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1、课时规范练 43 空间几何中的向量方法课时规范练 43 空间几何中的向量方法 一、基础巩固组 1 1.若平面,的法向量分别为 n n1=(2,-3,5),n n2=(-3,1,-4),则( ) A.B. C.,相交但不垂直D.以上均不正确 2 2.已知平面的一个法向量为 n n=(1,-,0),则y轴与平面所成的角的大小为( ) 3 A.B.C.D. 6 3 4 5 6 3 3.两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量 n n=(-1,0,1),则两 平面间的距离是( ) A.B.C.D.3 3 2 2 2 32 4 4.已知向量 m m,n n 分别是直线l和
2、平面的方向向量和法向量,若 cos=-,则l与所成的角 1 2 为( ) A.30B.60C.120D.150 5 5. 如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的 大小是( ) A.30B.45 C.60D.90 6 6.(2017 广东珠海质检)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是 2,则点D1到平面A1BD的距离是( ) A.B.C.D. 3 2 2 2 3 3 2 3 3 7 7. 如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与 平面PAC所成的角为 .导学号 2
3、1500564 8 8. 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:APBC; (2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC. 9 9. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点. (1)求证:B1C平面A1BD; (2)求点B1到平面A1BD的距离. 导学号 21500565 二、综合提升组 1010.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=
4、2, 则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( ) A.B. 1 5 2 5 5 C.D. 5 5 2 5 1111.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交 2 于点D,则平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为( ) A.-B.- 3 3 6 3 C.D. 3 3 6 3 1212.(2017 广东广州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1.则D1C1与平面A1BC1所成角的 正弦值为 . 1313. (2017 山东青岛模拟,理 17)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边
5、形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC= 2 AB,B1C1BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证: 1 2 (1)A1B1平面AA1C; (2)AB1平面A1C1C. 1414. 如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点. 2 (1)求证:ACSD. (2)若SD平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存 在,试说明理由. 三、创新应用组 1515. (2017 宁夏中卫二模,理 18)如图,已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,其中BE AF,ABAF,AB=BE= AF
6、=2,CBA= . 1 2 3 (1)求证:AFBC; (2)线段AB上是否存在一点G,使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为,若存在,求AG的 93 31 长;若不存在,说明理由. 导学号 21500566 1616. (2017 山西吕梁二模,理 18)在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD BC,ABAD,AB=AD= BC,BE= BC. 1 2 1 4 (1)求证:DE平面PAC; (2)若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值. 30 10 导学号 21500567 课时规范练 43 空间几何中的向量方法
7、1 1.C 因为 cos=0 且 cos1,所以,相交但不垂直. 1 2 | 1|2| = - 29 3826 2 2.B 可知y轴的方向向量为 m m=(0,1,0),设y轴与平面所成的角为, 则 sin =|cos|. cos= | = - 3 1 2 =-,sin =,= 3 2 3 2 3. 3 3.B 两平面的一个单位法向量 n n0=,故两平面间的距离 d d=|n n0|= ( - 2 2 ,0, 2 2 ) 2 2 . 4 4.A 因为 cos=-,所以l与所成角满足 sin =|cos|=,又,所以 1 2 1 2 0, 2 =30. 5 5.B (方法一)建立如图 1 所示
8、的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为 n n1=(0,1,0),n n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求的 | 1 2| | 1|2| = 2 2 二面角的大小是 45. (方法二)将其补成正方体.如图 2,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ所成的二面角,其大小为 45. 6 6.D 建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0), =(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为 n n=(x,y,z
9、), 111 则令x=1,则 n n=(1,-1,-1), 1= 2 + 2 = 0, = 2 + 2 = 0. 点D1到平面A1BD的距离是d= | 11| | = 2 3 = 2 3 3 . 7 7.30 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系. 设OD=SO=OA=OB=OC=a, 则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0, - 2, 2). 则=(2a,0,0),=(a,a,0). =(- , - 2, 2), 设平面PAC的法向量为 n n,可求得 n n=(0,1,1), 则 cos= | = 22 2 = 1 2. =60, 直线BC与平面PAC所成角为
10、90-60=30. 8 8.证明 (1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系. 则O(0,0,0),A(0,-3,0), B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4). 于是=(0,3,4), =(-8,0,0), =(0,3,4)(-8,0,0)=0, ,即APBC. (2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上, , = 3 5 =( 0, 9 5, 12 5) 又=(-4,-5,0), = + =(- 4, - 16 5 ,12 5) 则=(0,3,4)=0,即APBM,(- 4, - 16 5 ,12 5) 又根据(1)的结
