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1、回顾 4 数列与不等式 必记知识 等差数列 设 Sn为等差数列an的前 n 项和，则 (1)ana1(n1)dam(nm)d，若 pqmn，则 apaqaman. (2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd. (3)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成的数列是等差数列 (4) n是关于 n 的一次函数或常数函数，数列也是等差数列 Sn n d 2(a 1d 2) Sn n (5)Sn. n （a 1an） 2 n （a 2an1） 2 n （a 3an2） 2 (6)若等差数列an的项数为偶数 2m(mN*)，公差为 d，所有奇数项之和为 S奇，所有 偶数项之和为 S偶，则所有
2、项之和 S2mm(amam1)(am，am1为中间两项)，S偶S奇md， . S偶 S奇 am1 am (7)若等差数列an的项数为奇数 2m1(mN*)， 所有奇数项之和为 S奇， 所有偶数项之 和为 S偶， 则所有项之和 S2m1(2m1)am(am为中间项)， S奇mam， S偶(m1)am， S奇S 偶am， . S奇 S偶 m m1 (8)若 Smn，Snm(mn)，则 Smn(mn) 等比数列 (1)anamqnm，anmanqmamqn(m，nN*) (2)若 mnpq，则 amanapaq；反之，不一定成立(m，n，p，qN*) (3)a1a2a3am，am1am2a2m，a2
3、m1a2m2a3m，成等比数列(mN*) (4)Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，成等比数列(n2，且 nN*) (5)若等比数列的项数为 2n(nN*)，公比为 q，奇数项之和为 S奇，偶数项之和为 S偶， 则q. S偶 S奇 (6)an，bn成等比数列，则an，anbn，成等比数列(0，nN*) 1 an an bn (7)通项公式 ana1qn1qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关 a1 q 于 n 的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点 (8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有 两个，它们互为相反数
4、 (9)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为 ，x，xq；四个数成等比数列，通常设 x q 这四个数分别为，xq，xq3. x q3 x q 提醒) （1）如果数列an成等差数列，那么数列Aan（Aan总有意义）必成等比数列. （2）如果数列an成等比数列，且 an0，那么数列logaan（a0 且 a1）必成等差 数列. （3）如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数列；数列an 是常数列仅是数列an既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件. （4）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数 列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最
5、小公倍数. （5）如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用 “由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们 的公共项，从而分析构成什么样的新数列. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断 的符号)；三解 (解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间) 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑 ： 二次项 系数， 它决定二次函数的开口方向 ； 判别式 ， 它决定根的情形， 一般分 0，0，0 三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小 一元二次不等式
6、的恒成立问题 (1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0， 0.) (2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0， 0.) 分式不等式 0(0)f(x)g(x)0(0)； f（x） g（x） 0(0) f（x） g（x） f（x）g（x） 0（ 0）， g（x） 0.) 提醒) （1）不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负， 从而出错. （2）解形如一元二次不等式 ax2bxc0 时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解， 要注意分 a0，a0 进行讨论. （3）应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把0 直接转化为 f（x）g f（x） g（x） （x）0，
7、而忽视 g（x）0. 图解法求解线性规划问题的基本要点 (1)定域：画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号 的对应 (2)平移：画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l，平行移动直线，让其与可行域有公共 点，根据目标函数的几何意义确定最优解；注意熟练掌握常见的几类目标函数的几何意义 (3)求值：利用直线方程构成的方程组求出最优解的坐标，代入目标函数，求出最值 提醒) （1）直线定界，特殊点定域：注意不等式中的不等号有无等号，无等号时直 线画成虚线，有等号时直线画成实线.若直线不过原点，特殊点常选取原点；若直线过原点， 则特殊点常选取（1，0） ， （0，1）.
