4. 所以 b b=(2,-4). 所以 3a a+2b b=(7,-14). 5 5.A 设小正方形的边长为 1,建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0). 由题意,得(2,
8、-2)=(1,2)+(1,0),即解得所以=-3.故选 A. 2 = + , - 2 = 2, = - 1, = 3, 6 6.B 如图,=3=3(2)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21). 7 7.B 设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4), 则=(xi-x,yi-y). 由=0 0, 4 = 1MAi 得x1 + x2+ x3+ x4- 4x = 0, y1+ y2+ y3+ y4- 4y = 0, 即 x = 1 4 (x 1+ x2+ x3+ x4), y = 1 4 (y 1+ y2+ y3+ y4), 故点M只有 1 个. 8 8.1 由题意,得
9、=(3,6),=(x,2). A , 6x-6=0,解得x=1. 9 9 |b b|=. 522+ 12=5. 由a a+b b=0 0,得 b b=-a a, 故|b b|=|-a a|=|a a|, 所以|=| | = 5 1 = 5. 1010.(-1,1)或(-3,1) 由|a a+b b|=1,a a+b b 平行于x轴,得 a a+b b=(1,0)或 a a+b b=(-1,0),故 a a=(1,0)-(2,- 1)=(-1,1)或 a a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1). 1111 (2d d-c c) (2c c-d d) 设=a a,=b b2 3 2 3 因为
10、M,N分别为DC,BC的中点, 所以b b,a a. = 1 2 = 1 2 又 = + 1 2 , = + 1 2 , 所以 = 2 3(2 - ), = 2 3(2 - ), 即(2d d-c c),(2c c-d d). = 2 3 = 2 3 1212.2 以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则A(1,0),B(- 1 2, 3 2 ). 设AOC=,( 0, 2 3) 则C(cos ,sin ). 由=x+y, 得 cos = - 1 2 , sin = 3 2 , 所以 = cos + 3 3 sin, = 2 3 3 sin, 所以x+y=cos +s
11、in 3 =2sin( + 6). 又, 0, 2 3 所以当=时,x+y取得最大值 2. 3 1313.C 因为=+,而D,B,C三点共线,所以+=1, 所以, ( + 2 ) 2 = 1 4 当且仅当=时取等号,此时, 1 2 = 1 2 + 1 2 即D是线段BC的中点, 所以|=|=故选 C. 1 2| 5 2. 1414.D 依题意,设=,其中 1,则+() 4 3 = + = = =(1-)+ . 又=x+(1-x),且不共线, 所以x=1-, ( - 1 3 ,0 ) 即x的取值范围是故选 D. ( - 1 3 ,0 ). 1515.A 设AC,BC的中点分别为M,N,则+2+3
12、=0 0 可化为()+2()=0 0,即+2 + + =0 0,所以=-2. 所以M,O,N三点共线,即O为中位线MN的三等分点, 所以SAOC= SANC=SABC= SABC,所以=3. 2 3 2 3 1 2 1 3 1616.(0,2) 向量 a a 在基底 p p,q q 下的坐标为(-2,2), a a=-2p p+2q q=(2,4). 令 a a=xm m+yn n=(-x+y,x+2y), 所以解得 - + = 2, + 2 = 4, = 0, = 2, 故向量 a a 在基底 m m,n n 下的坐标为(0,2). 1717.A 如图,由c+a+b=0 0,得c()+a-b
13、=(a-c)+(c-b)=0 0为不共 . 与 线向量,a-c=c-b=0, a=b=c. 1818.A 建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=, | | = 2 1 5 = 2 5 5 即圆的方程是(x-2)2+y2=4 5. 易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0). 由=+, 得 = 2, - 1 = - , 所以=,=1-y, 2 所以+= x-y+1. 1 2 设z= x-y+1, 1 2 即x-y+1-z=0. 1 2 因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上, 4 5 所以圆心C到直线x-y+1-z=0 的距离dr, 1 2 即,解得 1z3, |2 - | 1 4 + 1 2 5 5 所以z的最大值是 3,即+的最大值是 3,故选 A.