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1、 专题强化四 动力学和能量观点在电磁感应中的应用专题强化四 动力学和能量观点在电磁感应中的应用 命题点一 电磁感应中的动力学问题 1题型简述 感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起解决 这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律 (共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等) 2两种状态及处理方法 状态特征处理方法 平衡态加速度为零根据平衡条件列式分析 非平衡态加速度不为零根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析 3.动态分析的基本思路 解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加
2、速度最大 值或最小值的条件具体思路如下： 例 1 (2015浙江 10 月选考22 改编)如图 1 甲所示，质量 m3.0103 kg 的“”形金 属细框竖直放置在两水银槽中，“”形框的水平细杆 CD 长 l0.20 m，处于磁感应强度 大小 B11.0 T、方向水平向右的匀强磁场中有一匝数 n300 匝，面积 S0.01 m2的线圈 通过开关 K 与两水银槽相连线圈处于与线圈平面垂直的、沿竖直方向的匀强磁场中，其磁 感应强度 B2的大小随时间 t 变化的关系如图乙所示(g 取 10 m/s2) 图 1 (1)求 00.10 s 线圈中的感应电动势大小 (2)t0.22 s 时闭合开关 K，若
3、安培力远大于重力，细框跳起的最大高度 h0.20 m，求通过 细杆 CD 的电荷量 答案 (1)30 V (2)0.03 C 解析 (1)由法拉第电磁感应定律 En t 得 EnS30 V B2 t (2)安培力远大于重力， 由牛顿第二定律， 安培力 Fmam(或由动量定理 Ftmv0)， v0 t 又 FIB1l，qIt，v22gh，得 q0.03 C. m 2gh B1l 变式 1 如图 2 所示，两根足够长的光滑平行金属导轨 MN、PQ 间距为 l0.5 m，其电阻不 计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 30角完全相同的两金属棒 ab、cd 分别垂直导轨 放置， 每根棒两端都与导轨始终
4、有良好接触 已知两棒质量均为 m0.02 kg， 电阻均为 R0. 1 ，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度 B0.2 T，棒 ab 在平行于 导轨向上的力 F 作用下， 沿导轨向上匀速运动， 而棒 cd 恰好能够保持静止 g 取 10 m/s2， 求 ： 图 2 (1)通过棒 cd 的电流 I 是多少？方向如何？ (2)棒 ab 受到的力 F 多大？ 答案 (1)1 A 由 d 至 c (2)0.2 N 解析 (1)棒 cd 受到的安培力为 FcdIlB 棒 cd 在共点力作用下平衡，则 Fcdmgsin 30 联立解得 I1 A 根据楞次定律可知，棒 cd 中电流方向由
5、 d 至 c. (2)棒 ab 与棒 cd 受到的安培力大小相等，即 FabFcd 对棒 ab，由共点力平衡条件得 Fmgsin 30IlB 解得 F0.2 N. 变式 2 如图 3 甲所示， 两根足够长的直金属导轨 MN、 PQ 平行放置在倾角为 的绝缘斜面 上，两导轨间距为 L，M、P 两点间接有阻值为 R 的电阻，一根质量为 m 的均匀直金属杆 ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直 于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让 ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接 触良好，不计它们之间的摩擦求：(重力加速度为 g) 图 3 (1)
6、由 b 向 a 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出 ab 杆下滑过程中某时刻的受力示 意图； (2)在加速下滑过程中， 当 ab 杆的速度大小为 v 时， 求此时 ab 杆中的电流及其加速度的大小 ； (3)求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度的最大值 答案 (1)见解析图 (2) gsin (3) BLv R B2L2v mR mgRsin B2L2 解析 (1)如图所示，ab 杆受重力 mg，竖直向下；支持力 FN，垂直于斜面向上；安培力 F安， 沿斜面向上 (2)当 ab 杆的速度大小为 v 时，感应电动势 EBLv， 此时电路中电流 I E R BLv R ab 杆受到的安培力
