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1、第六单元动 量 课时 2 动量守恒定律及其应用 见自学听讲P104 1.动量守恒定律 (1)内容:如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为零,则这个系统的总动量保持不变。 (2)表达式:对两个物体组成的系统,常写成p1+p2=p1+p2或m1v1+m2v2=m1v1+m2v2。 (3)适用条件:系统不受外力或者所受外力的矢量和为零。 2.弹性碰撞和非弹性碰撞 (1)弹性碰撞:碰撞过程中机械能守恒。 (2)非弹性碰撞:碰撞过程中机械能减少。 (3)完全非弹性碰撞:碰撞后合为一体或碰撞后具有共同速度,这种碰撞动能损失最多。 3.反冲运动 (1)定义:一个静止的物体在内力的作用下分裂为两部分,一
2、部分向某个方向运动,另外一个部分必然向相反方向运动,这个 现象叫反冲。 (2)特点: 物体的不同部分在内力的作用下向相反方向运动。 在反冲运动中,系统的合外力一般不为零,但内力远大于外力,可认为反冲运动中系统动量守恒。 在反冲运动中机械能总量一般是增加的。 (3)反冲现象的应用和防止 应用:反击式水轮机是使水从转轮的叶片中流出,由于反冲而使转轮旋转,从而带动发电机发电,火箭、喷气式飞机是靠喷 出气流的反冲作用而获得巨大的推力,等等。 避免有害的反冲运动。 1.(2018 湖北宜昌六校联考)甲、乙两运动员在做花样滑冰表演,沿同一直线相向运动,速度大小都是 1 m/s,甲、乙相遇时用力推 对方,此
3、后都沿各自原方向的反方向运动,速度大小分别为 1 m/s 和 2 m/s。则甲、乙两运动员的质量之比为( )。 A.23 B.32 C.12 D.21 答案 B 2.(2018 湖南长沙模拟)图示为中国队队员投掷冰壶的镜头。 在某次投掷中,冰壶运动一段时间后以 0.4 m/s 的速度与对方的静止 冰壶发生正碰,碰后对方的冰壶以 0.3 m/s 的速度向前滑行。 若两冰壶质量相等,规定向前运动方向为正方向,则碰后中国队冰壶 的速度为( )。 A.0.1 m/sB.-0.1 m/s C.0.7 m/sD.-0.7 m/s 答案 A 3.(2018 江苏南通第二次质量调研模拟)(多选)下列属于反冲运
4、动的是( )。 A.喷气式飞机的运动 B.氢气球的上升 C.火箭的运动 D.反击式水轮机的运动 答案 ACD 4.(2018 湖南邵阳单元测验)如图所示,两辆质量均为M的小车A和B置于光滑的水平面上,有一质量为m的人静止站在A车上, 两 车静止。若这个人自A车跳到B车上,接着又跳回A车并与A车相对静止,则此时A车和B车的速度之比为( )。 A.B.C.D. + + + + 答案 C 1.(2017 全国卷,14)将质量为 1.00 kg 的模型火箭点火升空,50 g 燃烧的燃气以大小为 600 m/s 的速度从火箭喷口在很短时间内 喷出。在燃气喷出后的瞬间,火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空
5、气阻力可忽略)( )。 A.30 kgm/s B.5.7102 kgm/s C.6.0102 kgm/s D.6.3102 kgm/s 解析 设火箭的质量为m1,燃气的质量为m2,根据动量守恒定律知m1v1=m2v2,解得火箭的动量p=m2v2=m1v1=30 kgm/s,A 项正 确。 答案 A 2.(2015 全国卷,35)如图,在足够长的光滑水平面上,物体A、B、C位于同一直线上,A位于B、C之间。A的质量为m,B、C的质 量都为M,三者均处于静止状态。 现使A以某一速度向右运动,求m和M之间应满足什么条件,才能使A只与B、C各发生一次碰撞。 设物体间的碰撞都是弹性的。 解析 设A运动的
