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1、1.1 集 合,大一轮复习讲义,第一章 集合与常用逻辑用语,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征： 、 、 . (2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示. (3)集合的表示法： 、 、 . (4)常见数集的记法,知识梳理,ZHISHISHULI,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,列举法,描述法,图示法,2.集合间的基本关系,AB(或BA),AB(或BA),AB,3.集合的基本运算,1.若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集.,提示
2、2n,2n1.,2.从ABA，ABA可以得到集合A，B有什么关系？,提示 ABAAB，ABABA.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( ) (2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21.( ) (3)若x2,10,1，则x0,1.( ) (4)x|x1t|t1.( ) (5)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立.( ) (6)若ABAC，则BC.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.P11例9已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|
3、x是钝角，则U(AB)_.,1,2,3,4,5,6,x|x是直角,7,3.P44A组T5已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为_.,2,解析 集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆， 集合B表示直线yx，,则AB中有两个元素.,1,2,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠,4.已知集合A1,3， ，B1，m，ABA，则m等于 A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3或0,1,2,3,4,5,6,即m3或m0或m1，其中m1不符合题意， 所以m0或m3，故选B.,7,5.若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为 A.5
4、B.4 C.3 D.2,解析 当x1，y0时，z1； 当x1，y2时，z1； 当x1，y0时，z1； 当x1，y2时，z3，故集合z|zxy，xA，yB中的元素个数为3，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,6.已知集合Ax|x22x30，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_.,(3，),解析 Ax|x22x30x|1x3， AB，Bx|x3.,1,2,3,4,5,6,7,7.若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_.,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 集合的含义,1.若A2,3,4，Bx|xnm，m，nA，mn，则集合B中的元素个数
5、是 A.2 B.3 C.4 D.5,解析 Bx|xnm，m，nA，mn6,8,12.,自主演练,2.若集合Aa3,2a1，a24，且3A，则实数a_.,解析 若a33，则a0，此时集合A中含有元素3，1，4，满足题意； 若2a13，则a1，此时集合A中的三个元素为4，3，3，不满足集合中元素的互异性； 若a243，则a1，当a1时，集合A中的三个元素为2,1，3，满足题意； 当a1时，不符合题意. 综上可知，a0或a1.,0或1,(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合. (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，
6、求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.,题型二 集合的基本关系,师生共研,解析 由题意知，A2，3. 当a0时，B，满足BA；,(2)已知集合Ax|x22 019x2 0180，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_.,2 018，),解析 由x22 019x2 0180，解得1x2 018， 故Ax|1x2 018. 又Bx|xa，AB，如图所示，可得a2 018.,本例(2)中，若将集合B改为x|xa，其他条件不变，则实数a的取值范围是_.,(，1,解析 Ax|1x2 018，Bx|xa，AB， 如图所示，可得a1.,(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，
7、必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.,跟踪训练1 (1)(2018浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)已知集合A1,2，Bx|x2(a1)xa0，aR，若AB，则a等于 A.1 B.2 C.1 D.2,解析 由B1，a1,2，得a2，故选B.,(2)已知集合A ，Bx|xm21，若AB，则实数m的取值范围是_.,解析 Px|1x1，Qx|0x2， PQx|1x2. 故选A.,题型三 集合的基本运算,命题点1 集合的运算,例2 (1)(2017
