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1、2.10 函数模型及其应用,大一轮复习讲义,第二章 函 数,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.几类函数模型,ZHISHISHULI,2.三种函数模型的性质,递增,递增,y轴,x轴,【概念方法微思考】,请用框图概括表示解函数应用题的一般步骤.,提示 解函数应用题的步骤,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”
2、或“”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( ) (2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.( ) (3)不存在x0，使 0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.( ),基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P104习题T1某县目前人口100万人，经过x年后为y万人，若人口年增长率是1.2%，则y关于x的函数关系式是_.,y100(11.2%)x(xN*),解析 本题属于简单的指数模型的应用问题， 依题意有y100(11.2%)x(xN*).,
3、1,2,3,4,5,6,18,3.P99例3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x) x22x20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件.,当x18时，L(x)有最大值.,1,2,3,4,5,6,4.P77例8某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年.(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30),2020,
4、解析 设从2016年起，过了n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130(112%)n200，,由题意取n4，则n2 0162 020.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,5.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_.,解析 设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，,6.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到_只.,1,2,3,4,5,6,200,解析 由题意知100alog3(21)， a100，y100log3
5、(x1). 当x8时，y100log39200.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 已知函数模型的实际问题,师生共研,例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟.,3.75,解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，,即最佳加工时间为3.75分钟.,解析 设毛利润为L(p)元，则由题意知 L(p)pQ2
6、0QQ(p20)(8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000， 所以L(p)3p2300p11 700. 令L(p)0，解得p30或p130(舍去). 当p(0,30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)0， 故L(p)在p30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)23 000.,(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)_元.,23 000,求解所给函数模型解决实际问题的关注
7、点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元.,4.24,解析 m6.5，m6， 则f(6.5)1.06(0.561)4.24.,(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40Q Q2，则总利润L(Q)的最大值是
8、_万元.,2 500,则当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元.,解析 由图象可求得一次函数的解析式为y30x570， 令30x5700，解得x19.,题型二 构建函数模型的实际问题,多维探究,命题点1 构造一次函数、二次函数模型 例2 某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.,19,命题点2 构造指数函数、对数函数模型,(1)求每年砍伐面积的百分比；,解 设每年降低的百分比为x(0x1)，,解得,(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？,故到今年为止，该森林已砍伐了5年.,若本例
9、的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？,解 设从今年开始，以后砍了n年，,故今后最多还能砍伐15年.,例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_.,5,解析 根据图象求得y(x6)211，,要使平均利润最大，客车营运年数为5.,命题点4 构造分段函数模型,例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的 销售收入为R(x)万美元，且R(x),(1)
10、写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；,解 当040时，,(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.,解 当0x40时，W6(x32)26 104，所以WmaxW(32)6 104；,所以W取最大值5 760. 综合，当年产量x32万只时，W取最大值6 104万美元.,构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.,跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可
11、使杂质含量减少 ，至少应过滤_次才能达到市场要求.(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1),8,解析 设至少过滤n次才能达到市场要求，,300,解析 由题意，总利润,所以当x300时，ymax25 000； 当x400时，y60 000100x20 000. 综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.,核心素养之数学抽象,HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG,用数学模型求解实际问题,数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.,例 (1)调查
12、表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过_小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时),4,解析 设n小时后他才可以驾驶机动车， 由题意得3(10.5)n0.2，即2n15， 故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.,(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的
13、每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为_元.,3 300,解析 设利润为y元，租金定为3 00050x(0x70，xN)元. 则y(3 00050x)(70x)100(70x)(2 90050x)(70x),当且仅当58x70x，即x6时，等号成立， 故每月租金定为3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润.,素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.,3,课时作业,PART THREE,1.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道
14、隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,解析 设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，,当x3时，y最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.,注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为_升.,8,解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 60035 000600(千米)， 实际耗油48升，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
15、0,11,12,13,14,15,16,3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为_元.,95,解析 设每个售价定为x元， 则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225， 当x95时，y最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是_万元.,320,解析 设该公司的年收入为x万
16、元(x280)，,故该公司的年收入为320万元.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_ m3.,13,解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，,则10m(x10)2m16m，解得x13.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.7
17、18为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.,24,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红 柿_千克.,解析 前10天满足一次函数关系，设为ykxb(k0)， 将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
18、8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.,20,解析 设内接矩形另一边长为y m，,所以面积Sx(40x)x240x (x20)2400(0x40)， 所以当x20时，Smax400.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是_ h.(车身长度不计),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
19、,14,15,16,12,解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.渔场中鲜鱼的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值). (1)写出y关于x的函数关系式，并求其定义域；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求鱼群年增长量的最大值；,(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围.,解得2
20、k0，所以0k2.,书商所获得的总利润为5(10032)340(万元).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？,解 每套丛书
21、售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,依题意，单套丛书利润,因为00，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即x140时等号成立，此时，Pmax20120100. 所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1
22、3.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为_海里/时时，总费用最小.,40,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设每小时的总费用为y元， 则ykv296，又当v10时，k1026，解得k0.06， 所以每小时的总费用y0.06v296，,故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.商家通常依据“乐观系数准则”确定
23、商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc) 和(ba)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x_.,bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)2，得x2x10，,令T037 ，T29 ，则 t8.,15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度 是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则 ，其中Ta 称为环境温度，h称为半衰期.现有一杯用85 热水冲的速溶咖啡，放在21 的房间中
24、，如果咖啡降到37 需要16 min，那么这杯咖啡要从37 降到29 ，还需要_ min.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8,解析 由题意知Ta21 .令T085 ，T37 ，,得 h8.,16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当t1时，由y4，得k4；,(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,