7、 F安BILB 2L2v R 根据牛顿第二定律，有 mgsin F安mgsin ma B2L2v R agsin . B2L2v mR (3)当 a0 时，ab 杆有最大速度，vm. mgRsin B2L2 命题点二 电磁感应中动力学和能量观点的综合应用 1题型简述 电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来 实现的 安培力做功的过程， 是电能转化为其他形式的能的过程 ； 外力克服安培力做功的过程， 则是其他形式的能转化为电能的过程 2解题的一般步骤 (1)确定研究对象(导体棒或回路)； (2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化； (3
8、)根据能量守恒定律或功能关系列式求解 3求解电能应分清两类情况 (1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及 WUIt 或 QI2Rt 直接进行计算 (2)若电流变化，则 利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功； 利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能 例 2 (2018嘉兴一中期末)如图 4 所示，两根相距 L1的平行粗糙金属导轨固定在水平面上， 导轨上分布着 n 个宽度为 d、间距为 2d 的匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向上在导轨 的左端连接一个阻值为 R 的电阻， 导轨的左端距离第一个磁场区域左侧边界 L2的位置放有一 根质量为
9、 m、长为 L1、阻值为 r 的金属棒，导轨电阻及金属棒与导轨间的接触电阻均不 计某时刻起，金属棒在一水平向右的已知恒力 F 作用下由静止开始向右运动，已知金属棒 与导轨间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 g. 图 4 (1)若金属棒能够匀速通过每个匀强磁场区域， 求金属棒离开第 2 个匀强磁场区域时的速度 v2 的大小； (2)在满足第(1)小题条件时，求第 n 个匀强磁场区域的磁感应强度 Bn的大小； (3)现保持恒力 F 不变，使每个磁场区域的磁感应强度均相同，发现金属棒通过每个磁场区域 时电路中的电流变化规律完全相同，求金属棒从开始运动到通过第 n 个磁场区域的整个过程 中左端电阻 R
10、上产生的焦耳热 Q. 答案 (1) 2FmgL2 2d m (2) 1 L1 4mFmgRr2 2L24nd4d (3)nd(Fmg) 3R Rr 解析 (1)金属棒匀加速运动有 Fmgma v222a(L22d) 解得：v2 2FmgL2 2d m (2)金属棒匀加速运动的总位移为 xL22nd2d 金属棒进入第 n 个匀强磁场的速度满足 vn22ax 金属棒在第 n 个磁场中匀速运动有 FmgF安0 感应电动势 EBnL1vn 电流 I E Rr BnL1vn Rr 安培力 F安BnL1I 联立得：F安B n2L2 1vn Rr 解得：Bn 1 L1 4 mFmgRr2 2L24nd4d
11、(3)金属棒进入每个磁场时的速度 v 和离开每个磁场时的速度 v均相同，由题意可得 v2 2aL2，v2v22a2d 金属棒从开始运动到通过第 n 个磁场区域的过程中，有 x总L23nd2d (Fmg)x总Q总 mv2 1 2 Q Q总 R Rr 解得：Qnd(Fmg) 3R Rr 变式 3 如图 5 甲所示，在一倾角为 37的粗糙绝缘面上，静止地放置着一个匝数 n10 匝 的正方形线圈 ABCD，E、F 分别为 AB、CD 的中点，线圈总电阻 R2.0 、总质量 m0.2 kg、正方形边长 L0.4 m如果向下轻推一下此线圈，则它刚好可沿斜面匀速下滑现在将 线圈静止放在斜面上后，在虚线 EF
12、 以下的区域中，加上垂直斜面方向的、磁感应强度大小 按图乙所示规律变化的磁场， (最大静摩擦力等于滑动摩擦力， sin 370.6， cos 370.8， g 10 m/s2)求： 图 5 (1)t1 s 时刻，线圈中的感应电流大小 I； (2)从 t0 时刻开始经过多长时间线圈刚要开始运动； (3)从 t0 时刻开始到线圈刚要运动，线圈中产生的热量 Q. 答案 (1)0.2 A (2)4 s (3)0.32 J 解析 (1)由法拉第电磁感应定律得 EnnS t B t 解得 E0.4 V I 0.2 A E R (2)由受力分析可知 Ffmgsin 37 Fmgsin 37Ff FnBIL