8、浙江)已知集合Px|1x1，Qx|0x2，则PQ等于 A.(1,2) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2),多维探究,(2)(2018浙江)已知全集U1,2,3,4,5，A1,3，则UA等于 A. B.1,3 C.2,4,5 D.1,2,3,4,5,解析 U1,2,3,4,5，A1,3， UA2,4,5. 故选C.,命题点2 利用集合的运算求参数,例3 (1)设集合Ax|1x2 C.a1 D.a1,解析 因为AB，所以集合A，B有公共元素，作出数轴， 如图所示，易知a1.,(2)设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR.若ABB，则实数a的取值范围是_.,(，11,解析
9、因为A0，4， 所以BA分以下三种情况： 当BA时，B0，4， 由此可知，0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，,当B且BA时，B0或B4， 并且4(a1)24(a21)0， 解得a1，此时B0满足题意；,当B时，4(a1)24(a21)0， 解得a1. 综上所述，所求实数a的取值范围是(，11.,(1)集合基本运算的求解策略 当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算. 当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解.对于端点处的取舍，可以单独检验. 根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解. (2)集合的交、并、补运算口诀 交集元素仔细找
10、，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.,跟踪训练2 (1)(2018浙江“七彩阳光”联盟联考)已知全集为R，集合Ay|y3x，x1，Bx|x26x80，则AB_，A(RB)_.,解析 因为Ay|y3x，x1y|0y3， Bx|x26x80x|2x4， 所以AB(0,4.又因为RBx|x2或x4， 所以A(RB)(0,2).,(0,4,(0,2),题型四 集合的新定义问题,师生共研,共有7个元素，故选B.,(2)如果集合A满足若xA，则xA，那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A2x,0，x2x，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A
11、B_.,解析 由题意可知2xx2x，所以x0或x3. 而当x0时不符合元素的互异性，所以舍去. 当x3时，A6,0,6，所以AB0,6.,0,6,解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.,跟踪训练3 (1)定义一种新的集合运算：ABx|xA，且xB.若集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算 ，BA等于 A.x|3x4 B.x|3x4
12、 C.x|3x4 D.x|2x4,解析 Ax|1x3，Bx|2x4， 由题意知，BAx|xB，且xAx|3x4.,6,(2)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个.,解析 依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.,3,课时作业,PART THREE,1.(2018浙江嘉兴一中适应性考试)若集合A1,2,3，B(x，y)|xy40，x，yA，则集合B中的元素个数为 A.9
13、 B.6 C.4 D.3,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,其中(2,3)，(3,2)，(3,3)满足xy40， 所以集合B中的元素个数为3，故选D.,2.(2018绍兴质检)已知集合AxR|x|2，BxR|x10，则AB等于 A.(2,1 B.1,2) C.1，) D.(2，),解析 由题意得集合Ax|2x2，Bx|x1， 所以ABx|1x2，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.已知集合A ，则满足AB1,0,1的集合B的个数是 A.2 B.3 C.4 D.9,1,2,3,4,5,
14、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以A1，1，又AB1,0,1， 所以B0或0,1或0，1或0,1，1，集合B共有4个.,4.设集合Ax|x2x20，Bx|2x50，则集合A与集合B的关系是 A.BA B.BA C.BA D.AB,解析 因为Ax|x2x20x|x1或x2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2019宁波调研)已知集合Mx|x|2，Nx|x22x30，则MN等于 A.x|2x1 B.x|1x2 C.x|1x2 D.x|3x2,
15、解析 由题意得集合Mx|2x2，Nx|3x1， 则MNx|2x1，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018温州十校联考)已知集合Px|y ，Qx|yln(x1)，则PQ等于 A.x|1x2 B.x|1x2 C.x|1x2 D.x|1x2,解析 由题意得集合Px|x2，Qx|x1， 所以PQx|1x2，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018浙江金华一中月考)已知集合A ，By|yex1，x0，则下列结论正确的是 A.AB B.ABR C.A(RB) D.B(RA),解析