11、论知APBC,AP平面BMC,于是AM平面BMC. 又AM平面AMC,故平面AMC平面BCM. 9 9.(1)证明 连接AB1交A1B于点E,连接DE. 可知E为AB1的中点,D是AC的中点,DEB1C. 又DE平面A1BD,B1C平面A1BD,B1C平面A1BD. (2)解 建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2 22 1 2 ,3),=(0,2,0),=(-1,0,3). 2 1 设平面A1BD的法向量为 n n=(x,y,z), = 0, 1= 0,即 2 2 = 0, - + 3 = 0, n n=(3,0,1). 故所求
12、距离为d= |1| | = 3 10 10 . 1010.C 以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由 AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F, ( 1 2,0,0) ( 1 2, 1 2 ,0 ) ( 0, 1 2 ,1 ) =(0,0,-2), =( 0, 1 2 ,0 ), =( - 1 2, 1 2 ,1 ). 设平面DEF的法向量为 n n=(x,y,z), 则由 = 0, = 0, 得 1 2 = 0, - 1 2 + 1 2 + = 0, 取z=1,则 n n
13、=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为, 则 sin =,PA与平面DEF所成角的正弦值为 | | = 5 5 5 5 . 1111.A 建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(,0,0),A(0,1,0),B1(,0,1),D 22 =(,0,0),=(-,1,0),=(0,0,1).设平面CBD和平面B1BD ( 2 2 ,1 2, 1 2), =( 2 2 ,1 2, 1 2), 2 2 1 的法向量分别为 n n1,n n2,可得 n n1= =(0,1,- -1),n n2=(1,0),所以 cos=,又平面 2 1 2 | 1|2| = 3 3 B1BD与平面
14、CBD所成的二面角的平面角与互补,故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余 弦值为- 3 3 . 1212 建立如图所示的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以.1 3 A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1). 所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0),设平面A1BC1的法向量为 n n=(x,y,z),则有11111 11 = 0, 1 = 0, 即 - + 2 = 0, - + = 0, 令x=2,则y=1,z=2,则 n n=(2,1,2). 又设D1C1与平面A1BC1所成的角为, 则 sin =|cos|=11
15、 | 11| | 11| = 2 2 3 = 1 3. 1313.证明 二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,AA1平面BAC. 又AB=AC,BC=AB, 2 CAB=90,即CAAB, AB,AC,AA1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2). (1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),111 设平面AA1C的一个法向量 n n=(x,y,z), 则1 = 0, = 0, 即 - 2 = 0, 2 = 0, 即 = 0 = 0.
16、 取y=1,则 n n=(0,1,0)=2n n,即n n.A1B1平面AA1C 1111 (2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的法向量 m m=(x1,y1,z1),1111 则11 = 0, 1 = 0, 即 1+ 1= 0, 21- 21= 0, 令x1=1,则y1=-1,z1=1,即 m m=(1,-1,1). m m=01+2(-1)+21=0,m m. 1 1 又AB1平面A1C1C,AB1平面A1C1C. 1414.(1)证明 连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,则ACBD, 由题意知SO平面ABCD. 以O为坐标原点,的方向分别
17、为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图., 设底面边长为a,则高SO=a,于是S,D,C 6 2 (0,0, 6 2 ) (- 2 2 ,0,0) , ( 0, 2 2 ,0), =( 0, 2 2 ,0), =(- 2 2 ,0, - 6 2 ) 则=0.故OCSD. 从而ACSD. (2)解 棱SC上存在一点E使BE平面PAC. 理由如下:由已知条件知是平面PAC的一个法向量,且0,-a, =( 2 2 ,0, 6 2 ), = ( 2 2 6 2 a ), =(- 2 2 , 2 2 ,0). 设=t,则+t, = + = =(- 2 2 , 2 2 (1 - ), 6 2
18、) 由=0,解得t= 1 3. 当SEEC=21 时, . 又BE平面PAC,故BE平面PAC. 1515.(1)证明 菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,ABAF, AF平面ABCD,BC平面ABCD,AFBC. (2)解 取AB的中点O,连接CO,则COAB, 平面ABCD平面ABEF, CO平面ABEF. 建立如图所示的空间直角坐标系,则D(-2,0,),F(-1,4,0),E(1,2,0), 3 =(1,4,-),=(-2,2,0), 3 设平面DEF的法向量为 n n=(x,y,z),则 = 0, = 0, 即 + 4 - 3 = 0, - 2 + 2 = 0, 取 n
19、 n=, (1,1, 5 3 3 ) 设G(,0,0),-1,1,则=(-1,4,0). 直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为, 93 31 , | - - 1 + 4| ( + 1)2+ 16 31 3 = 93 31 =-1-1,1, AG=0,直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为 93 31 . 1616.(1)证明 以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 不妨设AB=AD= BC=2,则D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C(2,4,0), 1 2 =(2,-1,0),=(2,4,0),=4-4+0=0,DEAC. PA平面
20、ABCD,DE平面ABCD,DEPA. PAAC=A,DE平面PAC. (2)解 设P(0,0,t)(t0),=(0,0,t),=(2,4,0),=(2,1,-t), 设平面PAC的法向量 n n=(x,y,z),则取x=2,得 n n=(2,-1,0), = = 0, = 2 + 4 = 0, 直线PE与平面PAC所成角的正弦值为, 30 10 ,解得t=1 或t=-1(舍), | | = 3 5 + 2 5 = 30 10 P(0,0,1),=(2,4,-1),=(0,2,-1), 设平面PCD的法向量 m m=(a,b,c), 则取b=1,得 m m=(-1,1,2), = 2 + 4 - = 0, = 2b - = 0, 设二面角A-PC-D的平面角为, 则 cos = | | = 3 65 = 30 10 . 二面角A-PC-D的平面角的余弦值为 30 10 .