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1、 2.6 对数与对数函数,教材研读,1.对数的概念,2.对数的性质与运算法则,3.对数函数的图象与性质,4.对数函数与指数函数的性质比较,考点突破,考点一 对数的求值与化简,考点二 对数函数的图象与应用,考点三 对数函数的性质及应用,对数的概念及运算 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 x=logaN ,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.,教材研读,2.对数的性质与运算法则 (1)对数的基本性质(a0且a1,N0) a.loga1=0;logaa=1; b. = N ;logaaN= N . (2)对数的运算法则 如果a0且a1,M0
2、,N0,那么 a.loga(MN)=logaM+logaN; b.loga =logaM-logaN;,c.logaMn=nlogaM(nR). (3)对数的换底公式及推论 a.logaN= (a,b0,a,b1,N0); b.lo bn= logab (a,b0且a1,m,nR且m0); c.logablogba=1(a,b0且a,b1); d.logablogbclogcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).,3.对数函数的图象与性质,知识拓展 1.快速判断logax符号的方法:给定区间(0,1)和(1,+),当a与x位于这两个区间中的同一个时,logax0,否则log
3、ax0.,2.对数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y= logdx(a1,b1,0a1dc0.,4.对数函数与指数函数的性质比较,1.(教材习题改编)函数f(x)=log2x2的大致图象是 ( D ),2.已知1mn,令a=(lognm)2,b=lognm2,c=logn(lognm),则 ( D ) A.abc B.acb C.bac D.cab,3.若loga 0,且a1),则实数a的取值范围是 (1,+) .,4. 函数f(x)=lg 的定义域是 x|x3或x3 .,5.函数f(x)=|log3x|在区间a,b上的值
4、域为0,1,则b-a的最小值为 .,对数的求值与化简 典例1 (1)(2016浙江理,12,6分)已知ab1.若logab+logba= ,ab=ba,则a= 4 ,b= 2 . (2)给出下列等式: lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2=2; 2( + )lo =5;,考点突破, =- ; (log23+log49+log827+lo 3n)log9 = . 其中计算正确的序号是 .,解析 (1)令logab=t,ab1,0t1,由logab+logba= 得,t+ = ,解得t= 或t=2(舍去),即logab= ,b= ,又ab=ba, =( )a,即 = ,亦即 = ,解得a
5、=4,b=2. (2)原式=2lg 5+lg 2(1+lg 5)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2(1+lg 5+lg 2)=2lg 5+2 lg 2=2; 2( + )lo =( + )lo 5 =( + )lo ;,原式= = =- ; 原式=( ) log932 =nlog23 log932= = = .,方法指导 对数式求值化简的思想方法 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使 幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的 运算法则,转化为同底数对数的积、商、幂再进行运算.,易错警示 对数
6、的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提 下才成立的,不能出现log212=log2(-3)(-4)=log2(-3)+log2(-4)的错误.,1-1 (2017浙江台州调研)已知a=2x,b= ,则log2b= ,满足logab 1的实数x的取值范围是 (-,0) .,解析 log2b=log2 = . 利用换底公式,不等式logab1变形为 1,即 1,解得x0或x .,1-2 给出下列等式: +log2 =-2; |1+lg 0.001|+ +lg 6-lg 0.02=6; lo (2+ )=-2; =-3. 其中计算正确的序号是 .,解析 原式=|log25-2|+l
7、og25-1=log25-2-log25=-2;,原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300 =2+2-lg 3+lg 3+2=6; 原式=lo =lo (2- )-1=-1; 原式= =-3.,典例2 (1)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图 象正确的是 ( B ),对数函数的图象与应用,(2)函数f(x)= 若a,b,c,d互不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 abcd的取值范围是 ( A ) A.(24,25) B.16,25) C.(1,25) D.(0,25,解析 (1)由题图可知y=logax的图象过点(3,1), loga3=
8、1,即a=3. A项,y= 在R上为减函数,错误; B项,y=x3符合; C项,y=(-x)3=-x3在R上为减函数,错误; D项,y=log3(-x)在(-,0)上为减函数,错误. (2)不妨设abcd,作出函数f(x)的图象,如下图,根据函数图象,若存在abcd满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 a ,2b4 c5d6,且-log2a=log2b,25-c=2d-5, 所以ab=1,c+d=10, 所以abcd=cd=c(10-c)=-c2+10c. 由4c5,易得adcd(24,25). 故选A.,方法指导 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其 单
9、调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解. (2)对一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问 题,利用数形结合法求解.,2-1 (2019嘉兴一中月考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a 1)的图象如图,则下列结论成立的是 ( D ) A.a1,c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,解析 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0 0,即logac0,所以0c1.,2-2 若不等式x2-logax1 D.,解析 由x2-logax1时,显然不成立; 当0a1时,如图所示, f1 f2 , 所以有 loga ,解得a , a1.,典
10、例3 (2019河北石家庄模拟)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=0对 称,当x(0,+)时, f(x)=log2x,若a=f(-3),b=f ,c=f(2),则a,b,c的大小关系 是 ( D ) A.abc B.bac C.cab D.acb,对数函数的性质及应用 命题方向一 比较大小,解析 由函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称得,y=f(x)是偶函数,由x (0,+)时, f(x)=log2x得, f(x)在(0,+)上单调递增,又a=f(-3)=f(3), cb,故选D.,方法技巧 比较对数值的大小的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数 为
11、同一字母,则需对底数进行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 命题方向二 解简单对数不等式,典例4 (2019广西三市联考)已知在(0,+)上函数f(x)= 则不 等式log2x-(lo 4x-1)f(log3x+1)5的解集为 ( C ) A. B.1,4 C. D.1,+),解析 由题意知,原不等式等价于 或 解得1x4或 x1, 原不等式的解集为 .故选C.,方法技巧 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logaxlogab的不等式,借助y=logax的单调性求解,若a的取值不确 定
12、,则需分a1与0b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.,典例5 (2018浙江温州十校模拟)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实 数a,b满足f(a)=g(b)=0,则 ( A ) A.g(a)0f(b) B.f(b)0g(a) C.0g(a)f(b) D.f(b)g(a)0,命题方向三 对数函数性质综合应用,解析 易知函数f(x)=ex+x-2是R上的增函数,且f(0)=-10,故0 a时, f(x)0;x0,故1b时,g(x)0;00,g(a)0,故选A.,方法指导 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)确定定义域; (2)弄清函数是由哪些
13、基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基 本初等函数y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x)为增函数,若一增一减,则y=f(g(x)为减函数,即“同增异减”.,3-1 已知a= ,b=log2 ,c=lo ,则 ( C ) A.abc B.acb C.cab D.cba,解析 由指数函数及对数函数的单调性易知0lo =1,故选C.,3-2 已知函数f(x)=lg (a1)是奇函数. (1)求a的值; (2)若g(x)=f(x)+ ,x(-1,1),求g +g 的值.,解析 (1)因为f(x)为奇函数, 所以对定义域内任意x,都有f(-x)+f(x)=0, 即lg +lg =lg =0, 所以a=1, 又a1,所以a=-1. (2)因为f(x)为奇函数,所以f +f =0, 令h(x)= ,则h +h = + =2, 所以g +g =2.,