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1、专题能力训练专题能力训练 10 三角变换与解三角形三角变换与解三角形 一、能力突破训练 1.(2018全国,理 4)若 sin = ,则 cos 2=( ) 1 3 A.B. 8 9 7 9 C.-D.- 7 9 8 9 2.已知=-,则 sin +cos 等于( ) cos( - 2) sin( - 4) 2 2 A.-B.C.D.- 7 2 7 2 1 2 1 2 3.在ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角 B的值为( ) 3 A.B. 6 3 C.D. 6或 5 6 3或 2 3 4.在ABC中,ABC= ,AB=,BC=3,则
2、 sinBAC等于( ) 4 2 A.B.C.D. 10 10 10 5 310 10 5 5 5.已知在ABC 中,内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,C=120,a=2b,则 tan A= . 6.ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C=,a=1,则 b= . 4 5 5 13 7.(2018全国,理 15)已知 sin +cos =1,cos +sin =0,则 sin(+)= . 8.在ABC中,a2+c2=b2+ac. 2 (1)求 B 的大小; (2)求cos A+cos C 的最大值. 2 9.在ABC中,A=60,c= a. 3
3、 7 (1)求 sin C的值; (2)若 a=7,求ABC 的面积. 10.设ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A,且 B 为钝角. (1)证明:B-A= ; 2 (2)求 sin A+sin C的取值范围. 11.设 f(x)=sin xcos x-cos2. ( + 4) (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f=0,a=1,求ABC 面积的最大值. ( 2) 二、思维提升训练 12.若 00,所以 A,于是 sin A+sin C=sin A+sin (2 + 2) = 2 ( 0, 4)
4、( 2 - 2 ) =sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2(sin - 1 4) 2 + 9 8. 因为 00,从而 sin C=cos C. 又 cos C0,所以 tan C=1,则 C= , 4 所以 B=-A. 3 4 于是sin A-cossin A-cos(-A)=sin A+cos A=2sin 3 ( + 4) = 33 ( + 6). 因为 00,tan Btan C0,所以 tan A+2tan Btan C2,当且仅当 tan A=2tan Btan C 时,等号成 2tantantan 立,即 tan Atan Btan C2,解得 tan A
5、tan Btan C8,即最小值为 8. 2tantantan 17.解 (1)由及正弦定理,得 sin B=sin 2C,B=2C 或 B+2C=. - = sin2 sin - sin2 若 B=2C,(舍去). 2 3 若 B+2C=,又 A+B+C=, A=C,ABC为等腰三角形. (2)|=2, + a2+c2+2accos B=4. 又由(1)知 a=c,cos B= 2 - 2 2 . 而 cos B=-cos 2C,cos B1, 1 2 1a2 4 3. =accos B=a2cos B,且 cos B=, 2 - 2 2 a2cos B=2-a2( 2 3 ,1 ). ( 2 3 ,1 ).