8、（2）线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得， 最优解不一定唯一，有时可能有多个 ； 非线性目标函数或非线性可行域的最值问题，最优解 不一定在顶点或边界处取得. 利用基本不等式求最值 (1)对于正数 x，y，若积 xy 是定值 p，则当 xy 时，和 xy 有最小值 2.p (2)对于正数 x，y，若和 xy 是定值 s，则当 xy 时，积 xy 有最大值 s2. 1 4 (3)已知 a， b， x， yR， 若 axby1， 则有 (axby)abab 1 x 1 y( 1 x 1 y) by x ax y 2()2.abab (4)已知 a， b， x， yR
9、， 若 1， 则有 xy(xy)abab2 a x b y( a x b y) ay x bx y ()2.abab 提醒) 利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等” ，即： 所求式中的相关项必须是正数 ； 求积 xy 的最大值时，要看和 xy 是否为定值，求和 xy 的最小值时，要看积 xy 是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；当 且仅当对应项相等时，才能取等号.以上三点应特别注意，缺一不可. 必会结论 判断数列单调性的方法 (1)作差比较法 ： an1an0数列an是递增数列 ； an1an0数列an是递减数列 ； an1an0数列an是常数列 (2)
10、作商比较法 ： 当 an0 时， 则1数列an是递增数列 ； 01数列an an1 an an1 an 是递减数列 ；1数列an是常数列 当an0时， 则1数列an是递减数列 ； 0 an1 an an1 an 1数列an是递增数列；1数列an是常数列 an1 an an1 an (3)结合相应函数的图象直观判断 数列中项的最值的求法 (1)借用构造法求解：根据数列与函数之间的对应关系，构造函数 f(n)an(nN*)，利用 求解函数最值的方法进行求解即可，但要注意自变量的取值必须是正整数 (2)利用数列的单调性求解：利用不等式 an1an(或 an1an)求出 n 的取值范围，从而 确定数列
11、单调性的变化，进而求出数列中项的最值 (3)转化为关于 n 的不等式组求解：若求数列an的最大项，则可转化为求解 若求数列an的最小项，则可转化为求解求出 n 的取值范围之 anan1， anan1，) anan1， anan1，) 后再确定取得最值的项 求数列通项公式的常用方法 (1)公式法：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 (2)已知 Sn(a1a2anSn)，求 an，用作差法：an S1（n1）， SnSn1（n 2）.) (3)已知 a1a2anf(n)，an0，求 an，用作商法：an f（1）（n1）， f（n） f（n1）（n 2）.) (4)已知an1anf(n)， 求
12、an， 用累加法 ： an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 f(n1)f(n2)f(1)a1(n2) (5)已知f(n)，求 an，用累乘法：ana1f(n1)f(n an1 an an an1 an1 an2 a2 a1 2)f(1)a1(n2) (6)构造等比数列法：若已知数列an中，an1panq(p0，p1，q0)，a1， q 1p 设存在非零常数 ， 使得 an1p(an)， 其中 ， 则数列an就是以 a1 q p1 q p1 q p1 为首项，p 为公比的等比数列，先求出数列an的通项公式，再求出数列an的通项 q p1 公式即可 (7)倒数法 ： 若 an(mkb
13、0，n2)，对 an取倒数，得到 man1 k （a n1b） man1 k （a n1b） 1 an k m ，即 .令 bn，则bn可归纳为 bn1pbnq(p0，q0)型 (1 b an1) 1 an kb m 1 an1 k m 1 an 数列求和的常用方法 (1)公式法：等差数列的求和公式；等比数列的求和公式；常用公式，即 123 n n(n1)， 122232n2 n(n1)(2n1)， 135(2n1)n2， n 1 2 1 6 N*. (2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合 并在一起，再运用公式法求和 (3)倒序相加法：在数列求和中，若和
14、式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考 虑选用倒序相加法进行求和 (4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘 构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和” ，从而进行求解 (5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联， 那么常选用裂项相消法求和常用的裂项形式有 ； 1 n（n1） 1 n 1 n1 ； 1 n（nk） 1 k( 1 n 1 nk) ， 1 k2 1 k21 1 2( 1 k1 1 k1) ； 1 k 1 k1 1 （k1）k 1 k2 1 （k1）k 1 k1 1 k . 1 n（n1
15、）（n2） 1 2 1 n（n1） 1 （n1）（n2） 解不等式恒成立问题的常用方法 (1)若所求问题可以化为一元二次不等式，可以考虑使用判别式法求解，利用二次项系 数的正负和判别式进行求解，若二次项系数含参数时，应对参数进行分类讨论 (2)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于零的问题，一般的转 化原理是：在闭区间 D 上，f(x)0 恒成立f(x)在区间 D 上的图象在 x 轴上方或 x 轴上； f(x)0f(x)在区间 D 上的图象在 x 轴下方或 x 轴上 (3)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于常数的问题，即 “f(x)a”或“f(x)a”型不等
