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1、第 10 练 正弦定理、余弦定理及应用第 10 练 正弦定理、余弦定理及应用 明晰考情 1.命题角度 ： 考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换 相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考 查时，中档难度 考点一 正弦定理、余弦定理 方法技巧 (1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化 (2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量 1 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2， cosA ， 则b等于( )5 2 3 A.B.C2D323 答案 D 解析 由余弦定理，得a2b2c22bcco
2、sA， 即 5b2222b2 ， 2 3 解得b3，故选 D. (b 1 3舍去) 2(2018全国)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB等于( ) C 2 5 5 A4B.C.D2230295 答案 A 解析 cos ， C 2 5 5 cosC2cos212 21 . C 2( 5 5) 3 5 在ABC中，由余弦定理， 得AB2AC2BC22ACBCcosC521225132， ( 3 5) AB4.故选 A.322 3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2bcosBacosCccosA，则B_. 答案 3 解析 方法一 由 2bcosBacosCccosA及正弦定
3、理， 得 2sinBcosBsinAcosCsinCcosA. 2sinBcosBsin(AC) 又ABC，ACB. 2sinBcosBsin(B)sinB. 又 sinB0，cosB . 1 2 又B(0，)，B. 3 方法二 在ABC中，由余弦定理，得acosCccosAacb， a2b2c2 2ab c2b2a2 2bc 条件等式变为 2bcosBb，cosB . 1 2 又 0B，B. 3 4 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a23b23c22bcsinA， 则C_.3 答案 6 解析 由余弦定理， 得a2b2c22bccosA， 所以b2c22bccosA3b2
4、3c22bcsinA，3 sinAcosA，2sin 2，3 b2c2 bc(A 6) b2c2 bc c b b c 当且仅当bc时，等号成立，因此bc，A，所以A， 6 2 2 3 所以C. 2 3 2 6 考点二 与三角形的面积有关的问题 要点重组 三角形的面积公式 (1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高) 1 2 1 2 1 2 (2)SabsinCbcsinAcasinB. 1 2 1 2 1 2 (3)Sr(abc)(r为ABC内切圆的半径) 1 2 5 (2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为， a2b2c2
5、4 则C等于( ) A.B. 2 3 C.D. 4 6 答案 C 解析 SabsinCabcosC， 1 2 a2b2c2 4 2abcosC 4 1 2 sinCcosC，即 tanC1. 又C(0，)，C. 4 6钝角三角形ABC的面积是 ，AB1，BC，则AC等于( ) 1 2 2 A5B.C2D15 答案 B 解析 SABBCsinB 1sinB ， 1 2 1 2 2 1 2 sinB，B或. 2 2 4 3 4 当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，AC，此时 3 4 5 ABC为钝角三角形，符合题意； 当B时， 根据余弦定理有AC2AB2BC22AB
6、BCcosB1221， AC1， 此时AB2 4 AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.5 7.(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_ 答案 2 3 3 解析 bsinCcsinB4asinBsinC， 由正弦定理得 sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC. 又 sinBsinC0，sinA . 1 2 由余弦定理得 cosA0， b2c2a2 2bc 8 2bc 4 bc cosA，bc， 3 2 4 cosA 8 3 3 SABCbcsinA .
