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1、第六类 函数与导数问题重在“分”第六类 函数与导数问题重在“分”分离、分解分离、分解 以函数为载体、以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题，多涉及含参数 的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论、复杂函数的零点的讨论、不等式中 参数范围的讨论、恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点. 对于此类综合试题，一般先求导，再变形或分解出基本函数，再根据题意处理. 【例 6】 (2017全国卷)已知函数 f(x)ax2axxln x，且 f(x)0. (1)求 a； (2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e21 时，g(x)0，g(x)单调递增， 所以 x1 是 g(x)的
2、极小值点，故 g(x)g(1)0. 综上，a1. (2)证明 由(1)知 f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x， 设 h(x)2x2ln x，(分解) 则 h(x)2 . 1 x 当 x时，h(x)0. ( 1 2，) 所以 h(x)在单调递减，在单调递增. (0， 1 2) ( 1 2，) 又 h(e2)0，h0；当 x(x0，1)时，h(x)0. 因为 f(x)h(x)，所以 xx0是 f(x)的唯一极大值点. 由 f(x0)0 得 ln x02(x01)，故 f(x0)x0(1x0). 由 x0得 f(x0)f(e1)e2. 所以 e2b 对任意 x(0，)恒成立，求实数 b 的取值范围. 解 (1)f(x)ex(2xb2)， 由 f(x)0 得 x. b2 2 b2 2 F(x)的定义域为(0，)，且 F(x)b ， 1 x bx1 x b0，得 bb 得 ln(x1)bx0，b在 x(0，)上恒成立. ln（x1） x 设 g(x)ln(x1)x，则 g(x)10， 1 x1 x x1 g(x)在(0，)上递减，g(x)g(0)0. ln(x1)x0，即1，b1. ln（x1） x 因此实数 b 的取值范围是1，).