6、初速度为v0,A向右运动与C发生碰撞,由动量守恒定律得 mv0=mv1+Mv2 由机械能守恒定律得 m= m+ M 1 2 02 1 2 12 1 2 22 联立解得v1=v0,v2=v0 - + 2 + 要使得A与B能发生碰撞,需要满足v1m2时,v10,v20,碰撞后两球都向前运动。 当m1m2时,v1=v1,v2=2v1,碰撞后大球速度不变,小球速度是大球的两倍。 当m10,碰撞后质量小的球被反弹回来。 当m1m2时,v1=-v1,v2=0,碰撞后小球被原速率反弹回来,大球不动。 (2)如果发生完全非弹性碰撞,系统损失的机械能最大,明确能量损失的去向,列出功能关系方程,结合动量守恒方程求
7、解。如果 碰撞中某物体损失的能量最多,则碰后该物体的速度为零,应用动量守恒和功能关系列方程联合求解。 例 7 两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、 同一方向运动,mA=1 kg,mB=2 kg,vA=6 m/s,vB=2 m/s。 当A追上B并发生碰撞后, 两球A、B速度的可能值是( )。 A.vA=5 m/s,vB=2.5 m/s B.vA=2 m/s,vB=4 m/s C.vA=-4 m/s,vB=7 m/s D.vA=7 m/s,vB=1.5 m/s 解析 虽然题中四个选项均满足动量守恒定律,但 A、 D 两项中,碰后A的速度vA大于B的速度vB,必然要发生第二次碰撞, 不 符合实际;C
8、 项中,两球碰后的总动能Ek= mAvA2+ mBvB2=57 J,大于碰前的总动能Ek= mA+ mB=22 J,违背了能量守恒定律;B 项 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 既符合实际情况,也不违背能量守恒定律。故 B 项正确。 答案 B 碰撞遵守的规律 (1)动量守恒,即p1+p2=p1+p2。 (2)动能不增加,即Ek1+Ek2Ek1+Ek2或+。 12 21 22 22 12 21 22 22 (3)速度要合理 碰前两物体同向,则v后v前;碰后,原来在前的物体速度一定增大,且v前v后。 两物体相向运动,碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 六子弹打木块模型 在分析和解答动量守恒
9、定律问题时,“子弹射木块” 是常见的类型题之一,由于子弹射入时间非常短,内力 远大于外力,所以可以认为子弹与木块构成的系统动量守恒。 按实际中出现的类型大致可分为射入、 射穿两类:射入类的特点是子弹射入木块后二者以相同速度一起运 动;射穿类的特点是子弹击穿木块后二者分别以不同的速度(子弹的速度肯定大于木块的速度)各自运动。 例 8 一质量为M的木块放在光滑的水平面上,另一质量为m的子弹以初速度v0水平飞来打进木块并留在其中,设相互作 用力恒为f。求从木块开始运动到子弹与木块相对静止的过程中: (1)子弹、木块相对静止时的速度v。 (2)子弹打进木块的深度l。 (3)系统增加的内能。 解析 (1
10、)由动量守恒得mv0=(M+m)v 子弹与木块的共同速度v=v0。 + (2)对子弹利用动能定理得 -fs1= mv2- m 1 2 1 2 02 所以s1= ( + 2) 2( + )2 02 同理对木块有fs2= Mv2 1 2 故木块发生的位移s2= 2 2( + )20 2 子弹打进木块的深度l=s1-s2=。 2( + )0 2 (3)系统损失的机械能 Ek= m-(M+m)v2= 1 2 02 1 2 2( + )0 2 系统增加的内能Q=Ek=。 2( + )0 2 答案 (1)v0 (2) (3) + 2( + )0 2 2( + )0 2 (1)子弹和木块组成的系统动量守恒,
11、机械能总量减少。 (2)系统损失的机械能转化为内能,等于阻力乘以相对位移,即Q=fs相对。 (3)子弹打木块、碰撞、滑块木板模型中,一个运动的物体与另一个静止的物体在达到共同速度的过程中系统损失的机械能 等于m,式中m和M分别为开始运动和静止的物体的质量,v0为开始运动物体的初速度。 然后找到损失能量的去向,再应 1 2 02 + 用功能关系列方程联合求解即可。 模型 1 滑块木板模型 1.把滑块、木板看作一个整体,摩擦力为内力,在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。 2.由于摩擦生热,机械能转化为内能,系统机械能不守恒。应由能量守恒求解问题。 3.若滑块未滑离木板,最后二者有共同速度,
