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1、1.立体几何1.立体几何 1.(2018江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD 平面ABCD，APAD，点M在棱PD上，AMPD，点N是棱PC的中点，求证： (1) MN平面PAB； (2) AM平面PCD. 证明 (1)因为在PAD中，APAD，AMPD， 所以点M是棱PD的中点. 又点N是棱PC的中点， 所以MN是PDC的中位线， 所以MNDC. 因为底面ABCD是矩形， 所以ABDC， 所以MNAB. 又AB平面PAB, MN平面PAB， 所以MN平面PAB. (2)因为平面PAD平面ABCD, CD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，CD
2、AD， 所以CD平面PAD. 又AM平面PAD，所以CDAM. 因为PDAM，CDAM, CDPDD，CD平面PCD，PD平面PCD， 所以AM平面PCD. 2.已知在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是直角梯形，ABDC， ABC60，DC1，AD，PB3 PC，且M，N分别为BC，PA的中点. (1)求证：DN平面PBC； (2)求证：MNBC. 证明 (1)取PB的中点E，连结NE，CE，AC， 因为ABCD是直角梯形，ABDC， ABC60，DC1，AD，3 易得ACCBAB2. 又N为PA的中点， 所以NECD且NECD， 所以四边形CDNE是平行四边形， 所以DNCE. 又CE平面
3、PBC，DN平面PBC， 所以DN平面PBC. (2)连结AM，PM. 因为PBPC， 所以PMBC， 因为ACAB， 所以AMBC， 又AMPMM，AM，PM平面PAM， 所以BC平面PAM. 因为MN平面APM， 所以MNBC. 3.(2018扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB， EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点. (1)求证：FH平面EDB； (2)求证：AC平面EDB. 证明 (1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH， 如图，以H为坐标原点，分别以， ，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角HB GH H
4、F 坐标系， 令BH1，则A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)， D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，G(0，1,0)， (0,0,1), GE 又(0,0,1)，HF GE HF GE平面EDB，HF平面EDB， FH平面EDB. (2)(2,2,0)，(0,0,1)，AC GE 0，AC GE ACGE. 又ACBD，且GE平面EDB，BD平面EDB，GEBDG，AC平面EDB. 4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点. (1)求证：MN平面BCC1B1； (2)若平面ACC1A1平面A1B1C1，且A1B1B1C1，求
5、证：平面B1MN平面ACC1A1. 证明 (1)方法一 如图，设BC的中点为H，连结NH，HC1. 在ABC中，因为N为AB的中点，所以NHAC，且NHAC， 1 2 在三棱柱ABCA1B1C1中，因为ACA1C1，且ACA1C1，M为A1C1的中点， 所以MC1AC，且MC1AC， 1 2 所以NHMC1，且NHMC1， 所以四边形MC1HN为平行四边形，所以MNC1H， 又MN平面BCC1B1，C1H平面BCC1B1， 所以MN平面BCC1B1. 方法二 如图 2， 在侧面ACC1A1中， 连结AM并延长交直线CC1于点Q， 连结BQ.在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1CC1， 所以，
6、 因为M为A1C1的中点， 所以M为AQ的中点.又因为N为AB AM MQ A1M MC1 中点，所以MNBQ，又MN平面BCC1B1，BQ平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1. 方法三 如图 3，取A1B1的中点O，连结OM，ON. 在A1B1C1中，因为O，M分别为A1B1， A1C1的中点，所以OMB1C1. 因为OM平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以OM平面BCC1B1. 在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB且A1B1AB，又因为O，N分别为A1B1，AB的中点，所以 OB1NB，OB1NB， 所以四边形OB1BN为平行四边形， 所以ONB1B， 又ON平面B
7、CC1B1，B1B 平面BCC1B1，所以ON平面BCC1B1. 因为OM平面BCC1B1，ON平面BCC1B1，OMONO，OM平面OMN，ON平面OMN，所以平 面OMN平面BCC1B1，又MN平面OMN，所以MN平面BCC1B1. (2)因为A1B1B1C1, M为A1C1的中点，所以B1MA1C1，因为平面ACC1A1平面A1B1C1，平面 ACC1A1平面A1B1C1A1C1，B1M平面A1B1C1，所以B1M平面ACC1A1，又B1M平面B1MN，所 以平面B1MN平面ACC1A1. 5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点. (1)若
8、弧BC的中点为D，求证：AC平面POD； (2)如果PAB的面积是 9，求此圆锥的表面积. (1)证明 方法一 设BCODE， D是弧BC的中点， E是BC的中点. 又O是AB的中点， ACOE. 又AC平面POD，OE平面POD， AC平面POD. 方法二 AB是底面圆的直径， ACBC. 弧BC的中点为D， ODBC. 又AC，OD共面， ACOD. 又AC平面POD，OD平面POD， AC平面POD. (2)解 设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l， 圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形， hr，lr.2 由SPAB 2rhr29，得r3， 1 2 S表rlr2rrr29(1).22 6
9、.已知四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形， 顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O， 高为 ，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE2，M为CD边上的点. 3 (1)求证：EF平面SAD； (2)试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD. (1)证明 取SB的中点P，连结PF，PE. F为SC的中点， PFBC，又底面ABCD为正方形， BCAD，即PFAD， 又PESA，PEPFP，SAADA， 平面PFE平面SAD. EF平面PFE， EF平面SAD. (2)解 连结AC，AC的中点即为点O，连结SO， 由题意知SO平面ABCD， 取OC的中点H，连结FH，则FHSO， FH平面ABCD， 平面EFH平面ABCD，连结EH并延长， 则EH与DC的交点即为M点. 连结OE， 由题意知SO，SE2.3 OE1，AB2，AE1， ， MC AE HC HA 1 3 MCAECD， 1 3 1 6 即点M在CD边上靠近C点距离为 的位置. 1 6