7、 1 2 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 8在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB，2，BA BC 则ABC的面积为_ 答案 2 2 解析 因为bcosC3acosBccosB， 由正弦定理得 sinBcosC3sinAcosBsinCcosB， 即 sinBcosCsinCcosB3sinAcosB， 所以 sin(BC)3sinAcosB. 又 sin(BC)sin(A)sinA， 所以 sinA3sinAcosB，又 sinA0，解得 cosB ， 1 3 所以 sinB.1cos2B11 9 2 2 3 由2，可得cacosB2，解得a
8、c6.BA BC 所以SABCacsinB 62. 1 2 1 2 2 2 3 2 考点三 解三角形中的最值(范围)问题 方法技巧 由余弦定理中含两边和的平方(如a2b22abcosCc2)且a2b22ab，因此 在解三角形中， 若涉及已知条件中含边长之间的关系， 且与面积有关的最值问题， 一般利用S absinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性 1 2 9在ABC中，|3，则ABC的面积的最大值为( )AC AB AC AB A.B.C.D321 3 21 4 21 2 21 答案 B 解析 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， |3，即bccosA3，a3，AC
9、AB AC AB cosA11， b2c2a2 2bc 9 2bc 3cosA 2 cosA ，0sinA， 2 5 21 5 0tanA. 21 2 ABC的面积SbcsinA tanA ， 1 2 3 2 3 2 21 2 3 21 4 故ABC面积的最大值为. 3 21 4 10已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足SABCa2，则 的最 1 4 c b 大值为( ) A.1B.22 C.1D.222 答案 C 解析 根据题意，有SABCa2bcsinA，即a22bcsinA应用余弦定理，可得b2c2 1 4 1 2 2bccosAa22bcsinA， 令t ，
10、于是t212tcosA2tsinA 于是 2tsinA2tcosAt2 c b 1，所以 2sint ，从而t 2，当且仅当A时，“”成立，解得t2 (A 4) 1 t 1 t 2 4 的最大值为1.2 11已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，满足 cosAsinBsinCcosBsinAsinC 2cosCsinAsinB，则C的最大值为_ 答案 3 解析 由正弦定理，得bccosAaccosB2abcosC， 由余弦定理，得 bcac2ab， b2c2a2 2bc c2a2b2 2ac a2b2c2 2ab a2b22c2， cosC a2b2c2 2ab a2b21 2a 2
11、b2 2ab ，当且仅当ab时，取等号 a2b2 4ab 2ab 4ab 1 2 00，tanB0. 所以 tan(AB)， tanAtanB 1tanAtanB 2tanB 13tan2B 2 1 tanB3tanB 2 2 3 3 3 当且仅当3tanB，即 tanB时，tan(AB)取得最大值，所以此时B. 1 tanB 3 3 6 1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且abc，a2b2c2，则角A的取 值范围是( ) A.B. ( 2 ，) ( 4 ， 2) C.D. ( 3 ， 2)(0， 2) 答案 C 解析 因为a2b2c2， 所以 cosA0，所以A为锐角 b2c
12、2a2 2bc 又因为abc，所以A为最大角， 所以角A的取值范围是. ( 3 ， 2) 2 在ABC中， 三内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 面积为S， 若Sa2(bc)2， 则 cosA 等于( ) A. B C.D 4 5 4 5 15 17 15 17 答案 D 解析 由Sa2(bc)2，得a2b2c22bc.由余弦定理，可得 sinA1 ( 1 4sinA1) 1 4 cosA，结合 sin2Acos2A1，可得 cosA. 15 17 3 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 记S为ABC的面积， 若A60，b1，S ，则c_，cosB_. 3 3 4 答案
13、 3 5 7 14 解析 因为A60，b1， SbcsinA 1c， 3 3 4 1 2 1 2 3 2 解得c3. 由余弦定理，可得 a，b2c22bccosA192 1 3 1 2 7 所以 cosB. a2c2b2 2ac 791 2 7 3 5 7 14 解题秘籍 (1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题 (2)对已知关系式进行转化时， 一定要等价变形， 尤其注意式子两边不可随意同除以一个式子 1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，B45，则角A等32 于( ) A60B120 C90D60或 120 答案 D 解析 由正弦定理可知，即2，所以
14、 sinA，因为ab，所以 a sinA b sinB 3 sinA 2 sin45 3 2 A45，所以A60或A120.故选 D. 2在ABC中，若3，b2a2ac，则 cosB的值为( ) sinC sinA 5 2 A. B. C. D. 1 3 1 2 1 5 1 4 答案 D 解析 由题意知，c3a，b2a2acc22accosB， 5 2 所以 cosB . c25 2ac 2ac 9a25 2 a 3a 2a 3a 1 4 3 已知在ABC中， (abc)(sinAsinBsinC)asinB， 其中A，B，C为ABC的内角，a，b， c分别为A，B，C的对边，则C等于( )