13、解得 B3 T B10.5t 则 t4 s (3)由焦耳定律可得 QI2Rt 解得 Q0.32 J. 变式 4 如图 6 所示，有一倾斜光滑平行金属导轨，导轨平面与水平面的夹角 30，导轨 间距 L0.5 m，电阻不计，在两导轨间接有 R3 的电阻在导轨中间加一垂直导轨平面 向上的宽度为 d0.4 m 的匀强磁场，B2 T一质量为 m0.08 kg、电阻为 r2 的导体 棒从距磁场上边缘 d0.4 m 处由静止释放，运动过程中始终与导轨保持垂直且接触良好， 取 g10 m/s2.求： 图 6 (1)导体棒进入磁场上边缘的速度大小 v； (2)导体棒通过磁场区域的过程中，通过导体棒的电荷量 q；
14、 (3)导体棒通过磁场区域的过程中，电阻 R 上产生的焦耳热 Q. 答案 (1)2 m/s (2)0.08 C (3)0.096 J 解析 (1)根据机械能守恒定律可得：mgdsin 30 mv2 1 2 代入数据解得，导体棒进入磁场上边缘的速度大小 v2 m/s. (2)根据法拉第电磁感应定律可得： E t 根据闭合电路的欧姆定律可得： I E Rr 通过导体棒的电荷量为：q t0.08 C.I Rr BLd Rr (3)导体棒进入磁场上边缘时，切割磁感线产生的感应电动势为 EBLv2 V 根据闭合电路的欧姆定律可得：I0.4 A E Rr 导体棒受到的安培力 FBIL0.4 N 导体棒的重
15、力沿导轨平面向下的分力 Fmgsin 300.4 N 所以金属棒进入磁场后做匀速运动，根据功能关系可得通过磁场区域过程中电阻 R 上产生的 焦耳热为： Qmgdsin 300.096 J. R Rr 1如图 1 所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为 l，导轨左端连接一个电阻 R. 一根质量为 m、长度为 l、电阻为 r 的金属杆 ab 垂直放置在导轨上在杆的右方距杆为 d 处 有一个匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向下，磁感应强度为 B.对杆施加一个大小为 F、 方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，杆与导轨始终接触良好，已知杆到达磁场区 域时速度为 v，之后进入磁场恰好做匀速
16、运动不计导轨的电阻，假设导轨与杆之间存在恒 定的阻力求： 图 1 (1)两导轨对杆 ab 的总阻力大小 Ff； (2)杆 ab 中通过的电流及其方向； (3)导轨左端所接电阻 R 的阻值 答案 (1)F (2) 方向由 ab (3)r mv2 2d mv2 2Bld 2B2l2d mv 解析 (1)杆进入磁场前做匀加速运动，有 FFfma v22ad，解得两导轨对杆的总阻力 FfF. mv2 2d (2)杆进入磁场后做匀速运动，有 FFfF安 杆 ab 所受的安培力 F安IBl 解得杆 ab 中通过的电流 I mv2 2Bld 由右手定则知杆中的电流方向由 ab. (3)杆 ab 产生的感应电
17、动势 EBlv 杆中的电流 I E Rr 解得导轨左端所接电阻 R 的阻值 Rr. 2B2l2d mv 2 (2016浙江 10 月选考22)为了探究电动机转速与弹簧伸长量之间的关系， 小明设计了如图 2 所示的装置 半径为 l 的圆形金属导轨固定在水平面上， 一根长也为 l、 电阻为 R 的金属棒 ab 一端与导轨接触良好，另一端固定在圆心处的导电转轴 OO上，由电动机 A 带动旋转在 金属导轨区域内存在垂直于导轨平面， 大小为 B1、 方向竖直向下的匀强磁场 另有一质量为 m、 电阻为 R 的金属棒 cd 用轻质弹簧悬挂在竖直平面内，并与固定在竖直平面内的“U”形导轨 保持良好接触，导轨间
18、距为 l，底部接阻值也为 R 的电阻，处于大小为 B2、方向垂直导轨平 面向里的匀强磁场中从圆形金属导轨引出导线和通过电刷从转轴引出导线经开关 S 与“U” 形导轨连接当开关 S 断开，棒 cd 静止时，弹簧伸长量为 x0；当开关 S 闭合，电动机以某 一转速匀速转动，棒 cd 再次静止时，弹簧伸长量变为 x(不超过弹性限度)不计其余电阻和 摩擦等阻力，求此时： 图 2 (1)通过棒 cd 的电流 Icd； (2)电动机对该装置的输出功率 P； (3)电动机转动角速度 与弹簧伸长量 x 之间的函数关系 答案 见解析 解析 (1)S 断开，cd 棒静止时有 mgkx0 S 闭合，cd 棒静止时受