12、机械能损失最多。 例9 如图所示,在光滑的水平面上有一质量为M的长木板,以速度v0向右做匀速直线运动,将质量为m的小铁块轻轻放在木 板上的A点,这时小铁块相对地面的速度为零,小铁块相对木板向左滑动。由于小铁块和木板间有摩擦,最后它们之间相对静止, 已知它们之间的动摩擦因数为,问: (1)小铁块跟木板相对静止时,它们的共同速度多大? (2)它们相对静止时,小铁块与木板上的A点距离多远? (3)在全过程中有多少机械能转化为内能? 解析 (1)木板与小铁块组成的系统动量守恒。以v0的方向为正方向,由动量守恒定律得 Mv0=(M+m)v 解得v=。 0 + (2)由功能关系可得,摩擦力在相对位移上所做
13、的功等于系统动能的减少量 mgx相= M-(M+m)v2 1 2 02 1 2 解得x相=。 02 2( + ) (3)方法一:由能量守恒定律可得 Q= M-(M+m)v2 1 2 02 1 2 解得Q=。 02 2( + ) 方法二:根据功能关系,转化成的内能等于系统克服摩擦力做的功,即 Q=mgx相=。 02 2( + ) 答案 (1) (2) (3) 0 + 02 2( + ) 02 2( + ) 滑块木板问题解题思路 (1)若与木板接触的另一面是光滑的,如地面光滑。满足动量守恒的条件,优先选择动量守恒和能量转化守恒的观点处理。 (2)若与木板接触的另一面有摩擦,动量一般不守恒。此时就要
14、采用牛顿定律的思路解题。 模型 2 滑块弹簧类模型 1.对于弹簧类问题,在作用过程中,若系统合外力为零,则满足动量守恒。 2.整个过程往往涉及多种形式的能的转化,如弹性势能、动能、内能、重力势能的转化,应用能量守恒定律解决此类问题。 3.注意:弹簧压缩最短时,弹簧连接的两物体速度相等,此时弹簧弹性势能最大。 例 10 两物块A、B用轻弹簧相连,质量均为 2 kg,初始时弹簧处于原长,A、B两物块都以v=6 m/s 的速度在光滑的水平地面 上运动,质量为 4 kg 的物块C静止在前方,如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中: (1)当弹簧的弹性势能最大时,物块A的速度为多大?
15、 (2)系统中弹性势能的最大值是多少? 解析 (1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。由A、B、C三者组成的系统动量守恒得 (mA+mB)v=(mA+mB+mC)vABC 解得vABC=3 m/s。 (2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒,设碰后瞬间B、C两者速度为vBC,则 mBv=(mB+mC)vBC 解得vBC=2 m/s 设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep,根据能量守恒得 Ep=(mB+mC)+ mAv2-(mA+mB+mC) 1 2 2 1 2 1 2 2 解得Ep=12 J。 答案 (1)3 m/s (2)12 J (1)含有弹簧的碰撞问题,在选取
16、“系统”时应该包括弹簧,轻弹簧的动量往往忽略不计,但不可遗漏弹簧的弹性势能。 (2)含有弹簧类的碰撞问题,要特别注意物块碰撞中机械能可能转化为内能,所以全过程看系统机械能往往不守恒。 (3)弹簧的弹性势能由形变量的大小决定,弹簧伸长或压缩时,只要伸长量和压缩量相同,弹簧的弹性势能就相同,这在很多题目中是 个隐含的条件。 模型 3 滑块斜面模型 1.滑块和斜面体相互作用的问题通常要求所有的接触面光滑,滑块和斜面体作用时,一般是水平方向的动量守恒,滑块和斜 面系统的机械能守恒。 2.当滑块竖直速度减为零时,一定是两者相对静止的时刻。 3.斜面体也可以是曲面,如四分之一光滑圆弧构成的曲面体。 例 1
