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1、力与位移的复势表达,1. 复势应力函数,平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满足,引入,(1),可得,(3-1),积分两次,(3-4),(3-5),由(3-1)式，得：,(3-3),故,其中f1、f2、f3、f4均表示任意函数。左边U是实函数， 右边四项一定两两共轭，即,称之为复势应力函数。,2应力和位移的复势,(2),(3-6),应力复势,不计体力,注意到式(3-4)得,将式(3-6)代入得,由式(3-7),(3-7),(3-8),注意到式(3-2)得,设,式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。,位移复势,平面应力，由几何方程与广义虎克定律,(1),(3-9),(2),(3),将
2、式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得：,式中f1及f2为任意函数。将式(5)代入式(4)，用式(1-7)中 的第三式及式(1-1)，得,(常数),积分得刚体位移：,(5),若不计刚体位移，由式(5)组合得 （注：强度问题 与刚体位移无关）,将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边除以 (1+),这就是位移复势。,对平面应变，,(6),(3-10),复应力函数的确定程度(数学上完全确定，力学上看 哪些部分不影响应力和位移),1 应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知，,设,(1),(2),(1),(2),(3),C为任意实常数。积分得,由式(3)有,，
3、比较式(2)与(2)可见,积分得,故,(4),(5),(6),(A),2：位移确定时，则应力完全确定，不容许有(A)型以外 代换。考察(A)型代换如何才不致改变位移。将式(1-10) 进行(A)型代换,位移确定，必须,不改变位移只能将,(7),和 中只有一个为任意常数,设为 , 由 确定,复势边界条件,1、应力边界条件,平面应力边界条件,将式(1-7)代入上式得,(B),曲线AB为任一段边界，s是弧长则有,代入式(1)，得面应力矢量,(1),证明：,由式（1）,而,故,证毕,式(3-6)代入式(3-2)，再代入上式，得,证明：,_,证明完毕,两边同乘以ids，进行积分，从基点A至边界上的任 意一点z，令,则有,该式为面力主矢边界条件的复势表达,(2),(3-11),位移边界条件,边界位移,代入式(3-10)得,(2),(3-12),