19、到安培力 FB2Icdl 由楞次定律知流过棒 cd 的电流方向为 dc 故 cd 棒再次静止时有 mgB2Icdlkx 解得 Icdmgxx 0 B2lx0 (2)回路总电阻 R总R R R 1 2 3 2 总电流：I2mgxx 0 B2lx0 由能量守恒得 PI2R总6m 2g2Rxx02 B22l2x02 (3)由法拉第电磁感应定律：E B1l2 t 1 2 回路总电流 I E R总 B1l2 3R 解得 . 6mgRxx0 B1B2l3x0 3(2018新力量联盟期末)如图 3 甲所示，MN、PQ 为间距 L0.5 m 且足够长的平行导轨， NQMN，导轨的电阻均不计导轨平面与水平面间的
20、夹角 37，NQ 间连接有一个 R 4 的电阻有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为 B01 T将一根质量 为 m0.05 kg 的金属棒 ab 紧靠 NQ 放置在导轨上， 且与导轨接触良好 现由静止释放金属棒， 当金属棒滑行至 cd 处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒横截面的电荷量 q0.2 C，且金属棒的加速度 a 与速度 v 的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终 与 NQ 平行(sin 370.6，cos 370.8，g 取 10 m/s2)求： 图 3 (1)金属棒与导轨间的动摩擦因数 ； (2)cd 与 NQ 的距离 s； (3)金属棒滑行至 cd
21、处的过程中，电阻 R 上产生的热量 答案 (1)0.5 (2)2 m (3)0.08 J 解析 (1)由题图乙可知，当 v0 时，a2 m/s2 mgsin mgcos ma 得 0.5 (2)由题图乙可知，vm2 m/s 当金属棒达到稳定速度时，有 F安B0IL EB0Lvm I E Rr mgsin F安mgcos 联立解得 r1 通过金属棒横截面的电荷量 qItt0.2 C tRr Rr B0Ls Rr 解得 s2 m (3)由动能定理得 mgssin 37mgscos 37WF mvm20 1 2 WFQ总0.1 J QR Q总0.08 J. 4 5 4如图 4 所示，两根足够长的平行
22、金属导轨固定在倾角 30的斜面上，导轨电阻不计， 间距 L0.4 m，导轨所在空间被分成区域和，两区域的边界与斜面的交线为 MN.中的 匀强磁场方向垂直斜面向下，中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小 均为 B0.5 T 在区域中， 将质量 m10.1 kg、 电阻 R10.1 的金属棒 ab 放在导轨上， ab 刚好不下滑然后，在区域中将质量 m20.4 kg、电阻 R20.1 的光滑导体棒 cd 置于导 轨上，由静止开始下滑cd 在滑动过程中始终处于区域的磁场中，ab、cd 始终与导轨垂直 且两端与导轨保持良好接触，取 g10 m/s2，问： 图 4 (1)cd 下滑的过程中
23、，ab 中的电流方向； (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度大小 v； (3)从 cd 开始下滑到 ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离 x3.8 m，此过程中 ab 上产 生的热量 Q. 答案 (1)由 a 流向 b (2)5 m/s (3)1.3 J 解析 (1)由右手定则可判断出 cd 中的电流方向为由 d 到 c，则 ab 中电流方向为由 a 流向 b. (2)开始放置时ab刚好不下滑，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Ffmax，有Ffmaxm1gsin 设 ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为 E，由法拉第电磁感应定律有 EBLv 设电路中的感应电流为 I，由闭合电路欧姆定律有 I E R1R2 设 ab 所受安培力为 F安，有 F安BIL 如图所示，此时 ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有 F安m1gsin Ffmax 联立式，代入数据解得 v5 m/s (3)设 cd 棒运动过程中电路中产生的总热量为 Q总， 由能量守恒定律有 m2gxsin Q总 m2v2 1 2 又 QQ总， R1 R1R2 解得 Q1.3 J.