《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 §11.1 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 §11.1 .pptx（55页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、11.1 分类计数原理与分步计数原理,大一轮复习讲义,第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，加强分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以解答题的形式出现，难度为中档.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.分类计数原理 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有
2、m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法. 2.分步计数原理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法.,ZHISHISHULI,m1m2mn,m1m2mn,3.分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是_；必须要连续若干步才能完成的则是_.分类要用分类计数原理将种数_；分步要用分步计数原理，将种数_.,分类,分步,相加,相乘,【概念方法微思考】,1.在解题过程中如何判定是用分类计数原
3、理还是分步计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步计数原理. 2.两种原理解题策略有哪些？ 提示 分清要完成的事情是什么； 分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； 有无特殊条件的限制； 检验是否有重复或遗漏.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )
4、 (3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.( ) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法.( ) (5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ),7,题组二 教材改编 2.P9T8已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_.,1,2,3,4,5,6,解析 分两步：第一步先
5、确定横坐标，有3种情况， 第二步再确定纵坐标，有2种情况， 因此第一、二象限内不同点的个数是326.,6,7,1,2,3,4,5,6,3.P29习题T9将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4,5,6的盒子内，6号盒子中至少有1个球的放法种数是_.,91,解析 本题应分为6号盒子中有1个球，2个球，3个球三类来解答，,7,题组三 易错自纠 4.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_.,1,2,3,4,5,6,解析 分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212(个)奇数； 第2类，偶奇奇，个
6、位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216(个)奇数. 根据分类计数原理知，共有12618(个)奇数.,18,7,1,2,3,4,5,6,5.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个.,12,解析 当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况. 当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种， 当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种， 根据分类计数原理可知，共有12种结果.,7,6.已知某公
7、园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为_.,1,2,3,4,5,6,12,解析 将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法， 从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有3412(种)不同的走法.,7,7.现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种.,1,2,3,4,5,6,48,解析 需要先给C块着色，有4种方法； 再给A块着色，有3种方法； 再给B块着色，有2种方法； 最后给D块着色，有2种方法，由分步计数原理知，共有432248(种)着色方法.,7,2,题型分类 深度剖析,
8、PART TWO,题型一 分类计数原理,自主演练,1.满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_.,13,解析 方程ax22xb0有实数解的情况应分类讨论. 当a0时，方程为一元一次方程2xb0，不论b取何值，方程一定有解.此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对. 当a0时，需要44ab0，即ab1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2).a0时，(a，b)共有3412(个)实数对， 故a0时满足条件的实数对有1239(个)，所以答案应为4913.,2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样
9、的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为_.,240,解析 若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个. 若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236(个). 若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个). 所以所有凸数有26122030425672240(个).,3.定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数.若m4，则不同的“规范01数列”共有_个.,14,解析 第一位为
10、0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111, 001110；,其中110100,110010,110001,101100不符合题意；,分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.,题型二 分步计数原理,师生共研,例1 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以
11、选择的最短路径条数为_.,18,解析 从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条， 所以从E点到G点的最短路径有6318(条).,(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法.,120,解析 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法， 根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种).,1.本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？,解 每人都可以从这三个比赛项目
12、中选报一项，各有3种不同的报名方法， 根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36729(种).,2.本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种).,(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保
13、连续，逐步完成.,解析 根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法； 参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法； 参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法. 由分步计数原理知，共有64248(种)不同的游览线路.,跟踪训练1 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有_种.(用数字作答),48,题型三 两个计数原理的综合应用,多维探究,命题点1 与数字有关的问题 例2 用数字1
14、,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.(用数字作答),1 080,故符合题意的四位数一共有9601201 080(个).,命题点2 涂色、种植问题 例3 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_.,96,解析 按区域1与3是否同色分类：,区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有 种方法.,区域1与3同色时，共有4 24(种)方法.,区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有 种方法，第二步涂区域2有2
15、种涂 色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法.,共有 21372(种)方法.,故由分类计数原理可知，不同的涂色种数为247296.,命题点3 与几何有关的问题 例4 (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_.,36,解析 第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)； 第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个. 所以正方体中“正交线面对”共有241