16、由题意得集合Ay|0y2，By|1y2， 所以RAy|y0或y2， 所以B(RA)，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018金华十校模拟)已知集合U1,2,3,4,5,6，S1,3,5，T2,3,6，则S(UT)_，集合S共有_个子集.,1,5,解析 由题意可得UT1,4,5， 则S(UT)1,5. 集合S的子集有，1，3，5，1,3，1,5，3,5，1,3,5，共8个.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8,10.(2018浙江名校协作体联考)已知集合U1,1,2,3,4,5，且集合A
17、1,1,3与集合Ba2，a24满足AB3，则实数a_，A(UB)_.,1,解析 因为AB3，所以3B， 当a23时，a1，此时a245，集合B3,5，符合题意； 当a243时，a无实数解，综上所述，a1， 此时UB1,1,2,4，则A(UB)1,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,1,11.(2019宁波模拟)已知全集UABxZ|0x6，A(UB)1,3,5，则B_.,0,2,4,6,解析 由A(UB)1,3,5得，元素1,3,5不在集合B内. 若元素0不在集合B内，则由ABxZ|0x6，得元素0在集合A内， 则0A(UB)，与题意不符，所以
18、元素0在集合B内， 同理可得元素2,4,6也在集合B内，所以B0,2,4,6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是_.,1，),解析 由题意知，Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)， Bx|x2cx0(0，c).由AB， 画出数轴，如图所示，得c1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知集合Ax|1x3，Bx|2mx1m，若AB，则实数m的取值范围是,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
19、,12,13,14,15,16,解析 AB，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上，实数m的取值范围是0，).,14.若集合A具有以下性质： (1)0A,1A；(2)x，yA，则xyA，且x0时， A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论： 集合B1,0,1是“完美集”； 有理数集Q是“完美集”； 设集合A是“完美集”，若x，yA，则xyA； 设集合A是“完美集”，若x，yA，则xyA； 对任意的一个“完美集”A，若x，yA，且x0，则 A. 其中正确结论的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解
20、析 1B,1B，但是112B，B不是“完美集”； 有理数集满足“完美集”的定义； 0A，x，yA,0yyA，那么x(y)xyA； 对任意一个“完美集”A，任取x，yA， 若x，y中有0或1时，显然xyA， 若x，y均不为0,1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以x(x1)A，进而x(x1)xx2A.结合前面的算式，知xyA；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故填.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.在n元数集Sa1，a2，an中，设x(S
21、) ，若S的非空子集A满足x(A)x(S)，则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fS(k).已知集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，T4，3，2，1,0,1,2,3,4，则下列说法错误的是 A.fS(4)fS(5) B.fS(4)fT(5) C.fS(1)fS(3)fT(5) D.fS(2)fS(3)fT(4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知，fT(k)fS(k)，k1,2，9.再由对称性知fT(k)fT(9k)，k1,2，9，故A，B正确. 现在仅考虑集合T，利用列举法，当n1时，“平均子集
22、”A：0，故fT(1)1； 当n2时，“平均子集”A可取k，k，其中k1,2,3,4，故fT(2)4； 当n3时，“平均子集”A可取4,0,4，4,1,3，3，1,4，3,0,3，3,1,2，2，1,3，2,0,2，1,0,1，故fT(3)8； 当n4时，“平均子集”A可取4，3,3,4，4，2,2,4，4,1,1,4，4，1,2,3，4，0,1,3，3，2,1,4，3，2,2,3，3,1,1,3，3，1,0,4，3,0,1,2，2，1,0,3，2，1,1,2，故fT(4)12.利用对称性知，fT(5)12.所以D正确、C错误，故选C.,44,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
23、2,13,14,15,16,16.(2019温州十校模拟)设有序集合对(A，B)满足：AB1,2,3,4,5,6,7,8，AB，记CardA，CardB分别表示集合A，B的元素个数，则符合条件CardAA，CardBB的集合的对数是_.,解析 由条件可得CardAB，CardBA.当CardA0，CardB8时，显然不成立； 当CardA1，CardB7时，则7A,1B，所以A7，B1,2,3,4,5,6,8，符合条件的集合对有1对； 当CardA2，CardB6时，则6A,2B，所以A中的另一个元素从剩下的6个数中选一个，故符合条件的集合对有 6(对)； 当CardA3，CardB5时，则5A,3B，所以A中的另两个元素从剩下的6个数中选两个，故符合条件的集合对有 15(对)； 当CardA4，CardB4时，则4A,4B，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是2(1615)044(对).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,