17、1 如图所示,光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体,斜面体右侧有一蹲在滑板上的小孩,小孩和其面前的冰块均静 止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面 3 m/s 的速度向斜面体推出,冰块平滑地滑上斜面体,在斜面体上上升的最大高度 h=0.3 m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量m1=30 kg,冰块的质量m2=10 kg,小孩与滑板始终无相对运动。取重力 加速度的大小g=10 m/s2。 (1)求斜面体的质量。 (2)通过计算判断,冰块与斜面体分离后能否追上小孩? 解析 (1)规定向右为速度正方向。 冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度,设此共同速度为v,斜面体的质量为 m
18、3。由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得 m2v20=(m2+m3)v m2=(m2+m3)v2+m2gh 1 2 202 1 2 式中v20=-3 m/s,为冰块推出时的速度 联立解得m3=20 kg。 (2)设小孩推出冰块后的速度为v1,由动量守恒定律有 m1v1+m2v20=0 代入数据得v1=1 m/s 设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3,由动量守恒和机械能守恒定律有 m2v20=m2v2+m3v3 m2= m2+ m3 1 2 202 1 2 22 1 2 32 联立解得v2=1 m/s 由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方,故冰块不能追上小孩。
19、答案 (1)20 kg (2)不能 多过程问题 例 12 如图所示,在光滑水平面上有A、B两辆小车,水平面的左侧有一竖直墙,在小车B上坐着一个小孩,小孩与B车的总 质量是A车质量的 10 倍。两车开始都处于静止状态,小孩把A车以相对于地面的速度v推出,A车与墙壁碰后仍以原速率返回, 小孩接到A车后,又把它以相对于地面的速度v推出。每次推出,A车相对于地面的速度都是v,方向向左。则小孩把A车推出几 次后,A车返回时小孩不能再接到A车? 解析 取水平向右为正方向,小孩第一次推出A车时,由动量守恒有 mBv1-mAv=0 即v1=v 第n次推出A车时,由动量守恒有 mAv +mBvn-1=-mAv+
20、mBvn 则vn-vn-1=v 2 所以vn=v1+(n-1)v 2 当vnv时,再也接不到小车 由以上各式得n5.5,取n=6。 答案 6 次 关于n的取值也是应仔细分析的问题,不能盲目地对结果进行“四舍五入”,一定要注意结论的物理意义。 见高效训练P65 1.(2018 贵州贵阳六校联考)将静置在地面上,质量为M(含燃料)的火箭模型点火升空,在极短时间内以相对地面的速度v0竖直向 下喷出质量为m的炽热气体。忽略喷气过程中重力和空气阻力的影响,则喷气结束时火箭模型获得的速度大小是( )。 A.v0 B.v0 C.v0 D.v0 - - 解析 根据动量守恒定律可知mv0-(M-m)v=0,解得
21、v=v0,故 D 项正确。 - 答案 D 2.(2018 四川康定第一次质量调研)有一条捕鱼小船停靠在湖边码头,小船(一吨左右)又窄又长。一位同学想用一个卷尺粗略测 定它的质量,他进行了如下操作:首先将船平行码头自由停泊,轻轻从船尾上船,走到船头后停下来,而后轻轻下船,用卷尺测出船 后退的距离为d,然后用卷尺测出船长L,已知他自身的质量为m,则小船的质量M为( )。 A.B. ( - ) C.D. ( + ) - 解析 根据题意可知,人从船尾走到船头过程中,动量守恒,则有Mv=mv,即M =m,解得M=,B 项正确。 - ( - ) 答案 B 3.(2019 湖北黄石 11 月模拟)如图甲所示
