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1、第一章 实数集与函数,序言,数学分析的主要内容: 微积分 研究的对象: 函数(连续量) 什么是连续量? 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除) 两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限的概念) 学习方法的不同： 初、高中： 从填鸭式 启发式， 以教师为主，强烈地依赖于教师。 大学： 从启发式 个人自发，以学生本身为主，教师引导。 学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，更主要的是，培养自己的积极思考问题、分析问题和解决问题的能力。,一、内容简介 主要讲述实数系的连续性（戴德金意义下）、确界定义和确界存在定理。由于本
2、章是建立数学分析理论的基础，对于习惯于中学数学思维方式的大学新生来讲，会感到很抽象，学习的难度相对会大一些 二、学习要求 （1）了解数系的演变； （2）正确理解上、下确界的概念； （3）掌握实数连续性描述：确界存在定理 三、学习的重点和难点 重点：确界存在定理，实数系的连续性的描述 难点：上、下确界的分析描述，实数系连续性的描述,一 实数的引入,自然数,减法,负整数,除法,有理数,开方,无理数,无理数的引入：,1）无限小数,2）区间套理论,3）分划法,4）有理数基本序列的等价类定义,第一节 实数,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；,1. 实数的无限十进制表示,有理数可用分数形式,有理
3、数和无理数统称为实数.,而无限十进不循环小数则称为无理数.,（p、q为整数，q0）表示，,规定 对于正有限小数（包括正整数）x ，当,时，其中,而当,为正整数时，,记,a0 为非负整数，,例如 2.001 记为 2.000 999；对于负有限小(包括负数) y，,则记,则先将 -y 表示为无限小数，,再在所得无限小数之前加负号.,例如 -8 记为 -7.999 9；,又规定数 0 表示为 0.0000.,于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.,例1 1）证明,不是有理数,2）证明,是无理数,二 两个实数的比较,定义2,为非负实数，称有理数,为实数 x 的 n 位不足近似，,称为 x 的
4、 n 位过剩近似， n = 0, 1, 2, 。,对于负实数,其 n 位不足近似与过,剩近似分别规定为,与,。,以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.,设,而有理数,注 不难看出，实数 x 的不足近似 xn 当 n 增大时不减,当 n 增大时不增，,即有 x0 x1 x2 ；,而过剩近似,命题,则 xy 的等价条件是: 存在非负整数 n 使得,为两个实数,其中 xn表示 x 的 n 位不足近似，,过剩近似。,关于这个命题的证明，以及关于实数的四则运算法则的定义，可参阅本书附录II第八节。,例2 设 x、y 为实数，x y . 证明：存在有理数 r 满足,x r y .,即有,设,三 实数的性质,1 实数对四则运算的封闭性.,2 有序性 .,3 传递性.,4 具有阿基米德（ ）性，即对任 何 ，若 , 则存在正整数,使得 ., 实数的稠密性，即任何两实数之间必有另 一实数，且既有有理数，也有无理数., 实数与数轴上点一一对应.,例3 设 ，证明：若对任何正数 ， 有 ，则,注： 为常数，不能为变数,4对于任何a、bR ，有如下的三角形不等式：,实数 a 的绝对值定义、几何意义.,性质,1. ；当且仅当 a = 0 时有 |a|=0 .,2.,3.,5.,6.,四、 绝对值与不等式,