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1、三角函数,第26讲,三角函数的性质,1.了解三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性等. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在(- , ）内的单调性.,A. , B.2k+ ,2k+ (kZ) C.(2k+ ,2k+ )(kZ) D.k+ ,k+ (kZ),1.函数y= 的定义域为( ),B,要使函数有意义， 得2sinx-10, 即sinx , 由图象可知， 2k+ x2k+ (kZ).,2.函数y=cos2x+sinx在- , 上的最小值为( ),A,A. B.- C.-1 D.,y=1-sin2x+sinx=-
2、(sin2x-sinx)+1 =-(sinx- )2+ , 因为x- , ,所以sinx- , 所以ymin=f(- )=-(- - )2+ = .,3.函数f(x)= 的最小正周期为( ),B,A.2 B. C. D.,f(x) = = = (1+sinxcosx) = sin2x+ , 所以T= =.,4.函数y= sin( - )的单调递减区间是 .,3k- ,3k+ (kZ),y= sin( - )=- sin( - ), 所以2k- - 2k+ , 所以3k- x3k+ (kZ).,因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x). 所以sin(-x+)+ cos(-x-) =sin(
3、x+)+ cos(x-)， 即sin(x+)+sin(x-)= cos(x+)- cos(x-). 所以2sinxcos=-2 sinxsin,对xR恒成立, 所以tan=- ,所以=k- (kZ).,5.已知f(x)=sin(x+)+ cos(x-)为偶函数，则= .,=k- (kZ),1.基本三角函数的性质,2.函数y=Asinx+b和y=Acosx+b的最大值为|A|+b，最小值为-|A|+b. 3.对称性 (1)y=sinx的对称中心为(k,0)(kZ);对称轴为x=k+ (kZ). (2)y=cosx的对称中心为(k+ ,0)(kZ); 对称轴为x=k(kZ). (3)y=tanx的
4、对称中心为( ,0)(kZ); 无对称轴.,题型一 三角函数的对称性、奇偶性,例1,设函数f(x)=sin(2x+)(-0). (1)y=f(x)图象的一条对称轴是直线x= ,求; (2)y=f(x)为偶函数，求； (3)若=k（kZ)，试证明y=f(x)为奇函数.,(1)因为x= 是函数y=f(x)的一条对称轴，则当x= 时，y取最值， 所以sin(2 +)=1, 所以 +=k+ (kZ). 又-0，所以=- . (2)由f(x)为偶函数，则当x=0时，y取最值， 所以sin(20+)=1,则=k+ (kZ). 又-0，所以=- .,(3)因为f(x)的定义域为R，即定义域关于原点对称；当=
5、k(kZ)时， sin2x （k为偶数） -sin2x (k为奇数）. sin(-2x)(k为偶数） -sin(-2x)(k为奇数） -sin2x(k为偶数） sin2x(k为奇数）=-f(x)， 所以y=f(x)为奇函数.,=,f(x)=sin(2x+k)=,又f(-x)=,三角函数对称性、奇偶性的判定及应用与代数函数一致，但又有特殊性：三角函数在对称轴处取得函数的最值（最大值或最小值）；对于y=Asin(x+)，当=k(kZ)时，与y=sinx奇偶相同，为奇函数；当=k+ (kZ)时，与y=sinx奇偶性相反，为偶函数；当k (kZ)时,为非奇非偶函数.,题型二 三角函数的周期、值域,已知
6、函数 f(x)=sin2x+ sinxsin(x+ )(0)的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数f(x）在区间0, 上的取值范围.,例2,(1)f(x)= + sin2x = sin2x- cos2x+ =sin(2x- )+ . 因为函数f(x)的最小正周期为,且0, 所以 =,解得=1. (2)由(1)得f(x)=sin(2x- )+ . 因为0x ，所以- 2x- , 所以- sin(2x- )1， 因此，0sin(2x- )+ ， 即f(x)的取值范围为0, .,要求（或应用）周期，常将三角函数统一成y=Asin(x+)+b(或y=Atan(x+)的形式，再利用公式T= (或
7、 );要求函数的值域（或最值），常将三角函数统一为y=Asin(x+)+b，根据弦函数的范围求解；或整理成关于某一三角函数的一元二次，用配方法，或用换元法化为可用基本不等式等结论的形式.,题型三 三角函数的单调性,例3,(1)求函数y=3sin( -2x)的单调区间；,(1)y=3sin( -2x)=-3sin(2x- )，将2x- 看作一整体，则与y=sinx的单调性相反. 故由2k- 2x- 2k+ , 即k- xk+ (kZ)时函数单调递减; 所以递减区间为k- ,k+ (kZ)； 同理，递增区间为 k+ ,k+ (kZ).,A.在0, ),( ,上递增, 在, ),( ,2上递减； B
8、.在0, ), )上递增, 在( ,( ,2上递减 C.在( ,，( ,2上递增， 在0, ), )上递减 D.在, ),( ,2上递增， 在0, ),( ,上递减,(2)函数f(x)= （ ）,A,（2）f(x)= = = tanx， - tanx， 结合图象易知A正确.,x2k,2k+ )或 x(2k+ ,2k+(kZ),x2k+,2k+ )或 x(2k+ ,2k+2(kZ),=,求f(x)=Asin(x+)的单调区间时，首先要看A，是否为正；若为负，则先应用诱导公式化为正，然后将x+看作一个整体，比如若A0，0，由2k- x+2k+ (kZ)解出x的范围即为增区间.,1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f(-x)与f(x)的关系.,2.三角函数的单调性 (1)函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的确定，其基本思想是把x+看作一个整体,由2k- x+2k+ (kZ)解出x的范围,所得区间为增区间;由2k+ x+2k+ 解出x的范围，所得区间即为减区间. (2)比较三角函数的大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数;利用函数的单调性导出结果.,课后再做好复习巩固. 谢谢！,再见！,