15、A.B.C.D. 3 2 3 3 4 5 6 答案 B 解析 因为(abc)(sinAsinBsinC)asinB， 所以由正弦定理，可得(abc)(abc)ab， 整理得c2a2b2ab，所以 cosC ， 1 2 因为C(0，)，所以C.故选 B. 2 3 4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，2bc2acos C，sin 3 C，则ABC的面积为( ) 3 2 A.B. 3 2 3 4 C.或D.或 3 2 3 4 3 3 2 答案 C 解析 因为 2bc2acosC，3 所以由正弦定理可得 2sinBsinC2sinAcosC，3 所以 2sin(AC)sinC
16、2sinAcosC.3 所以 2cosAsinCsinC，又 sinC0，3 所以 cosA， 3 2 因为 0A180，所以A30， 因为 sinC，所以C60或 120. 3 2 当C60时，A30， 所以B90，又a1， 所以ABC的面积为 12； 1 2 3 2 3 2 当C120时，A30，所以B30，又a1， 所以ABC的面积为 11，故选 C. 1 2 3 2 3 4 5 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知三个向量m m，n n，p p (a，cos A 2)(b，cos B 2) 共线，则ABC的形状为( ) (c，cos C 2) A等边三角形B等腰三角
17、形 C直角三角形D等腰直角三角形 答案 A 解析 向量m m，n n共线， (a，cos A 2)(b，cos B 2) acos bcos . B 2 A 2 由正弦定理得 sinAcos sinBcos . B 2 A 2 2sin cos cos 2sin cos cos . A 2 A 2 B 2 B 2 B 2 A 2 则 sin sin . A 2 B 2 0 ，0 ， A 2 2 B 2 2 ，即AB. A 2 B 2 同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选 A. 6 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形， 且满足sinB(12cosC) 2
18、sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是( ) Aa2bBb2a CA2BDB2A 答案 A 解析 等式右边sinAcosC(sinAcosCcosAsinC) sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB， 等式左边sinB2sinBcosC， sinB2sinBcosCsinAcosCsinB. 由 cosC0，得 sinA2sinB. 根据正弦定理，得a2b. 7 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 tanB， ， 则 tanB 2 3 a2c2b2 BC BA 1 2 等于( ) A.B.1 3 2 3 C2D2 3 答案 D 解析 由余弦定理
19、，得a2c2b22accosB， 再由 ，得accosB ，BC BA 1 2 1 2 所以 tanB2.故选 D. 2 3 a2c2b2 2 3 2 1 2 3 8若G是ABC的重心，a，b，c分别是A，B，C的对边，且abc0 0，则角AGA GB 3 3 GC 等于( ) A90B60 C45D30 答案 D 解析 由重心性质可知0 0，GA GB GC 故，代入abc0 0 中，GA GB GC GA GB 3 3 GC 得aabc0 0，GB GC GB 3 3 GC 即(ba)0 0.GB ( 3 3 ca)GC 因为，不共线，所以Error!GB GC 即Error!故 cosA
20、， b2c2a2 2bc 3 2 因为 0A180， 所以A30，故选 D. 9在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则 cosA_. 4 1 3 答案 10 10 解析 设BC边上的高为AD，则BC3AD， 又B，所以BDAD，DC2AD. 4 所以ACAD，ABAD.AD2DC252 由余弦定理，知 cosA. AB2AC2BC2 2ABAC 2AD25AD29AD2 2 2AD5AD 10 10 10 已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2， 且(2b)(sinAsinB)(c b)sinC，则ABC面积的最大值为_ 答案 3 解析 由正弦定理得(2b)(ab)(cb
21、)c， 即(ab)(ab)(cb)c， 即b2c2a2 bc，所以 cosA ，因为A(0，)，所以A. b2c2a2 2bc 1 2 3 又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABC bcsinA 4，当且仅当bc2 时，等号成立，则ABC面积的最大值为. 1 2 1 2 3 2 33 11.如图，在ABC中，AB，点D在边BC上，BD2DC，cosDAC，cosC，2 3 10 10 2 5 5 则AC_. 答案 5 解析 因为BD2DC，设CDx，ADy，则BD2x，因为 cosDAC，cosC， 3 10 10 2 5 5 所以 sinDAC，sinC，在ACD中， 10 10 5
22、 5 由正弦定理可得， AD sinC CD sinDAC 即，即yx. y 5 5 x 10 10 2 又 cosADBcos(DACC)， 3 10 10 2 5 5 10 10 5 5 2 2 则ADB. 4 在ABD中，AB2BD2AD22BDADcos， 4 即 24x22x222xx，2 2 2 即x21，所以x1， 即BD2，DC1，AD，2 在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos5， 3 4 得AC.5 12(2018北京)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_； 的取 3 4 c a 值范围是_ 答案 (2，) 3 解析 由余弦定理得 cosB， a2c2b2 2ac a2c2b22accosB. 又S(a2c2b2)， 3 4 acsinB2accosB， 1 2 3 4 tanB，又B(0，)，3 B. 3 又C为钝角，CA， 2 3 2 0A. 6 由正弦定理得 . c a sin(2 3 A) sinA 3 2 cosA1 2sinA sinA 1 2 3 2 1 tanA 0tanA， 3 3 1 tanA 3 2， c a 1 2 3 2 3 即 2. c a 的取值范围是(2，) c a