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1、2.2 函数的单调性与最值,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,上升的,下降的,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫做函数y=f(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,注意:从单调函数的定义可以看出,函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在其定义域的一个区间上是增函数,而在另一个区间上不是增函数.例如,函数y=x2,当
2、x0,+)时是增函数,当x(-,0时是减函数.,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,1,3.常用结论 (1)函数单调性的常用结论,上升的,下降的,大于,小于,相同,相反,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,1,(3)设x1,x2D(x1x2),则(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在区间D上单调递增;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反.,2,-8-,知识梳理,双基自测,3,4,
3、1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)函数y= 在区间(-,0)(0,+)内是减函数. ( ) (2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是(0,+). ( ) (3)函数y=f(x)在区间0,+)内为增函数,则函数y=f(x)的递增区间为0,+). ( ),答案,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.下列函数中,在区间(-1,1)内为减函数的是( ) A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.若2x+5y2-y+5-x,则有( ) A.x+y0 B.x+y
4、0 C.x-y0 D.x-y0,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.(教材例题改编P31例4)已知 ,x2,6,则f(x)的最大值为 ,最小值为 .,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.函数 的最大值为 .,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.函数的单调性是对某个区间而言的,如函数y= 在区间(-,0),(0,+)内单调递减,但它在整个定义域即(-,0)(0,+)内不单调递减,单调区间只能分开写或用“和”连接,不能用“”连接,也不能用“或”连接. 2.如果一个函数在某个区间上是增函数,那么它的递
5、增区间的范围有可能更大,例如f(x)=x在区间0,+)内是增函数,但是f(x)的递增区间是(-,+). 3.单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则. 4.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值,求函数最值的基本方法是利用函数的单调性.,-14-,考点1,考点2,考点3,思考判断函数单调性的基本方法有哪些?,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.判断函数单调性的四种方法: (1)利用已知函数的单调性,如已知f(x),g(x)为增函数,则-f(x)为减函数,f(x)+g(x)为增函数.
6、 (2)定义法:一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论.其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式,再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定它的单调性. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调性. 2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法: (1)定义法,基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断. (2)可导函数可以利用导数证明.,-17-,考点1,考点2,考点3,3.复合函数单调性的判断方法: 复合函数y=f(g(x)的单调
7、性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练1设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,例2求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; 思考求函数的单调区间有哪些方法?,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,
8、解题心得求函数的单调区间与确定单调性的方法一致,常用以下方法: (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义，求单调区间. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 注意:确定函数定义域是解决函数单调性问题的前提.,-23-,考点1,考点2,考点3,(2)函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是( ) A.(-,0) B.(0,+) C.(-3,1) D.(-,-3)和(1,+),对点训练2
9、(1)下列函数在(0,+)上是减函数的是( ),答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,考向一 利用函数的单调性求函数的值域或最值 思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,答案,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,考向三 利用函数的单调性解不等式 例5设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为 . 导学号74920007 思考如何解与函数有关的不等式?,答案,解析,考向四 利用函数的单调性求参数的值(或范围) 例6(
10、1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)内单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(- ),则a的取值范围是 . (2)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上具有单调性,则实数a的取值范围为 . 思考如何利用函数的单调性求参数的值(或范围)?,-28-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-29-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标;函数的最小值对应图象最低点的纵坐标;利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解. 2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决
11、. 3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(M)f(N)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意M,N应在定义域内取值. 4.利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.,-30-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)若a0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是( ) A.p=q B.pq D.当a1时,pq;当0a1时,pq,(2)已知函数f(x)=x|x|,若存在x1,+),使得f(x-2k)-k0,则k的取值范围是( ),-31-,考点1,考点2,考点3,答案,-3
12、2-,考点1,考点2,考点3,解析 (1)当0loga(a2+1),即pq. 当a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数.故由a3+1a2+1, 可得loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.综上可得pq.,(2)当x0时,f(x)=x2,当x0,-33-,考点1,考点2,考点3,当02时,h(x)=3-x是减函数, 故h(x)在x=2处取得最大值h(2)=1.,-34-,考点1,考点2,考点3,1.函数单调性判定的常用方法:图象法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性. 2.求函数值域或最值的常用方法: (1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值. (2)图象法,
13、先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)配方法,对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解. (4)换元法,对较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.,-35-,考点1,考点2,考点3,(5)基本不等式法,先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后,再用基本不等式求出最值. (6)导数法,首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解. 4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注: (1)抓住对变量所在区间的讨论. (2)保证各段上同增(减)时,要注意上、下段的端点值之间的大小关系. (3)弄清最终结果取并还是交.,-36-,考点1,考点2,考点3,1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误. 2.不同的单调区间之间不能用符号“”及“或”连接.,