16、式恒成立问题，通常利用函数最值进行转化，其一般的转化 原理是 ： f(x)a在闭区间D上恒成立f(x)mina(xD)； f(x)a在闭区间D上恒成立f(x)max a(xD) (4)分离参数法：将恒成立的不等式 F(x，m)0(或0)(m 为参数)中的参数 m 单独分离 出来，不等号一侧是不含参数的函数，将问题转化为求函数最值的问题，该方法主要适用于 参数与变量能分离和函数的最值易于求出的题目， 其一般转化原理是 ： 当 m 为参数时， g(m) f(x)g(m)f(x)max；g(m)f(x)g(m)f(x)min. 必练习题 1已知数列an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a36，
17、S312，则公差 d( ) A1 B2 C3D.5 3 解析 ： 选 B.在等差数列an中， S312， 解得 a12， 又 a3a12d2 3（a1a3） 2 3（a16） 2 2d6，解得 d2，选 B. 2设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2a46，则 S5等于( ) A10B12 C15D30 解析：选 C.由等差数列的性质可得 a2a4a1a5，所以 S515，故选 C. 5（a1a5） 2 3已知等比数列an的公比为正数，且 a2a69a4，a21，则 a1的值为( ) A3B3 CD. 1 3 1 3 解析：选 D.设数列an的公比为 q，由 a2a69a4，得 a2a2q
18、49a2q2，解得 q29， 所以 q3 或 q3(舍)，所以 a1 .故选 D. a2 q 1 3 4已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则 a1a10( ) A7B5 C5D7 解析：选 D.设数列an的公比为 q.由题意，得 所以或解得 a1q3a1q62， a1q4a1q5a1q3a1q68，) a1q32， a1q64) a1q34， a1q62，) a11， q32) 或当时， a1a10a1(1q9)1(2)37； 当时， a1a10 a18， q31 2.) a11， q32) a18， q31 2) a1(1q9)(8)7.综上，a1a107.故选 D. 1( 1
19、 2) 3 5设 x，y 满足约束条件则目标函数 zxy 的最大值是( ) 2xy6 0， x2y6 0， y 0， ) A3B4 C6D8 解析：选 C.法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线 xy0， 平移该直线，当直线经过点 A(6，0)时，z 取得最大值，即 zmax6，故选 C. 法二：目标函数 zxy 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别 为(3，0)，(6，0)，(2，2)当 x3，y0 时，z3； 当 x6，y0 时，z6； 当 x2，y2 时，z4.所以 zmax6，故选 C. 6 若数列an的首项为 3， bn为等差数列， 且 bnan
20、1an(nN*)， 若 b32， b1012， 则 a8( ) A0B3 C8D11 解析 ： 选 B.依题意可设等差数列bn的公差为 d， 则 b10b37d27d12， 解得 d 2， 所以 bnb3(n3)d2n8， 又 bnan1an， 则 b7a8a7， b6a7a6， b1a2a1， 采用累加法可得， b7b6b1(a8a7)(a7a6)(a2a1)a8a1， 又易知 b1b2 b70，则 a8a13，故选 B. 7 在各项均不为零的数列an中， 若 a11， a2 ， 2anan2an1an2anan1(nN*)， 1 3 则 a2 018( ) A.B. 1 4 033 1 4
21、 034 C.D. 1 4 035 1 4 037 解析：选 C.因为 2anan2an1an2anan1(nN*)，所以，所以是 2 an1 1 an 1 an2 1 an 等差数列，其公差 d2，所以1(n1)22n1，an，所以 a2 018 1 a2 1 a1 1 an 1 2n1 . 1 4 035 8已知函数 f(x)则不等式 f(x1)0 的解集为_ 2x12，x 1， 21x2，x1，) 解析 ： 由题意， 得 f(x1)当 x2 时， 由 2x220， 解得 2x3 ； 2x22，x 2， 22x2，x2，) 当 x2 时， 由 22x20， 解得 1x2.综上所述， 不等式
22、 f(x1)0 的解集为x|1x3 答案：1，3 9 已知数列an满足 a1 ， an(n2， nN*)， 则通项公式 an_ 3 2 3nan1 2an1n1 解析：由 an ，令bn，则 bn bn1 bn1 3nan1 2an1n1 n an 1 3 n1 an1 2 3 n an 1 3 2 3 1 3 (bn11)，由 a1 ，得 b11 ，所以bn1是以 为首项， 为公比的等比数列， 3 2 1 3 1 3 1 3 所以 bn1 ，得 an. 1 3( 1 3) n1 n bn n3n 3n1 答案：n3 n 3n1 10已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 a11，anan13n，则 S2 017_ 解析 ： 由 anan13n，得 an1an3n1(n2)，所以3(n2)，则数列an的所有奇 an1 an1 数项和偶数项均构成以 3 为公比的等比数列，又 a11，a1a23，所以 a23，所以 S2 017 31 0092. 1 （131 009） 13 3 （131 008） 13 答案：31 0092