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1、1知识与技能 掌握空间向量的数乘运算理解共线向量，直线的方向向量和共面向量 2过程与方法 能够利用共线向量和共面向量进行推理和论证,重点：向量的数乘运算，共线向量与共面向量定理 难点：共线向量和共面向量的理解与运用,1共线向量 前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即ab，b0，则存在唯一实数x使axb；若存在唯一实数，使ab，则ab. 判定两向量共线的关键是找到实数.运用证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上 运用证明三点共线，还需说明a与b有公共点,2共面向量 a是指a所在的直线在平面内或平行于平面.共面向量是指这些向量所在的直线平行或在同一平面
2、内，共面向量所在的直线可能相交、平行或异面 空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了例如，图中的长方体，向量 ，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内 向量p与不共线向量a，b共面存在惟一有序实数对(x，y)，使pxayb(),1空间向量的数乘运算 (1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个 ，称为向量的数乘运算 (2)向量a与a的关系,向量,相同,相反,|a|,(3)空间向量的数乘运算律 设、是实数，则有 分配律：(ab) . 结合律： .,ab,(a)()a,2共线向量与共面向量,互相平行或重合,共线向量,同一个平面,ab,pxayb,例1 已知ABCD为正方形，P是
3、ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：,分析 由题目可以获取以下主要信息： ABCD是正方形，O为中心，PO面ABCD，Q为CD中点； 用已知向量表示指定向量 解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等求出x、y即可,解析 如图，,例3 正方形ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面,例4 已知e1，e2是不共线向量，a3e14e2，b3e18e2，判断a与b是否共线 误解 因为3e1与3
4、e1共线，4e2与8e2共线，所以a与b共线 辨析 没有准确理解向量共线的充要条件：任一向量a与非零向量b共线的充要条件是ab.,一、选择题 1下列命题中正确的是 ( ) A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 C零向量没有确定的方向 D若ab，则存在惟一的实数，使ab 答案 C 解析 由零向量定义知选C.而A中b0，则a与b不一定共线,2若e1，e2是同一个平面内的两个向量，则( ) A平面内任一向量a，都有ae1e2(，R) B若存在实数1，2，使1e12e20，则120 C若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有ae1e2(，R) D若e1，e2不共线，则平面内任一向量a，都有ae1e2(，R) 答案 D 解析 由共面向量定理知选D.,答案 A,点评 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，运用三角形法则或平行四边形法则及向量线性运算的运算律进行,