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1、5.3 平面向量的数量积,大一轮复习讲义,第五章 平面向量、复数,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.向量的夹角,ZHISHISHULI,AOB,0，,2.平面向量的数量积,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,|b|c
2、os ,拓展：向量数量积不满足： 消去律，即abacbc； 结合律，即(ab)ca(bc).,3.向量数量积的运算律,(1)abba. (2)(a)b(ab) . (3)(ab)c .,a(b)ab,acbc,4.平面向量数量积的有关结论,已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.,ab0,x1x2y1y20,|a|b|,【概念方法微思考】,1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？ 提示 不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos ，而b在a方向上的投影为|b|cos ，其中为a与b的夹角. 2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定.当夹
3、角为0时，数量积也大于0.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. ( ) (2)由ab0可得a0或b0.( ) (3)(ab)ca(bc).( ),(5)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角.( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P90T18已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.,12,解析 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2
4、k)0， 102k0，解得k12.,3.P89T8已知两个单位向量e1，e2的夹角为 .若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.,1,2,3,4,5,6,6,解析 b1e12e2，b23e14e2，,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,4.已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.,方法二 (数形结合法) 由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，,1,2,3,4,5,6,5.已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角的大小为_.,1,2,3,4,5,6,解析 a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，,2,题型分
5、类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面向量数量积的基本运算,自主演练,1.(2018全国改编)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)_.,3,解析 a(2ab)2a2ab2|a|2ab. |a|1，ab1，原式21213.,2.(2018苏北四市调研)已知平面向量a与b的夹角等于 ，若|a|2，|b|3，则|2a3b|_.,3,解析 设A(a,2a)，则a0. 又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0.,解得a3或a1. 又a0，a3.,1,平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，
6、b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.,题型二 平面向量数量积的应用,多维探究,命题点1 求向量的模与夹角,3,解析 如图所示，,(2)设向量a，b满足|a|2，|b|1，a(ab)3，则a与b的夹角为_.,解析 由题意得a(ab)a2ab 421cos 42cos 3，,(3)设向量a，b，c满足|a|b|2，ab2，ac，bc60，则|c|的最大值为_.,4,解析 因为|a|b|2，ab2，,所以ACB60，所以AOBACB180， 所以A，O，B，C四点共圆.,由正弦定理可得AO
7、B的外接圆即圆M的直径为,命题点2 平面向量的平行与垂直,(1)求x与y之间的关系式；,即x2y0.,所以(x6)(x2)(y1)(y3)0， 即x2y24x2y150，,所以四边形ABCD的面积为16.,(1)求解平面向量模的方法,(2)求平面向量的夹角的方法,解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.,解析 取BD的中点H，连结AH，CH， 由BCD为等边三角形，可得CHBD，,(2)已知平面向量，满足|1，且与的夹角为120，则的模的取值范 围是_.,解析 设在ABC中，a|1，A60，|c，,(3)设a，b，c是同一平面内的三个向量，a(1,2).,解 因为ca，设ca(，2)，,所以c
8、(2,4)或(2，4).,解 因为(a2b)(2ab)0， 所以2a2ab4ab2b20，,又0，所以.,题型三 平面向量与三角函数,师生共研,(1)求cos sin ；,解 由已知得A(1,0)，P(cos ，sin )，,又Ssin ，,平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.,(1)若mn，求tan x的值；,所以sin xcos
9、 x，所以tan x1.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则(ab)2a2b22ab 52ab5， 可得ab0，结合|a|1，|b|2， 可得(2ab)24a2b24ab448，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.已知向量a(1,1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，则实数k的值为_.,1,解析 向量a(1,1)，b(2，3)，,若ka2b与a垂直，则k4k60， 解得k
10、1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以AOP60，BOP30，,方法二 以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴.,则P(2cos ，2sin )，A(2,0)，B(0,2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018江苏无锡梅村高中月考)已知平面向
11、量a，b满足|a|2，|b|2，|a2b| 5，则向量a，b夹角的余弦值为_.,解析 因为平面向量a，b满足|a|2，|b|2，|a2b|5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,3,解析 如图所示， 由题意可得，点M所在区域的不等式表示为 (x1)2(y1)21(0x2,0y2). 可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0).,x(2x)y2(x1)2y21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,解析 如图，建立平面直角坐标系，,则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).,1,2
12、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 设
13、BC的中点为D，AD的中点为E，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，,设P(x，y)，取BC的中点D，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)若ab，求x的值；,若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应
14、的x的值.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设BC的中点为D，因为点G是ABC的重心，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设OBC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即PFMQFM，则FM为PFQ的角平分线，,以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,