16、236(个).,(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是_.,48,解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636， 另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6212， 故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.,利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)利用两个计数原理求解.,跟踪训练2 (1)建造一个花坛，花坛分为4个部
17、分(如图).现要栽种4种不同颜色的花(不一定4种颜色都栽种)，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种.(用数字作答),108,解析 先栽第一块地，有4种情况，然后栽第二块地，有3种情况，第三块地有3种情况，第四块地有3种情况，则共有4333108(种)不同的栽种方法.,(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有_个.,120,故比40 000大的偶数共有7248120(个).,3,课时作业,PART THREE,1.集合A1,2,3,4,5，B3,4,5,6,7,8,9，从集合A，B中各取一个数，能组成的没有重复数字的
18、两位数的个数为_.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,58,解析 根据分步计数原理和分类计数原理得,同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式. 由分类计数原理可知，共有336(种)传递方式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018苏州质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有_种.,6,解析 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
19、,14,15,16,3.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有_种. 解析 根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种， 所以行车路线共有4312(种).,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)各位数均不产生进位现象，则称n为“开心数”.例如：32是“开心数”.因为323334不产生进位现象；23不是“开心数”，因为232425产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为_.,12,解析 根据题意知个位数n需要满足n(n1)(n2)10，即n2.3， 个位数可取0,1,2三个数，
20、 十位数k需要满足3k10， k3.3， 十位数可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3412(个).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为_.,17,解析 当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，,当所取两个数中不含有1时，可得到 20(个)对数，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93.,综上可知，共有201417(个)不同的对数值.,解析 先考虑等边的情况，abc1,2，6，有六
21、个， 再考虑等腰的情况，若ab1，cab2，此时c1与等边重复， 若ab2，cab4，则c1,3，有两个， 若ab3，cab6，则c1,2,4,5，有四个， 若ab4，cab8，则c1,2,3,5,6，有五个， 若ab5，cab10，则c1,2,3,4,6，有五个， 若ab6，cab12，则c1,2,3,4,5，有五个， 故一共有27个.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.设a，b，c1,2,3,4,5,6，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有_个.,27,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
22、2,13,14,15,16,7.2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街.每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为_种.,65,解析 根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街. 每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有333381(种)情况， 若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街. 每人有2种选择方法，则4人一共有222216(种)情况， 故哈西站一定要有人去有811665(种)情况，即哈西站一定有人去的游览方案有65种.,1,2,3,4,5,6,
23、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有_种.,4 320,解析 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法. 根据分步计数原理可知，共有6543344 320(种)不同的涂色方法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同
24、的涂色方法种数为_.,96,解析 若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有43224(种)； 若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有432(21)72(种)， 根据分类计数原理可得，共有247296(种)不同的涂色方法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.设集合A1,0,1，B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数为_.(用数字作答),10,解析 易知AB
25、0,1，AB1,0,1,2,3， x 有2种取法，y 有5种取法. 由分步计数原理，知 A*B中的元素有2510(个).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有_种.,25,解析 根据题意，可分为：三个国家粮食和药品都有，有1种方法； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食
26、，有3种方法； 两个国家粮食，两个国家药品，有326(种)方法； 三个国家粮食，一个国家药品，有3种方法； 三个国家药品，一个国家粮食，有3种方法， 故方法总数是25.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为_.,240,解析 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，,若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有54321120(种)情况. 综上，共有6060120240(种)情况.,技能提
27、升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是_.,60,解析 根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的， 若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法， 所以总共有10660(种)方法，故答案是60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢
28、红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元的，1个8元的，1个10元的(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有_种.,36,根据分类计数原理可知，共有36种情况.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33，99,3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则 (1
29、)5位回文数有_个；,900,解析 5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有91010900(种)填法，即5位回文数有900个.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)2n(nN*)位回文数有_个.,910n1,解析 根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格. 结合分步计数原理，知有910n1种填法.,16.用6种不同的颜色给三棱柱ABCDEF六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有_种.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8 520,解析 分两步来进行，先涂A，B，C，再涂D，E，F.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上可得，不同涂色方案共有7204 3203 2402408 520(种).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,