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1、9.5 椭 圆,大一轮复习讲义,第九章 平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若 ，则集合P为椭圆； (2)若 ，则集合P为线段； (3)若 ，则集合P为空集.,ZHISHISHULI,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和
2、几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,【概念方法微思考】,1.在椭圆的定义中，若2a|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹如何？,提示 当2a|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.,2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？,3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.,提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种,4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？,提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交. 判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式. (1)直线与椭圆相离0.,基础自测,JICHUZICE,题
3、组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( ) (2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ),1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,解析 当焦点在x轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4， m8.m4或8.,7,A.4 B.8 C.4或8 D.12,1,2,3,4,5,6,7,解得10或2(舍去)，,1,2,3,4,5,6,7,解析 设P(x
4、，y)，由题意知c2a2b2541， 所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0).由题意可得点P到x轴的距离为1，,A.m2或m2 C.12或2m1,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,解析 椭圆的焦点在x轴上， m22m0，解得m2或2m1.,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,第1课时 椭圆及其性质,题型一 椭圆的定义及应用,自主演练,1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛
5、物线 D.圆,解析 由条件知|PM|PF|， |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.,设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a， 所以ABC的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a,4.设F1，F2分别是椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最小值为_.,解析 由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|. |PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当
6、M，P，F2三点共线时取得等号，,5,|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.,椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.,题型二 椭圆的标准方程,多维探究,命题点1 定义法 例1 (1)(2019丽水调研)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为,解析 设圆M的半径为r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以M的轨
7、迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16，2c8，,(2)在ABC中，A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是,解析 由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).,命题点2 待定系数法,解析 设椭圆的方程为mx2ny21(m，n0，mn).,(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2， )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为 _.,解析 椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，,(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法. (2)利用定义
8、法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.,椭圆上一点到两焦点的距离之和为12， 2a12，a6，,其焦点在y轴上，且c225916.,c216，且c2a2b2，故a2b216. ,由得b24，a220，,题型三 椭圆的几何性质,命题点1 求离心率的值(或范围),多维探究,解析 方法一 如图， 在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，,|PF1|PF2|2a，,方法二 (特殊值法)： 在RtPF2F1中，令|PF2|1，,由椭圆定义得|PF1|PF2|2a， |PF1|22|P
9、F1|PF2|PF2|24a2， 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， |PF1|PF2|F1F2|24c2， 则|PF1|2|PF2|28c24a2， (xc)2y2(xc)2y28c24a2， 整理得x2y25c22a2，,而|PF2|的最小值为ac，,所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)， 所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以5c22ac3a20，所以5e22e30. 又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21. ,命题点2 求参数的值(或范围),解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上， 则0m3，点M(x，y). 过点M作x轴的垂线，交x轴于点
10、N，则N(x，0).,结合0m3解得0m1. 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9. 则m的取值范围是(0，19，). 故选A.,方法二 当0m3时，焦点在x轴上， 要使C上存在点M满足AMB120，,当m3时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足AMB120，,故m的取值范围为(0，19，). 故选A.,(1)求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：,构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e，一般步骤如下： ()建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa2B
11、acCc20； ()化简：两边同时除以a2，化简齐次方程，得到关于e的一元二次方程ABeCe20； ()求解：解一元二次方程，得e的值； ()验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e(0，1)确定离心率e的值. 若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e的取值范围.,(2)椭圆几何性质的应用技巧 与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形. 椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa， byb，0e1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.,跟踪训练2 (1)已知椭圆 1(0b2)的左、右焦点分别为F1，
12、F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_.,解析 由椭圆的方程可知a2， 由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8， 所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，,又因为SBFOSBFC，,解析 由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点为直线yx与椭圆的交点，,化简得a43a2c2c40，所以e43e210，又0e1，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.a3 B.a3或a3或6a2,解析 椭圆的焦点在x轴上， a2a60，解得a3或6a2.,1,2,3,
13、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由椭圆的定义，得4a20，解得a5. 又c2a2b2m6(m2)4，所以c2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相邻两边分别平行于x轴，y轴，且椭圆与矩形都以原点O为对称中心， 如图是矩形的边过焦点时的情形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.8 B.10 C.12 D.15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
14、,11,12,13,14,15,16,根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a8，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64， 所以342|PF1|PF2|64， 所以|PF1|PF2|15.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕
15、月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：,其中正确式子的序号是 A. B. C. D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确； a1c1a2c2|PF|，即式正确； 由a1c1a2c20，c1c20知，,即式正确，式不正确.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，,2b
16、2a23b2， 即2a22c2a23a23c2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设F1是椭圆的左焦点.如图，连接AF1. 由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|BF2|2a6， 所以要使ABF2的周长最小，必有|AB|2b4， 所以ABF2的周长的最小值为10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入
17、椭圆方程，,a2b2c2， 由解得a29，b26，c23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又由题意知a2b22，将其代入(*)式整理得3b42b280， 所以b22，则a24，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知A，B，F分别是椭圆x2 1(00，则椭圆的离心率的取值范围为 _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
18、14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知点P是圆F1：(x1)2y216上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由题意得F1(1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4， 且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F2|， 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
19、3,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018浙江省台州适应性考试)已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，且满足|OP|OF|，|PF|6，则椭圆C的标准方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,连接PM，则|FM|2|OF|10， 由|OP|OF|OM|知，FPPM，又|PF|6
20、，,所以a7，又c5， 所以b2a2c2492524，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，作出椭圆的左焦点F，分别连接AB，AF，BF， 由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形.,所以四边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c. 设|AF|m，|AF|n， 则由椭圆的定义知mn2a， 在RtAFF中，m2n24c2. ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，,因为PF2是PF1F2的一边，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即c22aca20，所以e22e10(0e1)，,