22、,光滑的半圆筒截面圆上有四点A、B、C、D,B是圆弧的最低点,A、C是与圆心O等高的 两点,D位于B点的右侧,且BD圆弧所对的圆心角为 30。 可看作质点且质量相等的两个小球a、b最初位于A、B两点。 现释放A 点处的小球,讨论两球第二次碰撞前的运动情况,以下说法中不正确的是( )。 A.碰后b球可能上升到C位置处 B.碰后a球可能返回到A位置处 C.碰后b球可能上升到D位置处 D.碰后a球可能上升到D位置处 解析 a球从A点滑下,设碰撞前的速度为v,与b球相碰,若是弹性碰撞,则发生速度交换,碰后b的速度为v,能够上升到C处, A 项正确。若发生的是完全非弹性碰撞,则碰后两者的速度相等,由动量
23、守恒定律可知mv=2mvab,因此碰后a、b的速度vab=。如图乙 2 所示,根据能量转化知,碰后两者可以上升到C点高度四分之一的E点处。 设圆弧BE所对圆心角为,则有R(1-cos )=,解得 4 cos =,而 cos 30=,则30,故E点在D点的上方,C、D 两项正确。若碰后a球反弹,由动量守恒知,b球的速度大于v,则碰 3 4 3 2 后的动能增加了,B 项错误。 答案 B 4.(2018 山东东营 11 月模拟)在光滑水平面上,质量为m的小球A正以速度v0做匀速运动。某时刻小球A与质量为 3m的静止小 球B发生正碰,两球相碰后,A球的动能恰好变为原来的 。则碰后B球的速度大小是(
24、)。 1 4 A.B. 0 2 0 6 C.或D.无法确定 0 2 0 6 解析 两球相碰后A球的速度大小变为原来的 ,相碰过程中满足动量守恒,若碰后A球的速度方向不变,则mv0= mv0+3mv1,可 1 2 1 2 得B球的速度v1=,碰后A球的速度大于B球的速度,而B球在前,A球在后,不符合实际情况,因此A球一定反向运动,即mv0=- 0 6 1 2 mv0+3mv1,可得v1=,A 项正确。 0 2 答案 A 5.(2018 云南保山 5 月模拟)(多选)如图所示,一辆小车静止在光滑水平面上,A、B两人分别站在车的两端。 当两人同时相向运动 时( )。 A.若小车不动,两人速率不一定相
25、等 B.若小车向左运动,A的动量一定比B的小 C.若小车向左运动,A的动量一定比B的大 D.若小车向右运动,A的动量一定比B的大 解析 小车与A、B两人组成的系统初动量为零,根据动量守恒可知,若小车不动,两人的动量大小一定相等,因不知两人的质量, 所以不能确定两人速率一定相等,A项正确;若小车向左运动,A的动量大小一定等于小车与B的动量大小之和,故B项错误,C项正确; 若小车向右运动,则小车与A的动量大小之和一定等于B的动量大小,故 D 项错误。 答案 AC 6.(2018 湖南岳阳水平检测)(多选)如图所示,将一轻质弹簧从物体B内部穿过,并将其上端悬挂于天花板,下端系一质量m1=2.0 kg
26、 的物体A。平衡时物体A距天花板h=2.4 m,在距物体A正上方高h1=1.8 m 处,由静止释放质量m2=1.0 kg 的物体B,B下落过程 中某时刻与弹簧下端的物体A碰撞(碰撞时间极短),并立即以相同的速度与A一起运动,两物体不粘连,且可视为质点,碰撞后两 物体一起向下运动,历时0.25 s第一次到达最低点,弹簧始终在弹性限度内,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正 确的是( )。 A.碰撞结束瞬间两物体的速度大小为 2 m/s B.碰撞结束后两物体一起向下运动的最大位移大小为 0.25 m C.碰撞结束后两物体一起向下运动的过程中,两物体间的平均作用力大小为 18 N
