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1、7.3 合情推理与演绎推理,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,1.合情推理 (1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,先经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 ,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.,类比,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,(2)归纳推理与类比推理,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,某些类似特征,某些已知特征,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,-4-,知识梳理,双基自测,2,1,-5-,知识梳理,双基自测,2,1,2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 的推理
2、. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括 大前提已知的一般原理; 小前提所研究的特殊情况; 结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.,特殊,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.( ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( ) (5)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.( ),答案,-7-,知识梳理,双
3、基自测,2,3,4,1,5,2.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:aR,结论是:a20,则这个演绎推理出错在( ) A.大前提 B.小前提 C.推理过程 D.没有出错,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.(教材习题改编P7T1)如图,根据图中的数构成的规律可知a表示的数是( ) A.12 B.48 C.60 D.144,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2名优秀,2名良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是
4、不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P7T2)在平面内,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为 .,答案,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明. 2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比
5、,就会犯机械类比的错误. 3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,则所得结论也是错误的. 4.合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.,-12-,考点1,考点2,考点3,例1(1)(2018山东济南一模)如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签: 原点处标数字0,记为a0; 点(1,0)处标数字1,记为a1; 点(1,-1)处标数字0,记为a2; 点(0,-1)处标数字-1,记为a3; 点(-1,-1)处标数字-2,记为a4; 点(-1,0)处标数字-1,记为a5;
6、点(-1,1)处标数字0,记为a6; 点(0,1)处标数字1,记为a7; 以此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数). 记Sn=a1+a2+an,则S2 018= .,-249,-13-,考点1,考点2,考点3,(2)有一个奇数组成的数阵排列如下: 1 3 7 13 21 5 9 15 23 11 17 25 19 27 29 则第30行从左到右第3个数是 . 思考如何进行归纳推理?,1 051,-14-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)设an对应点的坐标为(x,y),由归纳推理可知,an=x+y. 第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点,由对称性可得a1
7、+a2+a8=0; 第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点,由对称性可得a9+a24=0, 第n圈共有8n个点,这8n项的和也为零. 前n圈共有8+16+8n=4n(n+1)个点,可得前22圈共有2 024个数,S2 024=0,S2 018=S2 024-(a2 024+a2 023+a2 019),a2 024所对应点的坐标为(22,22),a2 024=22+22,a2 023所对应点的坐标为(21,22),a2 023=21+22,a2 022=20+22,a2 021=19+22,a2 020=18+22,a2 019=17+22,可得a2 024+a2 019=249,故S2
8、 018=0-249=-249.,-15-,考点1,考点2,考点3,(2)先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+60= =929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1 051.,-16-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.归纳推理的类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类: (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需
9、要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.,-17-,考点1,考点2,考点3,2.破解归纳推理的思维步骤 (1)发现共性,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律); (2)归纳推理,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想); (3)检验,得结论,对所得的一般性命题进行检验.一般地,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,(2)如图所示的一系列正方形将点阵分割
10、,从内向外扩展,其模式如下: 4=22 4+12=16=42 4+12+20=36=62 4+12+20+28=64=82 由上述事实,请推测关于n的等式为 .,-20-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)1 000 (2)4+12+20+(8n-4)=(2n)2(nN*),-21-,考点1,考点2,考点3,(2)由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下: 4=22 4+12=16=42 4+12+20=36=62 4+12+20+28=64=82 归纳可得:等式左边是一个以8为公差,以4为首项的等差数列,右边是正偶数的平方, 故第n个式子为:4+12+20+(8n-4)=(2
11、n)2(nN*).,-22-,考点1,考点2,考点3,A,-23-,考点1,考点2,考点3,(2)如图在平面几何中,ABC的内角C的平分线CE分AB所成线段的比为 .把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类比 的结论是 . 思考如何进行类比推理?,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂
12、直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等等.,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,(2)在平面几何中,“若ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形的面积为SABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为 ”.,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,例3(2018广东中山期末)一名法官在审理一起盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分
13、述如下:甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”,乙说:“我没有作案,是丙偷的”,丙说:“在甲和乙中有一个人是罪犯”,丁说:“乙说的是事实”.经调查核实,这四人中只有一人是罪犯,并且得知有两人说的是真话,两人说的是假话,由此可判断罪犯是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 思考演绎推理的一般模式是什么?,答案,解析,-30-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 2.在应用三段论推理来证明问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,
14、结论必定是正确的. 注意:在证明的过程中,往往大前提是隐含条件. 3.三段论证明的基本模式 (1)大前提已知的一般原理; (2)小前提所研究的特殊情况; (3)结论根据一般原理对特殊情况做出的判断.,-31-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018东北三省三校一模)甲、乙、丙三名教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A,B,C,已知:甲不在哈尔滨工作,乙不在长春工作;在哈尔滨工作的教师不教C学科;在长春工作的教师教A学科;乙不教B学科. 可以判断乙教的学科是 .,答案,解析,-32-,考点1,考点2,考点3,1.合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳推理是由特殊到一般的推理;
15、 (2)类比推理是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理; (4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而演绎推理若前提和推理形式正确,得到的结论一定正确. 2.在数学研究中,得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行. 3.“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.,-33-,考点1,考点2,考点3,1.演绎推理常用来证明和推理数学问题,要注意推理过程的严密性、书写格式的规范性. 2.合情推理运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.,