27、D.A、B运动到最低点后反弹上升,A、B分离后,B还能上升的最大高度为 0.2 m 解析 设物体B自由下落至与A碰撞前的速度为v0,根据自由落体运动规律,有v0=6 m/s,设A、B碰撞结束后瞬间二者 21 达到共同速度vt,以向下为正方向,根据动量守恒定律,有m2v0=(m1+m2)vt,解得vt=2.0 m/s,A 项正确。从二者一起运动到速度变为零 的过程中,选择B作为研究对象,根据动量定理,有(m2g-F)t=0-m2vt,解得F=18 N,方向竖直向上,对B根据动能定理可得-Fx+mgx=0- 1 2 m2,解得x=0.25 m,即碰撞结束后两物体一起向下运动的最大位移大小为 0.2
28、5 m,B、C 两项正确;若A、B在原位置分离,B还能上 2 升的最大高度hm=0.2 m,但实际上A、B在弹簧恢复原长时分离,故B还能上升的最大高度小于 0.2 m,D 项错误。 2 2 答案 ABC 7.(2018 江西南昌单元测验)(多选)矩形滑块由不同材料的上下两层粘连在一起组成,将其放在光滑的水平面上,如图所示,质量 为m的子弹以速度v水平射入滑块,若射击上层,则子弹刚好不穿出;若射击下层,整个子弹刚好嵌入,则上述两种情况相比较 ( )。 A.两次子弹对滑块做的功一样多 B.两次滑块受到的冲量一样大 C.子弹射入下层过程中克服阻力做功较少 D.子弹射入上层过程中系统产生的热量较多 解
29、析 由水平方向动量守恒可以知道,两种情况对应的末速度是一样的,系统动能的减少量也是一样的,系统产生的热量也一 样多,D 项错误;由动能定理可知,子弹克服阻力做功相同,子弹对滑块做功相同,A 项正确,C 项错误;由动量定理可以分析,两次滑块所 受冲量一样大,B 项正确。 答案 AB 8.(2018 江西宜春 11 月模拟)(多选)如图所示,在光滑水平面上叠放A、B两物体,两物体间有摩擦力,mA=2 kg,mB=1 kg,速度的大 小均为v0=10 m/s,设A板足够长,当观察到B做加速运动时,A的可能速度为( )。 A.2.5 m/s B.3.5 m/s C.4.5 m/s D.5.5 m/s
30、解析 因摩擦力作用,A、B必先做减速运动,因初动量总和为(210-110) kgm/s=10 kgm/s,故必是B先减速为零,后反向 加速,最后与A一起向右运动,整个过程中,A一直减速,当B速度为零时,A速度为v1,由动量守恒定律可得v1= m/s=5 m/s,A、B最终 10 2 速度v2= m/s= m/s。可见,B做加速运动时,A的速度范围是 5 m/svA3.3 m/s,B、C 两项正确。 10 2 + 1 10 3 答案 BC 9.(2018 安徽淮南 4 月模拟)(多选)如图所示,光滑水平面上有两个质量分别为m1、m2的小球A、B,放在与左侧竖直墙垂直的直 线上,设B开始处于静止状
31、态,A球以速度v朝着B运动,设系统处处无摩擦,所有的碰撞均无机械能损失,则下列判断正确的是 ( )。 A.若m1=m2,则两球之间有且仅有两次碰撞 B.若m1m2,则两球之间可能发生两次碰撞 C.两球第一次碰撞后B球的速度一定是 2 D.两次第一次碰撞后A球可能向右运动 解析 设A球和B球第一次碰撞后速度分别为v1和v2,取向左为正方向。根据动量守恒定律得m1v=m1v1+m2v2,根据机械能守 恒定律得m1v2= m1+ m2,解得v1=v,v2=v。 1 2 1 2 12 1 2 22 1- 2 1+ 2 21 1+ 2 若m1=m2,则A与B碰撞后交换速度,当B球与墙壁碰后以速度v2返回
32、,并与A球发生第二次碰撞,之后B静止,A向右运动,不再 发生碰撞,A 项正确;若m1m2,则得v1-v,v20,两球之间只能发生一次碰撞,故 B 项错误;两球第一次碰撞后,B球的速度v2=v, 21 1+ 2 与两球的质量关系有关,不一定是 ,故C项错误;两球第一次碰撞后A球的速度v1=v,当m1vB,不合题意,舍去 5 3 2 3 设整个过程中小物块B相对水平面向右滑行的距离为x,小物块B在长木板C上运动的加速度大小为a,根据牛顿第二定律有 2mBg=mBa 解得a=1 m/s2 由匀变速运动规律有x=1.92 m 2- 2 2 长木板C相对水平面向右滑行的距离 xC=x-L=0.72 m。 答案 (1)0.4 m/s (2)0.72 m